全国中考数学圆的综合的综合中考模拟和真题分类汇总

全国中考数学圆的综合的综合中考模拟和真题分类汇总含答案一、圆综合1．在平面直角坐标中，边长为的正方形

OABC

的两顶点A

、

C

分别在y轴轴的正半轴上，点

O

在原点现正方形

OABC

绕

O

点顺时针旋转，当A

点一次落在直线上时停止旋转，旋转过程中，AB边直线y于点M

，

边交轴点

（如图）（）边OA在转过程中所扫过的面积；（）转过程，当

MN

和

平行时，求正方形

OABC

旋转的度数；（）

的周长为，旋转正方形

OABC

的过程中，值否有变化？请证明你的结论【答案】（）（）周不会变化，证明见解【解析】试题分析：1）据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积；（）决本题利用全等，根据正方形一个内角的度数求AOM的度数；（）用全等eq\o\ac(△,把)MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子．试题解析：1）A点第一次落在直线y=x上停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°，旋了45°．在转过程中所扫过的面为

453602

．（）MN，∠，BCA=45°．∠．．又BA=BC．又，OAM=OCN．AOM=CON=

1（）（）．2旋过程中，当和AC平行时，正方形OABC转的度数为45°-22.5°=22.5°．（）旋转正形的程中p值无变化．证明：延长交y轴于点，则，CON=90°-45°-AOM，CON．又，OAE=180°-90°=90°=OCN

OAE．，．又，OM=OMOMEOMN．．MN=AM+CN，．在转正方形的程中，值变化．考点：旋转的性.2．如图，已eq\o\ac(△,知)中，A=30°，，AB为径O与BC边相交于点，AC交于点F，过点D作DE于点E．（）证：是O的切线；（）CE的；（）点作，交O于点G，求弧BG的．【答案】（）明见解析28-43（）π【解析】【分析】（）图1，接AD，，AB为O的径，可得BC，再根据AB=AC，得BD=DC，再根据，可得，继而可得DE，题得证；（）图2，接BF，根据已知可推导得出DE=

，，A=30°，，得BF=8继而得DE=4，由DE为的线，可得=EF，4

=CE（﹣）继而可求得CE长（）图3，接，接AD，由BGDF可得CDF=30°，根据AB=AC，推导得出OBG=45°，OG=OB，得OGB=45°从而可BOG=90°，据弧长式即可求得BG的度【详解】（）图1，接AD，；AB为的径，，即ADBC，，BD=DC，OA=OBOD，

DEAC，DEOD，，DE为O的切线；（）图2，接BF，AB为的径，AFB=90°BFDE，CD=BD，

，，，AB=16，BF=8，DE=4，DE为O的切线，ED=EF，4

=CE（﹣）﹣

3，3（合题意舍去）；（）图3，接，接AD，，，，ABC=，OBG=75°﹣，，OBG=45°，

BG

的长度

=4．【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及了切线的判定、三角形中位线定理、圆周角定理、弧长公式等，正确添加辅助线、熟练掌握相关的性质与定理是解题的关.

BAC′BAC′3．如图，点是正方形ABCD内的一点，连接PB，．eq\o\ac(△,)PAB点顺针旋转90°eq\o\ac(△,)P'CB的位置(1)设AB的为a，的长为，eq\o\ac(△,)PAB转eq\o\ac(△,)的过程中边所过区域中阴影部分面积；(2)若，PB=4，APB=135°，PC的.【答案】S=(a2)；【解析】试题分析：1）题意，eq\o\ac(△,)′CB逆时针旋转90°可eq\o\ac(△,)PAB重合，此阴影部分面扇形BAC的积扇BPP'的积，根据旋转的性质可知两个扇形的中心角都是90°可据此求出阴影部分的面积．（）接PP'，据旋转的性质可知：BP=BP'旋转角，eq\o\ac(△,)PBP'等腰直角三角形，BPA=135°，推eq\o\ac(△,)是角三角形，进而可根据勾股定理求出的长．试题解析：1）eq\o\ac(△,)点顺针旋转90°eq\o\ac(△,)′CB的置，，

eq\o\ac(△,)

