考研高数总复习第一章多项式第十一节(讲义)

二、定义定义13

n

元多项式f(x1,…,xn),如果对于任意的i,j,1i,j

n,都有f(x1,…,xi,…,xj,…,xn)=f(x1,…,xj,…,xi,…,xn),那么这个多项式称为对称多项式.第一页，共20页。这就是说，如果任意对换两个文字的地位，f(x1,…,xn)恒不变，它就是一个对称多项式.例如f(x1,x2,x3)=x12x2+x22x1+x12x3+x32x1+x22x3+x32x2是一个三元对称多项式.1=x1+x2+…+xn,2=x1x2+x1x3+…+xn-1

xn,…………n=x1x2…

xn等式第二页，共20页。中的1,2

,…,n

都是n

元对称多项式，它们称为初等对称多项式.由对称多项式的定义可知，对称多项式的和、积以及对称多项式的多项式还是对称多项式.后一论断是说，如果f1,f2,…,fm

是n

元对称多项式，而g(y1,y2,…,ym)是任一多项式，那么g(f1,f2,…,fm

)=h(x1,x2,…,xn)是n

元对称多项式.第三页，共20页。三、对称多项式基本定理定理15

对于任意一个n

元对称多项式f(x1,x2,…,xn)都有一个n

元多项式

(y1,y2,…,yn),使得f(x1,x2,…,xn)=(1,2

,…,n

).第四页，共20页。证明设对称多项式f(x1,x2,…,xn)的首项(按字典排列法)为我们指出，作为对称多项式的首项，必有l1

l2

...

ln

0.否则，设有li<li+1,第五页，共20页。由于f(x1,x2,…,xn)是对称的，所以f(x1,x2,…,xn)在包含的同时必包含这一项就应该先于,与首项的要求不符.作对称多项式第六页，共20页。因为1,2

,…,n的首项分别是x1,x1x2,…,x1x2…xn,于是在展开之后，首项为这就是说，f(x1,x2,…,xn)与1

有相同的首项，第七页，共20页。因而，对称多项式f1(x1,x2,…,xn)=f(x1,x2,…,xn)-=f-1

比f(x1,x2,…,xn)有较“小”的首项.对f1(x1,x2,…,xn)重复上面的作法，并且继续作下去，我们就得到一系列的对称多项式第八页，共20页。f,f1=f-1

,f2=f1-2

,….它们的首项一个比一个“小”，其中i是1,2

,…,n的多项式.设是f,f1=f-1

,f2=f1-2

,…中某一对称多项式的首项，于是要先于它，就有l1

p1

p2

...

pn

0.适合上述条件的n

元数组(p1

,p2

,...,

pn)只能有有第九页，共20页。限多个，因而f,f1=f-1

,f2=f1-2

,…中也只能有有限多个对称多项式不为零，即有正整数h

使fh这就证明了f(x1,x2,…,xn)=1

+2

+…+h

可以表成初等对称多项式的一些单项式的和，也就是说f(x1,x2,…,xn)可以表成初等对称多项式的一个多项式.证毕=0.第十页，共20页。实际上，还可以证明，定理中的多项式

(y1,y2,…,yn)是被对称多项式f(x1,x2,…,xn)唯一确定的.这个结果与定理15合在一起通常称为对称多项式基本定理.应该看到，证明的过程就是把一个对称多项式具体表为初等对称多项式的多项式的过程.第十一页，共20页。例1

把三元对称多项式x13+x23+x33

表为1,2,3

的多项式.解x13+x23+x33的首项为x13

，它所对应的有序数组为(3,0,0)，而13-0

20-0

30=13.作对称多项式x13+x23+x33-13

=-3(x12x2+x22x1+…)-6x1x2x3,第十二页，共20页。它的首项-3x12x2的方幂为(2,1,0)，而-312-1

21-0

30=-31

2

=-3(x1+x2+x3)(x1x2+x2x3+x3x1)=-3(x12x2+x22x1+…)-9x1x2x3.所以x13+x23+x33-13+31

2

=3x1x2x3=33,于是x13+x23+x33=13-31

2+33.第十三页，共20页。对于x1,x2,…,xn

，差积的平方是一个重要的对称多项式.按基本定理，D

可以表成a1=-1,a2=2

,…,ak=(-1)k

k,…,an=(-1)n

n

的多项式D(a1,a2,…,an).由根与系数的关系知x1,x2,…,xn是f(x)=xn+a1xn-1+…+an

第十四页，共20页。的根，容易看出D(a1,a2,…,an)=0是方程f(x)=xn+a1xn-1+…+an=0在复数域中有重根的充分必要条件.我们称D(a1,a2,…,an)为一元多项式f(x)=xn+a1xn-1+…+an=0的判别式.第十五页，共20页。例2

求二次多项式f(x)=x2+px+q

的判别式.解设f(x)的两个复根为x1,x2

，则D=(x1-x2)2.D

首项是x12.令1=12-020=12，得f1=D-1

=(x1-x2)2-(x1+x2)2=-4x1x2.第十六页，共20页。再令2=-42

，即得f2=f1-2

=0.于是D=1

+2

=12-42

.根据根与系数的关系，得1

=-p,2

=q.所以D=p2-4q

.第十七页，共20页。例3

求三次多项式f(x)=x3+px+q

的判别式.解设f(x)的三个复根为x1,x2,x3,则D=(x1-x2)2(x1-x3)2(x2-x3)2.D

的首项是x14x22.列出可能出现的首项所对应的有序数组如下：第十八页，共20页。首项对应的有序数组相应的单项式(4,2,0)1222

(4,1,1)133

(3,3,0)23

(3,2,1)1

23(2,2,2)32

因此D=a11222

+a2133

+a323

+a4123+a532.第十九页，共20页。注意到f(x)的二次项的系数等于零，也就是说1

=x1+x2+x3=0,