自动控制原理教学课件

自动控制系统的时域分析自动控制原理2第3章

自动控制系统的时域分析系统的分析方法

时域、频域时域分析的目的不必准确地把微分方程解出来，而是从微分方程判断出系统运动的主要特征——从工程角度分析系统运动规律。控制系统的性能指标在典型信号作用下，控制系统的时间响应是由动态过程和稳态过程两部分组成。所以控制系统的性能指标，通常由动态性能和稳态性能两部分组成。

1.动态过程和动态性能动态过程（过渡过程、暂态过程）：在典型输入信号作用下，系统从初态到终态的响应过程。动态响应过程有三种情况：衰减型、发散型、等幅振荡型动态性能：当系统的时间响应c(t)中的瞬态分量较大而不能忽略时，称系统处于动态或过渡过程中，这时系统的特性。稳态过程和稳态性能稳态过程是指当时间t趋近于无穷大时，系统输出状态的表现形式。它表征系统输出量最终复现输入量的程度，提供系统有关稳态误差的信息，用稳态性能来描述。通常讨论在阶跃、斜坡、加速度函数作用下的系统稳态误差；稳态误差用来衡量系统的控制精度或抗扰动性能。ess=c期望-c（）阶跃响应的性能指标：在测定或计算系统的动态性能指标时，由于阶跃函数可以表征系统受到的最严峻的工作状态，动态性能指标，一般由阶跃响应的性能指标来描述。63.1自动控制系统的时域指标1.对控制性能的要求(1)系统应是稳定的；(2)系统达到稳定时，应满足给定的稳态误差的要求；(3)系统在动态过程中应满足动态品质的要求。稳定性稳态特性动态特性7为了能对不同的控制系统的性能用统一的标准来恒量，通常需要选择几种典型的外作用。典型输入（测试）信号选取原则：（1）简单的时间函数，便于数学分析和试验研究。（2）在现场及实验室中容易获得。（3）实际信号可由这些典型信号组合而得。控制工程中常用典型输入（测试）信号：

阶跃信号，斜坡信号，抛物线信号，脉冲信号。2.自动控制系统的典型输入信号83.1自动控制系统的时域指标（1）阶跃函数A=1时称为单位阶跃函数

单位阶跃信号的拉氏变换93.1自动控制系统的时域指标（2）斜坡函数A=1时称为单位斜坡函数单位斜坡信号的拉氏变换等速度函数103.1自动控制系统的时域指标（3）抛物线函数当A=1/2时，称为单位抛物线函数

单位抛物线函数信号的拉氏变换等加速函数单位函数，拉氏变换后系数都为1113.1自动控制系统的时域指标（4）脉冲函数当A=1时，称为单位脉冲函数（t）单位脉冲信号的拉氏变换输入为脉冲函数时，输出为传递函数的表达123.1自动控制系统的时域指标（5）正弦函数周期函数用正弦函数作输入信号，可以求得系统对不同频率的正弦输入函数的稳态响应，由此可以间接判断系统的性能。0133.1自动控制系统的时域指标本章主要以单位阶跃函数作为系统的输入量来分析系统的动态响应。在工程上，许多高阶系统常常具有近似一、二阶系统的时间响应。因此，深入研究一、二阶系统的性能指标，有着广泛的实际意义。143.2一阶系统的阶跃响应

1.一阶系统的数学模型

153.2一阶系统的阶跃响应

2.一阶系统的单位阶跃响应

东北大学《自动控制原理》课程组16上升时间tr调节时间ts一阶系统的性能指标动态性能指标定义上升时间：输出响应第一次达到稳态值y(∞)所需的时间。或指由稳态值的10%上升到稳态值的90%所需的时间。调节时间：输出响应达到稳态值的95%或者98%17调节时间上升时间1.随着控制精度的不同，控制系统需要的调整时间也不同。控制精度要求越高，控制系统需要的调整时间就越长；2.系统的时间常数T越小，调节时间ts越小，响应过程的快速性也越好。ts=3T(s)，

（对应5%误差带）

ts=4T(s)，

（对应2%误差带）3.2一阶系统的阶跃响应183.3二阶系统的阶跃响应1.典型二阶系统的暂态特性

二阶系统有两个结构参数ξ

(阻尼比)和n(自然振荡角频率)

