第5炼 函数的对称性与周期性

第5炼函数的对称性与周期性一、基础知识(一)函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴(或对称中心)对称2、轴对称的等价描述：(1)f(a-x)=f(a+x)of(x)关于x二a轴对称(当a二0时，恰好就是偶函数)在已知对称轴的情况下，构造形如f(a-x)=f(b+x)的等式只需注意两点，一是等,a+b式两侧f前面的符号相同，且括号内x前面的符号相反；二是a,b的取值保证x=丁为所给对称轴即可。例如：f(x)关于x=1轴对称nf(x)=f(2—x)，或得到f(3-x)=f(-1+x)均可，只是在求函数值方面，一侧是f(x)更为方便(3)f(x+a)是偶函数，则f(x+a)=f(-x+a)，进而可得到：f(x)关于x=a轴对称。①要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在f(x+a)中，x仅是括号中的部分，偶函数只是指其中的x取相反数时，函数值相等，即f(x+a)=f(一x+a)，要与以下的命题区分：若f(x)是偶函数，则f(x+a)=f[-(x+a)]:f(x)是偶函数中的x占据整个括号,所以是指括号内取相反数，贝9函数值相等，所以有f(x+a)=f[-(x+a)]②本结论也可通过图像变换来理解，f(x+a)是偶函数，则f(x+a)关于x=0轴对称,而f(x)可视为f(x+a)平移了a个单位(方向由a的符号决定)，所以f(x)关于x=a对称。2、中心对称的等价描述：(1)f(a-x)=—f(a+x)of(x)关于(a,0)中心对称(当a二0时，恰好就是奇函数)((在已知对称中心的情况下，构造形如f(a-x)=-f(b+x)的等式同样需注意两点,Ta+b是等式两侧f和x前面的符号均相反；二是a,b的取值保证x=为所给对称中心即可。2例如：f(x)关于(-1,0)中心对称nf(x)=-f(-2-x)，或得到f(3-x)=-f(-5+x)均可，同样在求函数值方面，一侧是f(x)更为方便(3)f(x+a)是奇函数，则f(x+a)=-f(-x+a)，进而可得到：f(x)关于(a,0)中心对称。要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在f(x+a)中，x仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的x取相反数时，函数值相反，即f(x+a)=f(-x+a)，要与以下的命题区分：若f(x)是奇函数，则f(x+a)=-f_-(x+a)]：f(x)是奇函数中的x占据整个括号,所以是指括号内取相反数，贝9函数值相反，所以有f(x+a)=-f[-(x+a)]本结论也可通过图像变换来理解，f(x+a)是奇函数，则f(x+a)关于(0,0)中心对称，而f(x)可视为f(x+a)平移了a个单位(方向由a的符号决定)，所以f(x)关于(a,0)对称。4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：可利用对称性求得某些点的函数值在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像极值点关于对称轴(对称中心)对称在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同(二)函数的周期性1、定义：设f(x)的定义域为D，若对VxeD,存在一个非零常数T,有f(x+T)=f(x),则称函数f(x)是一个周期函数，称T为f(x)的一个周期2、周期性的理解：可理解为间隔为T的自变量函数值相等3、若f(x)是一个周期函数，则f(x+T)=f(x)，那么f(x+2T)=f(x+T)=f(x),即2T也是f(x)的一个周期，进而可得：kT(keZ)也是f(x)的一个周期4、最小正周期：正由第3条所说，kT(keZ)也是f(x)的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期。然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数f(x)=C5、函数周期性的判定：f(x+a)=f(x+b):可得f(x)为周期函数，其周期T=|b-af(x+a)=—f(x)nf(x)的周期T=2a分析:直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：f(x+2a)=-f(x+a)所以有：f(x+2a)=—f(x+a)=—(—f(x))=f(x)，即周期T=2a注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期1f(x+a)=帀nf(x)的周期T=2a11分析：f(x+2a)=()=—1—=f(x)f(x+a丿1f(x)f(x)+f(x+a)=k(k为常数)nf(x)的周期T=2a分析：f(x)+f(x+a)=k,f(x+a)+f(x+2a)=k，两式相减可得：f(x+2a)=f(x)f(x)・f(x+a)=k(k为常数)nf(x)的周期T=2a双对称出周期：若一个函数f(x)存在两个对称关系，则f(x)是一个周期函数，具体情况如下：(假设b>a)若f(x)的图像关于x=a,x=b轴对称，则f(x)是周期函数，周期T=2(b—a)分析：f(x)关于x=a轴对称nf(一x)=f(2a+x)f(x)关于x=b轴对称nf(一x)=f(2b+x):.f(2a+x)=f(2b+x)f(x)的周期为T=2b一2a=2(b一a)若f(x)的图像关于(a,0),(b,0)中心对称，则f(x)是周期函数，周期T=2(b—a)若f(x)的图像关于x=a轴对称，且关于(b,0)中心对称，则f(x)是周期函数，周期T=4(b-a)7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质。函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”单调区间：由于间隔kT(keZ)的函数图象相同，所以若f(x)在(a,b)(b一a<T)上单调增(减)，则f(x)在(a+kT,b+kT)(keZ)上单调增(减)对称性：如果一个周期为T的函数f(x)存在一条对称轴x=a(或对称中心)，则kTf(x)存在无数条对称轴，其通式为x-a+2证明：•・•f(x)关于x-a轴对称f(x)-f(2a一x)函数f(x)的周期为T.f(x+kT)-f(x)kTf(x+kT)-f(2a一x)f(x)关于x-a+—轴对称2注：其中(3)(4)在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法二、典型例题：例1：设f(x)为定义在R上的奇函数，f(x+2)-—f(x)，当0<x<1时，f(x)-x，则f(7.5)-

