2020-2021高中数学人教版第一册5.3 第1课时 诱导公式（一）含解析VIP

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册课时作业：5.3第1课时诱导公式（一）含解析第五章5.3第1课时A组·素养自测一、选择题1．tan150°的值为(A)A．－eq\f（\r（3），3） B．eq\f(\r（3），3）C．－eq\r(3) D．eq\r（3)［解析]tan150°＝tan(180°－30°）＝－tan30°＝－eq\f（\r（3）,3）.2．sin2150°＋sin2135°＋2sin210°＋cos2225°的值是（A）A．eq\f（1,4） B．eq\f(3,4）C．eq\f（11,4） D．eq\f（9,4）［解析］原式＝sin230°＋sin245°－2sin30°＋cos245°＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2））)2＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2），2)）)2－2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（\r（2），2）)）2＝eq\f（1,4).3．化简eq\r(1＋2sinπ－2·cosπ－2）的结果为（C）A．sin2＋cos2 B．cos2－sin2C．sin2－cos2 D．±（cos2－sin2)[解析]eq\r（1＋2sinπ－2·cosπ－2）＝eq\r（1－2sin2·cos2)＝eq\r(sin2－cos22)＝｜sin2－cos2｜.∵2弧度在第二象限，∴sin2>0>cos2，∴原式＝sin2－cos2。4．已知sin（eq\f（π，4)＋α)＝eq\f（\r(3），2)，则sin（eq\f(3π，4）－α）的值为(C）A．eq\f(1，2） B．－eq\f（1，2)C．eq\f(\r（3)，2) D．－eq\f（\r(3)，2）[解析］∵sin（eq\f(π，4)＋α）＝eq\f(\r（3),2)，∴sin(eq\f(3π，4)－α）＝sin［π－(eq\f（π，4）＋α）]＝sin（eq\f（π,4）＋α）＝eq\f（\r(3)，2）.5．sin600°＋tan240°的值是（B)A．－eq\f(\r（3）,2） B．eq\f(\r（3),2)C．－eq\f(1，2)＋eq\r(3） D．eq\f（1，2)＋eq\r（3）［解析］sin600°＋tan240°＝sin(360°＋240°）＋tan(180°＋60°）＝sin240°＋tan60°＝sin(180°＋60°)＋tan60°＝－sin60°＋tan60°＝－eq\f（\r(3）,2）＋eq\r（3)＝eq\f(\r（3）,2）.6．已知tan5°＝t，则tan（－365°)＝（C）A．t B．360°＋tC．－t D．与t无关［解析]tan(－365°)＝－tan365°＝－tan（360°＋5°)＝－tan5°＝－t.二、填空题7．sin750°＝__eq\f（1,2)__.[解析]sin750°＝sin（2×360°＋30°)＝sin30°＝eq\f（1，2).8．已知α∈（0，eq\f(π,2）)，tan(π－α)＝－eq\f(3，4),则sinα＝__eq\f(3，5)__.[解析]由于tan（π－α)＝－tanα＝－eq\f（3，4),则tanα＝eq\f(3，4)，解方程组eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（sinα,cosα)＝\f（3,4），,sin2α＋cos2α＝1，））得sinα＝±eq\f(3，5），又α∈(0，eq\f（π，2))，所以sinα〉0。所以sinα＝eq\f（3,5).9．设f(x）＝asin(πx＋α）＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β为非零常数,若f（2018）＝－1,则f(2019)＝__1__。[解析]f(2019)＝asin(2019π＋α)＋bcos(2019π＋β)＝asin（π＋2018π＋α)＋bcos（π＋2018π＋β）＝－asin（2018π＋α)－bcos(2018π＋β）＝－[asin(2018π＋α)＋bcos(2018π＋β)]＝－f（2018）＝1。三、解答题10．已知角α的终边经过单位圆上的点Peq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（4,5)，－\f(3，5））).(1)求sinα的值；（2)求eq\f（cos2π－α，sinπ＋α）·eq\f(tanπ＋α，cos3π－α)的值．[解析](1)∵点P在单位圆上，∴由正弦函数的定义得sinα＝－eq\f（3，5）.(2）原式＝eq\f(cosα，－sinα)·eq\f（tanα，－cosα)＝eq\f(sinα，sinα·cosα)＝eq\f（1,cosα）,由余弦函数的定义得cosα＝eq\f（4，5），故原式＝eq\f（5,4)。11．已知eq\f(cos180°＋αsinα＋360°sin540°＋α，sin－α－180°cos－180°－α）＝lgeq\f（1,\r(3，10)），求eq\f（cosπ＋α,cosα［cosπ－α－1］)＋eq\f(cosα－2π，cosαcosπ－α＋cosα－2π)的值．