，S=S-S=（-b2）（）接PP，据旋转的性质可知eq\o\ac(△,)CP′BBP=BP，，PBP，是腰直角三角形，2=PB=32；又BP，BP′P=135°-45°=90°，eq\o\ac(△,)PP′C是角三角形．PC==6．考点：扇形面的计算；2.方形的性质；旋的性质．

AB»AB»4．如图，一条公路的转弯处是一段圆

用直尺和圆规作出所圆的圆心；(要保留作图痕迹，不写作法

)

若中点到弦AB的距离为

20m，ABm

，求所圆的半径．【答案】见析；（）50m【解析】分析：别AC和的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点，图1；

连接

OAOC，OC

交AB于D，图2，据径定理的推论，由为

AB

的中点得到

，ADBD

AB，则，设eO的半径为r，

中利用勾股定理得到

2

20)

2

2

，然后解方程即可．详解：点为求；

连接

OAOC，

交AB于，如图2，QC

为的中点，OCAB

，

AB

，设eO的半径为r，则

OA，ODCDr

，在

RtVOAD

中

OD

，r

2

r20)

2

40

2

，解得r50，即所圆的半径是50．点睛：本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，在利用数学知识解决实际问题时，要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题．5．分已AB为的径OCAB弦DC与OB交于点F，在直线上有一点E，连接ED，且有ED＝EF.(1)如图，证ED为O的切线；(2)如图，线ED与切线相交于G，且OF，O的半径为6，AG的长．【答案】（）解析；2）12【解析】试题分析：1）接OD由=EF可得EDFEFD，对顶角相等可得出EDF；由OD=OC可出ODFOCF，结合OC即得EDF+ODF=90°，即EDO，此证出ED为O的线；（）接，过点D作于M，合（1）的结论根据勾股定理可求出ED、的长度，结DOE的正弦、余弦值可得出DM、MO的长度，根据切线的性质可知GAEA，而得出DM，根据相似三角形的判定定理即可得eq\o\ac(△,)EDM，据相似三角形的性质即可得出GA的长度试题解析：解：1）接OD，ED，EDF=，EFD，EDF=．OC，ODFOCF．，+OCFEDFODFEDO，为O的切线；（）接，过点D作于M，（）eq\o\ac(△,)EDO为角三角形，设ED=EF=，EF=，由勾股定理得EO=+DO，（）=a+6

，解得，，即ED，．sinEOD=

EDOD3，EOD=EOOE

，DM•sinEOD=6×

18=MO=OD•cosEOD=，EMEO﹣MO=10﹣32=，EAEO+OA=10+6=16．5

11eq\o\ac(△,)1111111eq\o\ac(△,)11111切O于点AGA，，EGA，2432，解得GA=12．5GA

DMEMGA

，即点睛：本题考查的是切线的判定、垂径定理和勾股定理的应用、等腰三角形的性质、角的三角函数值、相似三角形的判定及性质，解题的关键是：1）过等腰三角形的性质找出EDO=90°；（）过相似角形的性质找出相似比．6．如图，是以（，）圆心a为半径O的弦，B点作O的线，为劣弧OB上的任一点，且过P作OB、、的线，垂足分别是、、．（）证：2=PE•PF；（）当BOP=30°，点OB的点时，求、、、P四点的坐标及

eq\o\ac(△,)

．【答案】（）见解析；2（

33aa）E（﹣a，），F（﹣a20），（﹣

a33a）=216

a．【解析】试题分析：1）接，，用ABO于B求eq\o\ac(△,)△POD得出

PB，同理eq\o\ac(△,)△BPD，出，后利用等量代换即可．OPPD（）接B，P，得eq\o\ac(△,)BPeq\o\ac(△,)O为边三角形，根据直角角形的性质即可解得、、、P四点的坐标．再利用三角形的面积公式可直接求出三角形DEF的面积．

