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第五 函数展开成幂级习 11-

ax(a0) (a0)asin(xπ); exe 4 shx 42 x23x

sin2x xsinxdx (xln

lnna解 a

n!x

xn1 xa a1 n0aπ

22 22sin(x )4

2

(1) 2 (2n

x n11ln(ax)ln[a(1)]lna

x(a,a]n nexe 1 n n shx 2[n! n!]2[1(1)]n!(2n1)! 1

4 x24 1{1(1)(1x2)1(1)(11)(1x2 ·1(1)(11)·(1n1)(1x2)n1

(2n1)!! n1x n1

11 x23x x x 1 212

1

xn(1

1

(

n n122n1sinx2(1cos2x)[1 (2n)!] 2

nn

x(,)

(1)(n1)x(1

xsin x1 x xdx0x(1)(2n dx0 (2n0 x 0

=

xdx

x(,)dex

x

dex

(n ) (n0 ) ( ) x0. dxn1n! n1dex (n

将下列函数在指定点处展开成(xx0的幂级数lnx,x 1,x3 cosxxπ ,x cosx

x24x 201,x0 ln(x1x2),20

0x n1 n1(x解 令tx1,则lnx

nn

n 1

n(xn 令tx3,则xt t 令txπ,3

31 3

cosxcos(tπ)1cost3sin (xπ

π1(1)n[

(x

] 22令tx1,

(2n 1[11x24x (x3)(x (t4)(t 2t t 1 1 1 ]4

t

t]4n22

221 1

n0 8n0

)tn

1)(x

令tx1,1 (

)'((1)ntn)'

(t t

( (1)n1n(x1)n1(1)n(n1)(x1)n x(0,2) 1注意求函数的级数时,往往通过变量代换转为求函数的林级数1f(xln(x

),f'(x)(1x2)1(1)x21(1)(11)(x2

·1(1)(11)·(1n1)(x2)n 1(1)n(2n1)!!2n,

xf(x) f'(x)dxx(1)n(2n x2n1 xx

(2n)!!2nf(xanxn(RxR),试证f(x为奇函数时,必有a2k0(k0,12,·f(x为偶函数时,必有a2k10(k0,1,2,· 证 由题得RxR时,f(x)an(1)nxn,故f(x)an(1)n1xn 所以由函数幂级数展式的唯一性知an(1)n1an(n0,1,2,·),因此当n2k(k0,1,2,·时,a2k0(k0,12,· 由题知当RxR时 f(x)an(1)nxn,从而f(x)an(1)nxn 故由函数的幂级数展式的唯一性知an(1)nan(n0,1, ,因此n2k1(k0,1,2,·时,a2k10(k0,1,2,·利用幂级数展开式的唯一性,f(xex2x0n阶导数 2 解x(时,f(xex(x)

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