电磁场及电磁波课后习题及

电磁场与电磁波课后习题解答给定三个矢量A、B和C以下：Aexey2ez3Bey4ezCex5ez2求：（1）aA；（2）AB；（3）AB；（4）AB；（5）A在B上的重量；（6）AC；（7）A(BC)和(AB)C；（8）(AB)C和A(BC)。解（1）aAAexey2ez3ex1ey2ez3A1222(3)2141414（2）AB(exey2ez3)(ey4ez)exey6ez453（3）AB(exey2ez3)(ey4ez)－11（4）由cosABAB1111，得ABcos1(11)135.5AB1417238238（5）A在B上的重量ABAcosAB11ABB17exeyez（6）AC123ex4ey13ez10502exeyez（7）因为BC041ex8ey5ez20502exeyezAB123ex10ey1ez4041所以A(BC)(exey2ez3)(ex8ey5ez20)42(AB)C(ex10ey1ez4)(ex5ez2)42exeyez（8）(AB)C1014ex2ey40ez5502

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exeyezA(BC)123ex55ey44ez118520三角形的三个极点为P1(0,1,2)、P2(4,1,3)和P3(6,2,5)。（1）判断PP12P3能否为向来角三角形；（2）求三角形的面积。解（1）三个极点P(0,1,2)、P2(4,1,3)和P3(6,2,5)的地点矢量分别为1r1eyez2，r2ex4eyez3，r3ex6ey2ez5则R12r2r1ex4ez，R23r3r2ex2eyez8，R31r1r3ex6eyez7因而可知R12R23(ex4ez)(ex2eyez8)0故PP12P3为向来角三角形。（2）三角形的面积S1R12R231R12R231176917.13222求P(3,1,4)点到P(2,2,3)点的距离矢量R及R的方向。解rPex3eyez4，rPex2ey2ez3，则RPPrPrPex5ey3ez且RPP与x、y、z轴的夹角分别为xcos1(exRPP)cos1(5)32.31RPP35cos1eyRPP)cos1(3120.47y()RPP35zcos1(ezRPP)cos1(1)99.73RPP35给定两矢量Aex2ey3ez4和Bex4ey5ez6，求它们之间的夹角和上的重量。解A与B之间的夹角为ABcos1(AB)cos1(31)131AB2977A在B上的重量为ABAB313.532B77给定两矢量Aex2ey3ez4和Bex6ey4ez，求AB在Cex的重量。

A在B

eyez上

2

exeyez解AB234ex13ey22ez10641所以AB在C上的重量为(AB)C(AB)C2514.43C3证明：假如ABAC和ABAC，则BC；解由ABAC，则有A(AB)A(AC)，即(AB)A(AA)B(AC)A(AA)C因为ABAC，于是获得(AA)B(AA)C故BC假如给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便能够确立该未知矢量。设A为一已知矢量，pAX而PAX，p和P已知，试求X。解由PAX，有APA(AX)(AX)A(AA)XpA(AA)X故得pAAPXAA(4,2在圆柱坐标中，一点的地点由,3)定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐标；（2）球坐标中的坐标。3解（1）在直角坐标系中x4cos(23)2、y4sin(23)23、z3故该点的直角坐标为(2,23,3)。（2）在球坐标系中r225、tan1(43)53.1、2312043故该点的球坐标为(5,53.1,120)用球坐标表示的场Eer25，r2（1）求在直角坐标中点(3,4,5)处的E和Ex；（2）求在直角坐标中点(3,4,5)处E与矢量Bex2ey2ez组成的夹角。解（1）在直角坐标中点(3,4,5)处，r2(3)242(5)250，故Eer251r22ExexEEcosrx133225220（2）在直角坐标中点(3,4,5)处，rex3ey4ez5，所以2525rex3ey4ez5Er3102r2

