应力状态与强度理论

第一节概述

第二节平面应力状态分析·主应力第三节强度理论及其应用应力状态和强度理论1、一点处的应力状态§1概述

应力状态概述

构件内一点处各截面方向上的应力的情况，称为该点的应力状态。可由围绕该点的一个单元体表面上的应力表示。目的：通过应力状态分析求出该点处的max、max及其作用面，从而更好地进行强度分析。

单元体每个面上应力均布；每对相互平行面上的性质相同的应力大小相等；可用截面法求任一截面上的应力。单元体如何取？

在研究点的周围，取一个由三对互相垂直的平面构成的六面体，该六面体的边长分别为无穷小量dx、dy和dz，如下图所示。dydzdxzxy应力状态概述

对单轴或纯剪切应力状态，可由实验测得的相应的材料许用应力来建立正应力和切应力强度条件。2、强度理论

而当一点处的应力状态较为复杂时，因应力的组合形式有无限多的可能性，不可能由实验的方法来确定每一应力组合下材料的极限应力，因此需确定引起材料破坏的共同因素。

关于材料破坏的共同因素（即破坏规律）的假说，即称为强度理论。可根据强度理论来建立强度条件。强度理论概述§2平面应力状态分析•主应力

对图a所示悬臂梁上A点处单元体上的应力分布（图b）可见：有一对平面上的应力等于零，而不等于零的应力分量都处于同一坐标平面内。ssttttAF(a)

adcbAa'b'd'c'(b)

adcbAttttss

该应力状态则称为平面应力状态，其单元体可简化为左图所示情形。平面应力状态1、斜截面上的应力已知如下图a（或图b）所示的一平面应力状态：xyzabcdtxytyx(a)sxsytyxsysxtxyefanadabctxytyxtxyx(b)sxsxsysytyxy

可由截面法求与前、后两平面垂直的斜截面上应力。如图b所示，斜截面ef的外法线与x轴间的夹角为，称为截面。斜截面应力应力的正负和斜截面夹角的正负规定：1）正应力拉为正，压为负；2）切应力使单元体产生顺时针旋转趋势为正；反之为负；3）对角，x轴逆时针旋转这一角度而与斜截面外法线重合时，其值为正；反之为负。

取图c所示分离体进行分析。图c中所示斜截面上应力为正，斜截面夹角为正。efbtyxtxyatasa(c)sxsy斜截面应力

由图d所示体元上各面上的力的平衡，参考法线n和切线t方向可得：⇒ntsydAsina(d)bftyxdAsinatadAtxydAcosaesadAsxdAcosa斜截面应力由此可得，任一斜截面上的应力分量为：⇒其中dA为斜截面ef的面积。斜截面应力解：C点应力状态如图b所示，其拉应力和切应力为：例1