。二阶系统的性能分析和描述，都是用这两个参数表示的。闭环传函（振荡环节）：开环传函：重要典型二阶系统标准形式19特征根：特征方程：特征根的性质取决于阻尼比的大小；二阶系统的时间响应取决于和两个参数，按以下情况来研究二阶系统的时间响应。3.3二阶系统的阶跃响应20过阻尼（

>1）系统的特征根为

二不等负实根特征根（闭环极点）：3.3二阶系统的阶跃响应21输出量的拉氏变换：22输出响应的时间函数：谁衰减的更快？那个极点对系统影响更大？两个极点阶跃函数输入Xc(t)单位阶跃响应:给定信号，系统的极点有关给定信号有关的分量叫做稳态分量，由极点决定的两个为暂态分量23⑴系统响应为单调上升；⑵

稳态分量为1；⑶

暂态分量由两部分组成，极点距虚轴越近，对系统响应影响越大。⑷

当时，第二项的衰减指数远比前一项大得多，所以第二项暂态分量只是在响应的前期对系统的输出有影响，后期的影响很小，第二项可以忽略，此时的二阶系统的响应可近似为一阶系统响应。结论：具有负实极点243.3二阶系统的阶跃响应（2）欠阻尼（）

系统的特征根为

25输出量的拉氏变换：式中：阻尼角，

阻尼振荡频率

共轭极点的实部决定了响应分量的衰减速度，虚部决定了振荡频率指数衰减，等幅振荡26结论：1、欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为衰减振荡曲线。2、稳态分量为1；3、暂态分量为一按指数衰减的简谐振动时间函数，形态与和有关；4.极点的实部决定了衰减的速度，虚部决定了振荡的频率重点，理解性记忆27时的响应曲线(阻尼比反映了对振荡的阻碍能力)。0.20.30.10.40.8振荡程度与

有关：一定时，随的增大，系统的响应速度变慢，超调量减小。越小，超调量越大，振荡越剧烈。283.3二阶系统的阶跃响应（3）临界阻尼（

=1）系统的特征根为输出量的拉氏变换：

293.3二阶系统的阶跃响应输出量的时间函数：303.3二阶系统的阶跃响应（4）无阻尼（

=0）

系统的特征根为输出量的拉氏变换为

二阶系统的暂态响应为

结论：输出Xc(t)为一条在0和2之间不衰减（无阻尼）的等幅振荡曲线。31（5）

<0（负阻尼）系统的特征根为:右半S平面的二根结论：当

<0时系统具有二右半面的特征根，输出

响应为一发散形式的曲线。指数发散，正弦振荡32东北大学《自动控制原理》课程组33j0j0j0j0＞1＝10＜＜1＝02二阶系统单位阶跃响应定性分析过阻尼临界阻尼零阻尼欠阻尼衰减衰减振荡振荡阻尼比反映了对振荡的阻碍能力，可以间接判断二阶系统动态品质;极点的实部决定了衰减的速度，虚部决定了振荡的频率动态响应为单调变化曲线，没有超调和振荡，调节时间较长，系统反应迟缓欠阻尼情况下，超调量较大，振荡次数较多，调节时间长，动态品质差。最大超调量仅和阻尼比相关，通常可以根据超调量选择阻尼比343.3二阶系统的阶跃响应综上所述，在不同的阻尼比时，二阶系统的暂态响应有很大的区别，因此阻尼比

是二阶系统的重要参量。当

=0时，系统不能正常工作，而当

=1时，系统暂态响应进行的又太慢。所以，对二阶系统来说，欠阻尼情况（）是最有实际意义的。工程上把ξ＝0.707的二阶系统称为二阶最优系统。超调量小响应速度快。

2.无阻尼情况极点为：

此时输出将以频率做等幅振荡，所以，称为无阻尼振荡圆频率。3.临界阻尼情况极点为：4.过阻尼情况极点为：当P1<<P2时，系统的动态性能主要由决定，基本等价于一阶系统。1.欠阻尼（）二阶系统的单位阶跃响应为衰减振荡曲线；363.3二阶系统的阶跃响应2.二阶系统暂态特性指标