(1例(1例2：定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=2f(x)，当xe[0,2)时，f(x)=-|-3x一「21，=(1A.-1A.-41C.-—2D.-4例3：定义在R上的函数f(x)对任意xgR，都有f(x+2)=牡,f(2)=1，则TOC\o"1-5"\h\z1+f(x)4f(2016)等于(1A.-1A.-41B.-2C.D.-35()()[log(1—x),x<0例4(2009山东)：定义在R上的函数f(x)满足f(x)=^f(；1)f(x2)x>°，则f(2009)的值为()A.-1B.A.-1B.0C.1D.2例5：函数f(x)是周期为4的偶函数，当xg［0,2］时，f(x)=log(x+1)-1，则不等2式xf(x)>0在［-1,3］上的解集为.例6：已知f(x)是定义在R上的函数，满足f(x)+f(-x)=0,f(x-1)=f(x+1)，当xe(0,1)时，f(x)=-x2+x,贝y函数f(x)的最小值为(TOC\o"1-5"\h\z1111A.B.—C.—D.—4422例7：已知定义域为R的函数f(x)满足f(一x)=-f(x+4)，且函数f(x)在区间(2,+8)

上单调递增，如果x<2<x，且xi+x2<4，则fWkf(x2)的值(例9：已知定义域为R的函数y=f(x)在[o,7]上有1和6两个零点，且y=f(x+2)与y=f(x+7)都是偶函数，则y=f(x)在[o,2013]上的零点个数至少有()个B.恒大于0A.可正可负例8B.恒大于0A.可正可负例8函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数C.可能为0D.，则(恒小于0A.fA.f(x)是偶函数B.f(x)是奇函数C.fC.f(x)=f(x+2)D.f(x+3)是奇函数A.404B.804C.806D.402例10：设函数y=f(x)是定义在R上以1为周期的函数，若g(x)=f(x)—2x在区间[2,3]上的值域为[—2,6]，则函数g(x)在[—12,12]上的值域为()A.[—2,6]B.[—20,34]C.[—22,32]d.[-24,28〕三、近年模拟题题目精选1、已知函数f(x)是R上的偶函数，且满足f(x+1)+f(x)=3，当xe[—1,0〕时，f(x)=2+x，则f(—2007.5)的值为()A．0.5B．1.5C．—1.5D．12、设函数f(x)满足f(x+兀)=f(x)+sinx,当xe[0,兀)时，f(x)=0，(23n61A.-21A.-2B.C.0D.3、设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当xe[—1,1)时f(x)=—4x2+2,—1f(x)=x,0<x<14、设函数f(x),g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，贝y下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.f(x)g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数5、已知f(x+1)=f(x—1),f(x)=f(—x+2)，方程f(x)=0在［0,1］内有且只有一个2，则f(x)在区间［0,2014］内根的个数为()A.1006B.1007A.1006B.1007C.2013D.20146、已知定义在R上的函数f(x)满足：f(-x)=—f(x),f(1+x)=f(1—x)，当xg[-1,1]时，f(x