第14讲 立体几何求体积(原卷版)

第14讲立体几何求体积一、必备秘籍1．等积变换法等积变换法的思想是：从不同的角度看待原几何体，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理，来求原几何体的体积。割补法割补法的思想是：通过分割或补形，将原几何体分割或补成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积。向量法如图，平面J的斜线PA交平面u于点A，向量V是平面u的法向量，设点P到平面J的距离为d设PA=(x,y,z)，则v=(x,y,z)，PA-V=1PAIIVIcos0，则d=1PAllcos01=1PAV1。111222|VI二、例题讲解(2021•陕西宝鸡•高三月考(文))如图(1)所示，已知正方形AMCD的边长为2,延长AM，使得M为AB中点，连结AC.现将MDC沿AC折起，使平面ADC丄平面ABC,得到几何体D-ABC,如图(2)所示.求证：BC丄平面ACD;求几何体D-ABC的体积.

（2021•四川攀枝花•高三三模（文））如图，三棱锥P-ABC中，PA丄面ABC,△ABC为正三角形,点Ai在棱pA上,且PA=4PAi，%Ci分别是棱PB、pC的中点，直线AB与直线AB交于点D，直线AC与直线AC交于点E，AB=6，PA=8.（1）求证：DE//BC；（2）求几何体ABC-ABC的体积.111（2022•全国高三专题练习）在五面体ABCDEF中，四边形ABEF为正方形，平面ABEF丄平面CDFE，（1）若平面ACF丄平面BCE，求DF的长；（2）在第（1）问的情况下，过D点做平行于平面BCE的平面«交EF于点G,交AB于点H，求三棱柱DGH-BCE的体积.三、实战练习（2021•浙江高三月考）如图，多面体ABCDEF中,四边形ABCD为菱形，在梯形ABEF中,AF//BE,AF丄AB,AB=BE=2AF=2，平面ABEF丄平面ABCD.

证明：BD丄平面AFC；若多面体ABCDEF的体积为空3,ZADC为锐角，求ZADC的大小.3(2021•江西南昌•高三开学考试(文))如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，MBD为等边三角形，E为PC中点，平面EBD丄平面ABCD.(II)若AB=2，求三棱锥P-BED的体积.3.(2021安徽安庆高三月考(文))如图，在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形，ZDAB=60°,PB=PD八7，PA=3.

证明：PA丄BD；若PE=2EA，求三棱锥E-PBC的体积.4.(2021•江西高三月考(文))如图，直三棱柱ABC一ABC中，D是AB的中点，AC=BC=3,AB=3迈，AA=6.1)求证：AC//平面CDB；(2)求点C1到平面CDB］的距离.5.(2021•贵州贵阳•高三开学考试(文))长方体ABCD-ABCD中，AB=AD=1，AA=2，p是上底11111面内的一点，经过点P在上底面内的一条直线l满足l丄PC.

AR（1）作出直线l，说明作法（不必说明理由）；（2）当p是AC中点时，求三棱锥P-BCD的体积.111（2021•浙江高三专题练习）如图，平面ABCD丄平面ADEF,其中ABCD为矩形，ADEF为直角梯形,AFIIDE，AF丄EF，dh丄af，AF=2EF=2DE=2.1）求证：FD丄平面ABCD；（2）若三棱锥B-ADF的体积为1，求点A到平面BDF的距离.（2021•四川成都•高三其他模拟（文））如图，在四棱锥P-ABCD中，DCIIAB，BC丄AB，E为棱AP的中点，AB=4，PA=PD=DC=BC=2.

(2)若平面PAD丄平面ABCD，试求三棱锥P-BDE的体积.(2021•全国高三模拟预测(文))如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，四边形ADEF为正方形，DE=BD=1，ce,2，点G为AD中点，点H为DE中点.求证：平面ADEF丄平面ABCD且FH丄BE；求三棱锥B-CEG的体积.(2021•陕西(文))如图，在四棱锥A-BCDE中，平面ABE丄平面BCDE，四边形BCDE是边长为4的正方形，M，N分别为AE，AC的中点.

(2)若AABE为等边三角形，求三棱锥D-AMN的体积.(2021•新疆高三模拟预测(文))如图所示，四棱锥P-ABCD中，PA丄菱形ABCD所在的平面,ZABC=60。，点E、F分别是BC、PD的中点.求证：平面AEF丄平面PAD；当AB=2AP=2时，求多面体PABEF的体积.(2021•千阳县中学高三模拟预测(文))如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形,ZABC=60°△PAB为正三角形，且侧面PAB丄底面ABCD，E为线段AB的中点，M在线段PD上.

求证：PE丄AC；当点M满足PM=2MD时，求多面体PAECM的体积.(2021•全国高三专题练习(文))在如图所示的空间几何体中，平面ACD丄平面ABC,△ACD与AACB均是等边三角形，AC=BE=4，be和平面ABC所成的角为60。，且点E在平面ABC上的射影落在ZABC的平分线上.求证：DE丄平面ADC；求多面体DE—ABC的体积.(2021•全国高三月考(文))如图，已知直三棱柱ABC—ABC的底面为正三角形，侧棱长都为4,A、2221B1>C分别在棱AA、BB、CC上，且AA=1,BB=2,CC=3，过AB,AC的中点M,N且与直11222121212线AA平行的平面截多面体ABC—ABC所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面.2111222

证明：中截面DEFG是梯形；若直线AC与平面ABC所成的角为45°，求多面体ABC-ABC的体积.11222111222(2021•山西阳泉•高三期末(文))如图，在棱长为a的正方体ABCD-ABCD中，M,N,P分别1111为棱AD,CD,BC的中点.1111求证：AC丄NP；求四面体DMNP的体积.(2021•华东师范大学第三附属中学)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA丄平面ABCD,1PB、PD与平面ABCD所成的角依次是45。和arctan牙，AP=2，E、F依次是PB、PC的中点；求直线EC与平面PAD所成的角的正弦值;求三棱锥P-AFD的体积；16-(2°16•上海嘉定