当时，典型二阶系统的输出响应为东北大学《自动控制原理》课程组37时间tr上升A3.3二阶系统的阶跃响应（1）上升时间：输出响应第一次达到稳态值y(∞)所需的时间。或指由稳态值的10%上升到稳态值的90%所需的时间。东北大学《自动控制原理》课程组39时间tr上升峰值时间tmAB超调量σ%=AB100%3.3二阶系统的阶跃响应输出响应超过稳态值达到第一个峰值ymax所需要的时间。（2）峰值时间：（3）最大超调量（简称超调量）：式中：--输出响应的最大值；

--稳态值；东北大学《自动控制原理》课程组40时间tr上升峰值时间tmAB超调量σ%=AB100%调节时间ts3.3二阶系统的阶跃响应（3）最大超调量（简称超调量）：式中：--输出响应的最大值；--稳态值；（1）上升时间：输出响应第一次达到稳态值y(∞)所需的时间。或指由稳态值的10%上升到稳态值的90%所需的时间。输出响应超过稳态值达到第一个峰值ymax所需要的时间。（2）峰值时间：（4）调节时间或过渡过程时间：当和之间的误差达到规定的范围之内[比如或]，且以后不再超出此范围的最小时间。东北大学《自动控制原理》课程组42时间tr上升峰值时间tmAB超调量σ%=AB100%调节时间ts3.3二阶系统的阶跃响应快速性：上升时间tr

，调节时间ts、峰值时间tｍ．平稳性：超调量σ

%，震荡次数433.3二阶系统的阶跃响应（1）上升时间tr系统的输出第一次达到稳态值的时间。令t=tr

时，xc(t)=1，得得：→44结论：1、当n一定时，阻尼比越小，则上升时间

tr

越短；

2、当阻尼比一定时，n越大，则tr

越短。45最大超调量发生在第一个周期中t=tm

时刻。令得峰值时间（2）最大超调量σ%输出最大值相对于输出稳态值的误差。计算公式为46即因此在n=1时出现最大超调量，所以有峰值时间为：47将代入1、只与有关，随的减小而增大。2、为了限制超调量，并使调节时间缩短结论：得输出最大值为483.3二阶系统的阶跃响应（3）调节时间ts

系统的输出与稳态值之间的偏差达到允许范围（一般取5%～2%）而不再超出的暂态过程时间。暂态过程中的偏差为

493.3二阶系统的阶跃响应当或0.02时，有忽略正弦函数的影响，认为指数项衰减到0.05

或0.02时，过渡过程即进行完毕。这样得到

50由此求得调节时间为：结论：1、调节时间与闭环极点的实部成反比。2、保持不变，增大可在不改变超调量的情况下减小ts。越大，系统调节时间越短一般取：阻尼比：0.4-0.8超调量：1.5%-25%例题：533.3二阶系统的阶跃响应（4）振荡次数

在调节时间ts内，输出量波动的次数。式中：

为阻尼振荡的周期时间。

ts为调节时间上升时间和峰值时间，系统动态响应速度：快速性

超调量和调节时间，波动程度：平稳性54令3.二阶工程最佳参数553.4高阶系统的暂态响应56式中：

——系统闭环零点，又称系统零点；

——系统闭环极点，又称系统极点。高阶系统的闭环传递函数形式：将分子和分母分解成因式----首1形式：57如果系统是稳定的，且全部的极点和零点都互不相同，而极点中包含有共轭复数极点，则当输入为单位阶跃函数时，输出量的拉氏变换为式中：；q为实数极点的个数，r为共轭极点的对数。

3.4高阶系统的暂态响应58拉氏反变换得单位阶跃响应为：3.4高阶系统的暂态响应59高阶系统存在多个极点存在；极点实部在s平面左侧离虚轴越近的点衰减越慢，占比重大；离虚轴近的点，其实部小于其他极点的实部的1/5，并且附近不存在零点，这些对动态响应起主导作用的闭环极点叫做主导极点高阶系统动态响应和极点以及零点有关如果极点距离原点很远，相应系数较小，衰减快，对动态响应影响小；如果极点靠近某个闭环零点，远离原点和其他极点，相应项系数比较小，暂态分量影响小；如果极点和零点靠的很近，该极点对动态响应几乎没有影响如果极点远离闭环零点，与原点较近没有闭环零点，其对应系数比较大，衰减慢，对系统动态响应影响较大3.4高阶系统的暂态响应举例603.5自动控制系统的代数稳定判据