3

故E与B组成的夹角为

EBcos1(EB)cos1(19(102))153.6EB32球坐标中两个点(r1,1,1)和(r2,2,2)定出两个地点矢量R1和R2。证明R1和R2间夹角的余弦为coscos1cos2sin1sin2cos(12)解由R1exr1sin1cos1eyr1sin1sin1ezr1cos1R2exr2sin2cos2eyr2sin2sin2ezr2cos2获得cosR1R2R1R2sin1cos1sin2cos2sin1sin1sin2sin2cos1cos2sin1sin2(cos1cos21sin1sin2)cos1cos2sin1sin2cos(12)cos1cos2一球面S的半径为5，球心在原点上，计算：S(er3sin)dS的值。(er3sin)dS(er3sin)erdS2解d3sin52sind752SS00在由r5、z0和z4围成的圆柱形地区，对矢量Aerr2ez2z考证散度定理。解在圆柱坐标系中A1(rr2)(2z)3r242r5rz所以Addzd(3r2)rdr1200000又AdS(err2ez2z)(erdSredSezdSz)SS4252525ddz24rdrd12000000故有Ad1200AdSS求（1）矢量Aexx2eyx2y2ez24x2y2z3的散度；（2）求A对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求A对此立方体表面的积分，考证散度定理。解（1）A(x2)(x2y2)(24x2y2z3)2x2x2y72x2y2z2xyz（2）A对中心在原点的一个单位立方体的积分为1212121Ad(2x2x2y72x2y2z2)dxdydz12121224（3）A对此立方体表面的积分4

1212(1)2dydz12121)2dydzAdS(S121221212212122x2(1)2dxdz12122x2(1)2dxdz1212212122121224x2y2(1)3dxdy12121)3dxdy124x2y2(121221212224故有Ad1AdS24S计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求r对球体积的积分。2aa2sina3解rdSrerdSdd4SS00又在球坐标系中，r1(r2r)3，所以r2r2ard3r2sindrdd4a3000求矢量Aexex2ey2z沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此xyz正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求A对此回路所包围的曲面积分，考证斯托克斯定理。22222dy2解Adlxdxxdx0dy8C0000exeyez又Axyzex2yzez2xxx2y2z22所以AdS(ex2yzez2x)ezdxdy8S00故有Adl8AdSCS求矢量Aexxeyxy2沿圆周x2y2a2的线积分，再计算A对此圆面积的积分。Adlxdxxy2dy22422a4解(asinCCcossinacos)d40AyAx)ezdSa2a4AdSy2dSr2sin2rddrez(xSSyS004证明：（）R3；（2）R0；（3）(AR)A。此中Rexxeyyezz，A15为一常矢量。解（1）xyzRy3xzexeyez（2）Rxy0zxyy（3）设AexAxeyAyezAz，则ARAxxAyyAzz，故(AR)exx(AxxAyyAzz)eyy(AxxAyyAzz)ez(AxxAyyAzz)exAxeyAyezAzAzf(r)会有什么特色呢？一径向矢量场Ferf(r)表示，假如F0，那么函数解在圆柱坐标系中，由

可获得

F1d[rf(r)]0rdr

在球坐标系中，由

可获得

f(r)CC为随意常数。rF1d[r2f(r)]0Cr2drf(r)r2给定矢量函数Eexyeyx，试求从点P1(2,1,1)到点P2(8,2,1)的线积分Edl：（1）沿抛物线xy2；（2）沿连结该两点的直线。这个E是守旧场吗？解（1）EdlExdxEydyydxxdyCCC22yd(2y2)2y2dy6y2dy1411（2）连结点P(2,1,1)到点P2(8,2,1)直线方程为1x2x8即x6y40y1y222故EdlExdxEydyyd(6y4)(6y4)dy(12y4)dy14CC11因而可知积分与路径没关，故是守旧场。求标量函数x2yz的梯度及在一个指定方向的方导游数，此方向由单位矢量ex3ey4ez5定出；求(2,3,1)点的方导游数值。5050506

