流体的涡度散度和形变率

预备知识：要理解涡度的物理意义，要了解以下的数学知识：矢量代数哈密顿算子stokes公式（二维曲面积分与一维曲线积分间的转换）速度环流1矢量代数：矢量的正交分解矢量8xyz矢量代数：矢量和（差）的正交分量表示定义：性质：矢量代数：矢量乘以标量性质：矢量数量积的正交分量表示：矢量代数：矢量的点乘/矢量的数量积定义：性质：矢量代数：矢量的叉乘/矢量的向量积矢量代数：矢量向量积的正交分量表示：89Stokes公式（二维曲面积分与一维曲线积分间的转换）设光滑曲面的边界是分段光滑曲线，的侧与

的正向符合右手法则，P、Q、R在包含在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数，则有：10Stokes公式：11Stokes公式：12速度环流：这个数值称作【速度环流】，它表示了流体沿着闭合曲线流动的趋势。当L为流体的流线且闭合时，处处的速度矢与线元矢量的方向一致，因此速度环流表示流体完全按L流动。当L闭合时，若=0，则流体沿着闭合曲线的分量的代数和为零。当L闭合，但L不是流体的流线时，速度环流表示流体沿闭合曲线L的速度分量与相应线段的乘积的总和。13涡度与速度环流的关系：运用stokes公式，（1.42）的速度环流就变成：如果闭合曲线向内无限收缩，即，则：上式表明，流体某点的【涡度矢】在某单位面元法向的分量就是单位面积速度环流的极限值。14涡度：这样，把称作【涡度】，是量度流体旋转程度的物理量，它是一个矢量，有三维，所以又称为涡度矢量。是对这个物理量作涡度运算。涡度的三维分量：15涡度与角速度：涡度≡涡度不但是量度流体旋转的物理量，而且其值正好等于流点角速度的两倍。16注意：流体涡度的概念是个局地极限概念。与刚体不同。刚体的转动是整体性的，一点的转动就可以代表整个刚体的转动，代表刚体上其它点的转动。流体不同，某一流点在转动，并不代表其它流点也在转动，或也在做同样的转动。即流体的各个流点可能在同一时间做着不同的转动。必须逐点检验才知道整个流体的旋转运动情况，即对于流体要指明哪一点或哪个区域有旋。（流点与流点间可以有相对运动）17注意：②流体流线（迹线）是直线运动不代表流点没有旋转运动。流体流线（迹线）是圆，不代表流点在做旋转运动。（流体在做圆运动时，流点不但在绕圆点转动，而且又在自转时，才会涡度不为零。流体在做直线运动，但流点有自转时，涡度也不为零。18散度：涡度=定义一个新的物理量：【散度】散度=散度的符号：或D19准备知识：①奥-高公式（面积分和体积分转换的公式）设奥-高公式为：上式中σ是流体中某一封闭曲面，τ为封闭曲面所围的体积。20准备知识：21散度：根据奥-高公式：τ为封闭曲面所围的体积。当封闭曲面向内无限缩小时体（面）向点趋近，积分的值就成了点上的值。即：或：即为【散度】22散度：23散度：另外，散度还反映了流点的体积的相对膨胀（或收缩）率。（所谓率就是指单位时间的变化）证明：考虑一个小体元（一个长方体流点），它体积的相对膨胀（或收缩）率为：2425散度速度的分解：其中：上面第一行的第二、三项表示由于绕M0点的转动的转动速度。上面第二行的第四、五六项表示由于流体微团形变引起的形变速度。所以，流点的运动有：平移、旋转、形变，形变中就包含了流点体积的膨胀（收缩）。形变率：26形变率：流点的形变包括两种：【法形变】【切形变】（或剪切形变）27表示了x轴上【线投元】的相对伸长（缩短）率，是法线方向上的一种形变，定义它为【x轴向的法形变率】，用表示。同样的：总结：【法形变率】法形变率：28y轴向的法形变率z轴向的法形变率法形变率&散度法形变率：散度：可见，流体散度是三个方向法形变率的和。因此又称散度是体形变率。若流体运动只限于二维，则又可以称为面形变率，表示了面积膨胀的速率。29：二维矢量运算符切形变率：【切形变】如果流点考虑成微团或立方体素，当该小体素既无体积大小变化又无转动时所发生的形状变化，就称为切形变。如图：正方形变成棱形，体积保持不变，此时发生的形变称为切形变。30切形变率：第一种情况：流点在转动，涡度散度，流点没有法形变（即：无体积膨胀或收缩），流点也没有形状变化。第二种情况：流点无转动也无体积膨胀（收缩），即涡度和散度均为0，无法形变。但是，流点的形状发生了变化，称为有切形变。31切形变：在Oxy平面上的切形变率为：在Oyz平面上的切形变率为：在Oxz平面上的切形变率为：若把x,y,z与1、2、3对应，以上形变率就是（法形变率）和从而构成一个矩阵形式，称为【形变张量矩阵A】。32散度总结：33流体运动的分类：一般流体运动形式很复杂，在进行具体研究时，常常将流体运动加以分类，而后从简单到复杂，研究流体运动的规律。到目前为止，我们已经可以对流体运动进行一下分类：

1、以运动形式为标准分为：

【无旋运动】和【有旋运动】【无辐散运动】和【有辐散运动】34有旋&无旋：无旋运动：（不需要各个点都为零，可以允许个别点为零，如圆点处不为零））有旋运动：无辐散运动：有辐散运动：由于大部分流体运动都有平动和形变，所以就不用它们来分类了。35定常&非定常：2、按时间为标准分为：【定常运动】和【不定常运动】定常：若速度函数及所有物理量皆不依赖于时间t，不随时间变化，即：不定常运动：36一维&二维&三维：3、按空间为标准分为：【一维运动】、【二维运动】和【三维运动】。一维运动：若所用物理量只依赖于一个曲线坐标。如或者②二维运动：若所用物理量依赖于两个曲线坐标。如或者③三维运动：若所用物理量依赖于三个曲线坐标。如37内容总结预备知识：。要理解涡度的物理意义，要了解以下的数学知识：。矢量代数：矢量的正交分解。矢量代数：矢量和（差）的正交分量表示。矢量代数：矢量乘以标量。Stokes公式（二维曲面积分与一维曲线积分间的转换）。上式表明，流体某点的【涡度矢】在某单位面元法向的分量就是单位面积速度环流的极限值。涡度不但是量度流体旋转的物理量，而且其值正好等于流点角速度的两倍。即流体的各个流点可能在同一时间做着不同的转动。必须逐点检验才知道整个流体的旋转运动情况，即对于流体要指明哪一点或哪个区