图示圆轴中，已知：圆轴直径d=100mm，轴向拉力F=500kN，外力矩Me=7kN·m。求C点=-30°截面上的应力。(b)Cxtxsxsxtxtytyy(a)xTFTCF斜截面应力图示斜截面上应应力分量为：Cxtxsxsxtxtytyy30°nst-30-30°°斜截面应力2、应力圆由任一斜截面上上应力分量的计计算公式可得：：两式两边平方后后求和可得：应力圆而圆方程为：可见前式实际上上表示了在为水平轴、为垂直轴的坐标标系下的一个圆圆，其圆心坐标标为：半径为：如下图。应力圆单元体斜截面上上应力（，）和应力圆上点点的坐标（，）一一对应，因因此可通过确定定应力圆上相应应点的坐标来求求斜截面上应力力（，）。因为圆心一定在在轴上，只要知道道应力圆上的两两点（即单元体体两个面上的应应力），即可确确定应力圆。tsOC应力圆1）应力图的画法已知x、y、xy、yx，如右图，假定定x>y。在、坐标系内按比例例尺确定两点：：dabcefatxytytxyxnasxsxsyxsytyxy应力圆以C为圆心，线段CD1或CD2为半径作圆，即即为应力圆。连接D1、D2两点，线段D1D2与轴交于C点。CC应力圆2）证明对下图所示应力力圆可见C点的横坐标为：：从D1点按斜截面角的转向转动2得到E点，该点的坐标标值即为斜截面面上的应力分量量值。C2sOtCs2FA1B1B2A2D1D2Etxtysysxs12a02a由于可得：应力圆因此，C点坐标为应力圆圆圆心坐标，并并且该线段长度等于于应力圆半径。。从而证明上述圆圆确为应力圆。。则：应力圆应力圆另外，E点横坐标为：可见，E点坐标值即为斜截面上的应力力分量值。即：同理可得E点的纵坐标为：：应力圆应力圆由于应力圆上点点的坐标与单元元体面上的应力力分量值一一对对应，因此，按按比例作图，可可通过直接用尺尺子量出坐标值值来求任意斜截截面上的应力分分量，此即称为为图解法。解：按一定比例画画出应力圆。例2用图解法求图示示=-30°斜截面上的应力力值。因为图示应力状状态有：x30°tx=35.7MPasx=63.7MPayn应力圆按一定比例，作作出应力圆，并并找到斜截面对对应的点，量取取其坐标可得：：则x、y截面在应力圆上上两点为：EsDy(0,35.7)Dx(63.7,-35.7)60°-30°(s-30°，)20MPa应力圆圆上一点，体上上一面；圆上半径，体上上法线；转向一致，数量量一半；直径两端，垂直直两面。应力圆和单元体体的对应关系应力圆3、主平面和主应应力对图a所示应力状态，，作出应力圆（（图b）。s1a0s1s3s3主平面：剪应力力=0的平面；主应力：主平面面上的正应力。。可证明：并规定：可见：txsy(a)tsODyDxCA2A12a0(b)主应力sOtCs2FA1B1B2A2D1D2Etxtysysxs12a02a返回具体值可在应力力圆上量取，即即：主平面位置：图a中1主平面的方位角角0对应于应力圆圆（（图b）上的圆心角20。主应力值和主应应力平面的计算算：由图b可见，A1、A2两点的横坐标为为：主应力应力圆由此可得两个主主应力值为：因为1主平面方位角的的两倍对应于应力圆上上20，而主应力应力圆所以，1主平面方位角0为：对应的最大切应应力为：主应力应力圆例3求图a所示应力状态的的主应力及方向向。解：1、应力圆图解法法：因为：所以：按一定比例作出出应力圆（图b）。ytx30MPa100MPa=40MPax(a)DxDyA3A120(b)主应力由应力圆通过直直接量取，并考考虑主应力的大大小关系可得：：由此可得：主应力单元体以以及主平面的方方位如图c所示：s1sa0s1yx(c)主应力2、解析法：所以：⇒主应力§7-3强度理论及其应应用ss1、概述1）单向应力状态：图示拉伸或压缩缩的单向应力状状态，材料的破破坏有两种形式式：塑性屈服：极限限应力为脆性断裂：极限限应力为此时，s、p0.2和b可由实验测得。。由此可建立如如下强度条件：：其中n为安全系数。强度理论概述2)纯剪应力状态：图示纯剪应力状状态，材料的破破坏有两种形式式：塑性屈服：极限限应力为脆性断裂：极限限应力为其中，s和b可由实验测得。。由此可建立如如下强度条件：：强度理论概述3）复杂应力状态txsx来建立，因为与之间会相互影响。研究复杂应力状状态下材料破坏坏的原因，根据据一定的假设来来确定破坏条件件，从而建立强强度条件，这就就是强度理论的的研究内容。对图示平面应力力状态，不能分分别用强度理论概述4）材料破坏的形式式塑性屈服型：常温、静载时材材料的破坏形式式大致可分为：：脆性断裂型：铸铁：拉伸、扭扭转等；低碳钢：三向拉拉应力状态。低碳钢：拉伸、、扭转等；铸铁：三向压缩缩应力状态。例如：例如：可见：材料破坏的形式式不仅与材料有有关，还与应力力状态有关。强度理论概述根据一些实验资资料，针对上述述两种破坏形式式，分别针对它它们发生破坏的的原因提出假说说，并认为不论论材料处于何种种应力状态，某某种类型的破坏坏都是由同一因因素引起，此即即为强度理论。脆性断裂：塑性屈服：5）强度理论常用的破坏判据据有：下面将讨论常用用的、基于上述述四种破坏判据据的强度理论。。强度理论概述2、四个常用的强强度理论强度条件：1）最大拉应力理论论(第一强度理论)假设最大拉应力力1是引起材料脆性性断裂的因素。。不论在什么样样的应力状态下下，只要三个主主应力中的最大大拉应力1达到极限应力0，材料就发生脆脆性断裂，即：：可见：a)与2、3无关；b)应力0可用单向拉伸试试样发生脆性断断裂的试验来确定。常用强度理论实验验证：铸铁：单拉、纯纯剪应力状态下下的破坏与该理理论相符；平面面应力状态下的的破坏和该理论论基本相符。存在问题：没有考虑2、3对脆断的影响，，无法解释石料料单压时的纵向向开裂现象。常用强度理论2）最大伸长线应变变理论(第二强度理论)实验验证：a)可解释大理石单单压时的纵向裂裂缝；b)铸铁二向、三向向拉应力状态下下的实验不符；；c)对铸铁一向拉、、一向压的二向向应力状态偏于于安全，但可用。。强度条件为：第一、二强度理理论都是以脆性断裂作为破坏标志的的。常用强度理论对低碳钢等塑性性材料，单向拉拉伸时的屈服是是由45°斜截面上的切应应力引起的，因因而极限应力jx可由单拉时的屈屈服应力求得，即：3）最大切应力理论论(第三强度理论)假设最大切应力力max是引起材料塑性性屈服的因素，，则：因为：常用强度理论实验验证：c)二向应力状态基基本符合，偏于于安全。b)仅适用于拉压性性能相同的材料料。由此可得，强度度条件为：a)仅适用于拉压性性能相同的材料料；b)低碳钢单拉(压)时45滑移线吻合；存在问题：没考虑2对屈服的影响，，偏于安全，但但误差较大；常用强度理论假设形状改变能能密度vd是引起材料塑性性屈服的因素，，即：4）形状改变能密度度理论(第四强度理论)因为材料单拉屈屈服时有：可通过单拉试验来确定。所以：又：常用强度理论因此：由此可得强度条条件为：实验验证：a)较第三强度理论论更接近实际值值；b)材料拉压性能相相同时成立。第三、四强度理理论是以出现塑性屈服或发生显著塑性变形为破坏标志的。。常用强度理论近似包络线极限应力圆的包络线Ots极限应力圆两个概念：1、极限应力圆：：2、极限曲线：极极限应力圆的包包络线。5）摩尔强度理论常用强度理论2、强度准则：1、破坏判据：O3

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