[解析]∵eq\f(cos180°＋αsinα＋360°sin540°＋α，sin－α－180°cos－180°－α）＝eq\f（－cosαsinαsin180°＋α,－sin180°＋αcos180°＋α)＝eq\f(－cosαsinα－sinα，sinα－cosα)＝－sinα＝lgeq\f（1,\r（3，10))，∴sinα＝－lgeq\f(1,\r（3,10））＝lgeq\r（3,10)＝eq\f（1,3)。∴eq\f（cosπ＋α，cosα[cosπ－α－1])＋eq\f(cosα－2π,cosαcosπ－α＋cosα－2π）＝eq\f（－cosα,cosα－cosα－1)＋eq\f（cosα,cosα－cosα＋cosα)＝eq\f（1,cosα＋1）＋eq\f(1，1－cosα）＝eq\f(1－cosα＋1＋cosα,1－cos2α)＝eq\f(2,sin2α）＝18。B组·素养提升一、选择题1．(多选题）下列各式正确的是(ACD）A．sin（α＋180°)＝－sinαB．cos（－α＋β）＝－cos（α－β)C．sin（－α－360°）＝－sinαD．cos(－α－β)＝cos（α＋β)[解析]对于B,cos(－α＋β）＝cos[－（α－β）］＝cos(α－β)，B错误，由诱导公式知A、C、D都正确，故选ACD．2．（多选题)下列化简正确的是(AB）A．tan（π＋1）＝tan1 B．eq\f(sin－α，tan360°－α)＝cosαC．eq\f（sinπ－α,cosπ＋α)＝tanα D．eq\f（cosπ－αtan－π－α,sin2π－α)＝1[解析]A正确；B正确，eq\f（sin－α,tan360°－α)＝eq\f(－sinα,－tanα）＝cosα;C错，eq\f(sinπ－α,cosπ＋α)＝eq\f(sinα，－cosα）＝－tanα；D错,eq\f(cosπ－αtan－π－α,sin2π－α)＝eq\f（－cosα－tanα,－sinα）＝－1.故选AB．3．设tan（5π＋α)＝m(α≠kπ＋eq\f（π，2)，k∈Z）,则eq\f(sinα－3π＋cosπ－α,sin－α－cosπ＋α）的值为（A）A．eq\f（m＋1，m－1) B．eq\f（m－1,m＋1)C．－1 D．1［解析]∵tan（5π＋α）＝m,∴tanα＝m,原式＝eq\f(－sinα－cosα，－sinα＋cosα)＝eq\f(－tanα－1，－tanα＋1）＝eq\f（－m－1，－m＋1）＝eq\f(m＋1,m－1），故选A．4．若eq\f(sinα＋cosα，sinα－cosα)＝2,则sin（α－5π)·cos(3π－α)等于(B)A．eq\f(3,4） B．eq\f（3,10)C．±eq\f(3，10） D．－eq\f（3，10）［解析]由eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα）＝2,得tanα＝3。则sin（α－5π)·cos(3π－α)＝－sin(5π－α）·cos(2π＋π－α)＝－sin(π－α)·cos（π－α）＝－sinα·(－cosα)＝sinα·cosα＝eq\f(sinαcosα，sin2α＋cos2α）＝eq\f(tanα，tan2α＋1)＝eq\f(3，10）.二、填空题5．cos1°＋cos2°＋cos3°＋…＋cos180°＝__－1__。［解析］∵cos（π－θ)＝－cosθ，∴cosθ＋cos（π－θ)＝0，即cos1°＋cos179°＝cos2°＋cos178°＝…＝cos90°＝0。∴原式＝0＋0＋…＋0＋cos180°＝－1.6．若cos(eq\f(π,6）＋θ)＝eq\f(\r(3)，3)，则cos(eq\f（5π,6）－θ）＝__－eq\f（\r（3），3）__.[解析］cos（eq\f（5π，6）－θ）＝cos[π－(eq\f(π,6）＋θ）]＝－cos(eq\f（π，6）＋θ）＝－eq\f(\r(3）,3）。7．已知n为整数,化简eq\f（sinnπ＋α,cosnπ＋α)所得结果是__tanα__.［解析］若n＝2k(k∈Z)，则eq\f（sinnπ＋α,cosnπ＋α）＝eq\f(sin2kπ＋α,cos2kπ＋α）＝eq\f(sinα，cosα)＝tanα；若n＝2k＋1(k∈Z)，则eq\f(sinnπ＋α,cosnπ＋α）＝eq\f(sin2kπ＋π＋α,cos2kπ＋π＋α)＝eq\f（sinπ＋α,cosπ＋α）＝eq\f（－sinα，－cosα）＝tanα.三、解答题8．已知f(α）＝eq\f(sinπ－αcos2π－αtan－α＋π,－tan－α－πsin－π－α).(1）化简f（α)；（2）若α是第三象限角，且sin(α＋π）＝eq\f(1，5)，求f(α)的值．[解析］（1)f（α)＝eq\f（sinαcosα－tanα,tanαsinα）＝－cosα。(2)∵sin（α＋π）＝－sinα，∴sinα＝－eq\f（1,5).又α是第三象限角，∴cosα＝－eq\f(2\r（6)，5),∴f(α)＝eq\f（2\r（6)，5）.9．在△ABC中，若sin（2π－A）＝－eq\r（2）sin（π－B),eq\r（3)cosA＝－eq\r（2）cos（π－B），求△ABC的三个内角．[解析］由已知得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(sinA＝\r（2)sinB①，,\r（3)cosA＝\r(2)cosB②，））由①2＋②2，得2cos2A＝1，∴cosA＝±eq\f（\r(2），2).当cosA＝eq\f（\r(2）,2）时，cosB＝eq\f（\r（3),2）.又A,B是三角形的内角，∴A＝eq\f（π，4），B＝eq