中考数学最值问题的常用解法VIP

中考数学最值问题的常用解法

本文以2009年中考数学试题为例，谈谈最值问题的常用解法，供参考。一、利用判别式三、构造一次函数例3（潍坊市）某班50名同学分别站在公路的A、B两点处，A、B两点相距1000米，A处有30人，B处有20人，要让两处的同学走到一起，并且使所有同学走的路程总和最小，那么集合地点应选在()图1(A)A点处(B)线段AB的中点处(C)线段AB上，距A点米处(D)线段AB上，距A点400米处解：设集合地点在线段AB的M处，距A点x米，距B点y米，所有同学走的路程总和为w米，依题意，得其中m的最大值为2。故选(B)。五、利用“垂线段最短”例5（德州市）如图2，点A的坐标为(-1，0)，点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为()图2图3故选(C)。七、观察法例7（烟台市）如图4，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是______。图4图5图6图7图8解：如图8，过点B作BE⊥AC于E交AD于M点，过点M作MN⊥AB于点N，由角平分线性质可知，ME=MN，此时BM+MN的值最小，BM+MN=BE。在Rt△ABE中，∠BAE=45°，，所以BE=4。九、构造二次函数例10（包头市）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是______。解：设一段铁丝长为xcm，则另一段铁丝长为(20-x)cm，则十、分段函数法例11（黄冈市）新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线，由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来的逐步盈利过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）。公司积累获得的利润y（万元）与销售时间x（月）之间的函数关系（即前x个月的利润总和y和x之间的关系）对应的点都在如图9所示的图象上。该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线的一部分，且点A、B、C的横坐标分别为4、10、12。图9(1)求该公司累积获得利润y（万元）与时间x（月）之间的函数关系式；(2)直接写出第x个月所获利润S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；(3)前12个月中，第几个月公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？解：(1)设直线OA的方程为y=kx，则由A(4，-40)在该直线上，得-40=4k，解得k=-10，所以y=-10x。设曲线AB所在的抛物线方程为十一、立体图形平面化例12（恩施自治州）如图10，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是()图10解：所求最短距离就是将长方体展开后线段AB长度最短者。图11图12十二、利用不等式组例13（深圳市）迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆。(1)某校九年级(1)班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种，请你帮助设计出来。(2)若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个乙种造型的成本是960元，试说明(1)中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？解：(1)设搭配A种造型x个，则B种造型为(50-x)个。依题意，得解得31≤x≤33。因为x是整数，所以x可取31，32，33。所以可设计三种搭配方案：①A种园艺造型31个，B种园艺造型19个；②A种园艺造型32个，B种园艺造型18个；③A种园艺造型33个，B种园艺造型17个。(2)方法一：由于B种造型的成本高于A种造型的成本，所以B种造型越少成本越低，故应选择方案③成本最低，最低成本为：33×800+17×960=42720（元）。方法二：方案①需成本：31×800+19×960=43040（元）；