解222exx(xyz)eyy(xyz)ezz(xyz)ex2xyzeyx2zezx2yz故沿方向elex3ey4ez5的方导游数为5050r50rel6xyz4x2z5x2yl505050rz点(2,3,1)处沿el的方导游数值为z361660112oyl50505050Ayx试采纳与推导直角坐标中AAxAz相xyz题图似的方法推导圆柱坐标下的公式A1(rAr)AAz。rrrz解在圆柱坐标中，取小体积元如题图所示。矢量场A沿er方向穿出该六面体的表面的通量为zzzzrArrr(rr)drdArrrdrdzz[(rr)Ar(rr,,z)rAr(r,,z)]z(rAr)rz1(rAr)rrr同理rrzzrrzzAdrdzAdrdzrzrz[A(r,,z)A(r,,z)]rArzAzrrrrrzAzzzrdrdAzzrdrdrr[Az(r,,zz)Az(r,,z)]rrzAzrrzAzA穿出该六面体的表面的通量为zz所以，矢量场ΨΨrΨΨz[1(rAr)AAz]rrrz故获得圆柱坐标下的散度表达式Alim1(rAr)AAzrrrz0

7方程ux2y2z2给出一椭球族。求椭球表面上随意点的单位法向矢量。a2b2c22x2y2z解因为uexa2eyb2ezc2u2(x2)2(y2)2(z2)2abc故椭球表面上随意点的单位法向矢量为uxyznu(exa2eyb2ezc2)现有三个矢量A、B、C为Aersincosecos

(x)2(y)2(z)2a2b2c2cosesinBerz2sinez2cosez2rzsin

Cex(3y22x)eyx2ez2z

（1）哪些矢量能够由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量能够由一个矢量函数的旋度表

示？

2）求出这些矢量的源散布。解（1）在球坐标系中

A1(r2Ar)1(sinA)1Ar2rrsinrsin1(r2sincos)1(sincoscos)1(sin)r2rrsinrsin2coscos2sincoscos0sinrsinrrsinrerrersine1Arr2sinArrArsinAerrersine10r2sinrsincosrcoscosrsinsin故矢量A既能够由一个标量函数的梯度表示，也能够由一个矢量函数的旋度表示；在圆柱坐标系中1(rBr1BBzB=)zrrr

81(rz2sin)1(z2cos)(2rzsin)rrrzz2sinz2sin2rsin2rsinrrerreezerreez110BrzrrzrBrrBBzz2sinrz2cos2rzsin故矢量B能够由一个标量函数的梯度表示；直角在座标系中C=CxCyCzxyz(3y22x)(x2)(2z)0xyzexeyezCxyzez(2x6y)3y22xx22z故矢量C能够由一个矢量函数的旋度表示。（2）这些矢量的源散布为A0，A0；B=2rsin，B0；C0，Ce(2x6y)z利用直角坐标，证明(fA)fAAf解在直角坐标中fAAff(AxAyAz)(AxfAyfAzfxyzxy)z(fAxAxAyAyf)(fAzAzf)f)(fxxyyzz(fAx)(fAy)(fAz)(fA)xyz证明(AH)HAAH解依据算子的微分运算性质，有(AH)A(AH)H(AH)式中A表示只对矢量A作微分运算，H表示只对矢量H作微分运算。9

由a(bc)c(ab)，可得A(AH)H(AA)H(A)同理H(AH)A(HH)A(H)故有(AH)HAAH利用直角坐标，证明(fG)fGfG解在直角坐标中fGf[ex(GzGyGxGz)ezGyGx)]y)ey(zx(yzxfG[ex(GzfGyf)ey(GxfGzf)ez(GyfGxf)]yzzxxy所以ffGfGex[(Gzyfey[(Gxzfez[(Gyx(fGz)ex[

(fGy)ez[x

fGz)(GyffGy)]yzzfGx)(GzffGz)]zxxfGy)(GxffGx)]xyy(fGy)ey[(fGx)(fGz)]z]zx(fGx)](fG)y

利用散度定理及斯托克斯定理能够在更广泛的意义下证明(u)