一个线性系统正常工作的首要条件，就是它必须是稳定的。

用代数的方法判断线性系统的稳定性，分析系统参数变化对稳定性的影响，是本节要介绍的内容。

3.5稳定性及其判据一个自动控制系统要能正常工作,必须首先是一个稳定的系统。例如,电压自动调解系统中保持电机电压为恒定的能力;电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力以及火箭飞行中保持航向为一定的能力等。具有稳定性的系统称为稳定系统。稳定性的定义为：当系统受到外界干扰后,显然它的平衡被破坏,但在外扰去掉以后,它仍有能力自动地在平衡态下继续工作。如果一个系统不具有上述特性，则称为不稳定系统。也可以说,系统的稳定性就是系统在受到外界干扰后,系统状态变量或输出变量的偏差量(被调量偏离平衡位置的数值)过渡过程的收敛性,用数学方法表示就是式中，x(t)为系统被调量偏离其平衡位置的变化量;为任意小的规定量。如果系统在受到外扰后偏差量越来越大,显然它不可能是一个稳定系统。东北大学《自动控制原理》课程组65j0j0j0j0＞1＝10＜＜1＝02二阶系统单位阶跃响应定性分析过阻尼临界阻尼零阻尼欠阻尼衰减衰减振荡振荡66稳定的充分必要条件 系统特征方程的根（即系统闭环传递函数的极点）全部负实数或具有负实部的共轭复数，也就是所有的闭环特征根分布在s平面虚轴的左侧，即3.5自动控制系统的代数稳定判据67不需要求“根”，直接利用特征方程的系数就可以判断系统的稳定性的方法。劳斯判据是其中的一种。代数判据3.5自动控制系统的代数稳定判据68（1）列劳斯表的建立劳斯表：特征方程式：原始数据计算数据系统特征方程的全部根都在s左半平面（系统稳定）的充分必要条件是劳斯表的第1列元素全部是正数（或不变号）。若劳斯表中第1列元素改变符号（不全为正），则系统不稳定。方程在s右半平面根的个数等于元素变号的次数。（2）劳斯判据注意：a0>070例3-4系统的特征方程如下，试用劳斯判据判断系统的稳定性。解：列劳斯表该系统不稳定，变号2次，有2个根在S右半平面

3.5自动控制系统的代数稳定判据7常数项，是偶次项最后一项，不变71例3-5系统的特征方程如下,试用劳斯判据判断系统的稳定性。处理方法：可以用一个小的正数代替它，而继续计算其余各元，完成劳斯表。解：列劳斯表变号两次，有两个右半S平面的根。第一列元素有为零项，系统必不稳定；a.劳斯表第一列出现零的情况系统闭环极点：-1.8832

0.2071+0.9783i0.2071-0.9783i-0.5310系统必不稳定！例3-6系统的特征方程如下,判断系统的稳定性。解：列劳斯表第1列各元中的上面和下面的系数符号不变，故有一对虚轴上的根。将特征方程式分解，有解得根为有一个暂态分量持续震荡。临界稳定！73处理方法：利用全0行的上一行各元构造一个辅助方程，式中均为偶次。以辅助方程的导函数的系数代替劳斯表中的这个全0行，然后继续计算下去。这些大小相等而关于原点对称的根可以通过求解这个辅助方程得出。

b.劳斯表的某一行所有元全为零这表明方程有一些大小相等且对称于原点的根。例如显然，系统是不稳定的。系统必不稳定！3.5自动控制系统的代数稳定判据解：列劳斯表例3-7系统的特征方程如下,试用劳斯判据判断系统的稳定性。由上表可以看出，s3行的各项全部为零。为了求出s3～s0各项，用s4行的各元构成辅助方程式

3.5自动控制系统的代数稳定判据它的导函数为用导函数的系数4和12代替行相应的元继续算下去，得劳斯表为

结论：在新得到的劳斯表中第1列没有变号，因此可以确定在S右半平面没有特征根。另外，由于行的各元均为零，这表示有共轭虚根。系统处于临界稳定状态。