111111111111111111111111111111111111试题解析：1）明：连接，，PEAB，，AB切1

于B，BOP，△

=

，同理eq\o\ac(△,)OPF△BPD

==

，，PD=PE•PF（）接B，P，AB切1

于B，POB=30°，ABP=30°OBP=90°﹣，B=O，BP为边三角形，B=BP，P为BO的中点，BP=OP，eq\o\ac(△,)OPO为等边三角形，P=OP=a，O，又P为BO的点，，eq\o\ac(△,)O中OP=60°OO=a，D=aOD=，过作于M，DM=OD=OM=DM=a

a（

a

a），O，OP=60°，PE，OP=aOF=，

11（﹣

a），（﹣

a，），AB切1

于B，POB=30°，ABP=BOP=30°，PEAB，EPB=60°，aP为BO的中点，BP=PO，PBO=BOP=30°，，BPO=120°+60°=180°，即OPE三点共线，a+a=a，过作x轴于，AO切O于，，OE=，OM=

aE﹣E﹣

aa

a），a）D（

a

），﹣

a（﹣

a=

，DE边上的高为

a，

eq\o\ac(△,)

=×a×a=a．故答案为：（

a，

a）E（﹣

a

a）F（﹣

，）（﹣

a）；

eq\o\ac(△,)

=

a．7．问题发现．(1)如图，eq\o\ac(△,)ABC中，C＝，＝，BC＝4，点D是边上任意一点，则的

最小值为．(2)如图，形ABCD中，＝，＝，、点分别在BDBC上求CM+MN的最小值．(3)如图，形ABCD中，＝，＝，E是AB边一点，且AE＝，是BC边上的任意一点，eq\o\ac(△,把)沿翻，点B的应点为，接AGCG，边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时的度．若不存在，请说明理由．【答案】

96;(2)CMMN的小值为25【解析】试题分析：1）据两种不同方法求面积公式求解；2）作C关BD的称点C

作的线，垂足为，C即可(3)连AC，四GCD

VADC

V

，

GBABAE

，则点

G

的轨迹为以为圆心，1为径的一段弧．过E作AC的线，与E交点，足为，VAEMVACB

求得的，再由

S四边A

VACD

VACG

求解即可试题解析：（1）从C到AB离最小即为过作AB垂线，垂足为D，

VABC

，

CD

ACAB

，（2）

C

关于的称点

C

，过

C

作

BC

的垂线，垂足为

，且与BD交，

55则CMMN的小值为，设

与BD交于，

CHBD

，

VBMCBCD

，且

，

BDC

，CC

，

CBCD

，

24CBD

，即CMMN的小值为

．（

）连接

，则

四GCD

VADC

V

，EBABAE

，点

G

的轨迹为以为心1

为半径的一段弧．过作

AC

的垂线，与E交点

G

，垂足为M

，

VAEMVACB

，

EMAEBC

，

EM

AE2AC55

，

3GMEMEG

，四边A

VACD

VACG

，

，

．【点睛】本题考查圆的综合题、最短问题、勾股定理、面积法、两点之间线段最短等知识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，灵活运用两点之间线段最短解决问题．8．如图，eq\o\ac(△,Rt)中，，，线是过点的线CDMN于点，接BD．（）察猜想老师在课堂上提出问题：线段DC，，之有什么数量关系．经过观

察思考，小明出一种思路：如图1过点作BD，于，而得出：DC+AD=．（）究证明将直线MN绕顺时针旋转到图的置写出此时线段，，之间的数量关系，并证明（）展延伸在直线MN绕旋转的过程中，eq\o\ac(△,)面取最大值时，若长1，直接写的．【答案】（）2；）AD﹣DC=

2

；3）BD=AD=

2

+1．【解析】【分析】（）据全等角形的性质求出DC，之的数量关系（）点作BEBD，MN于点．交BCO，证明

CDB≌，到CDAE，BD，根据为腰直角三角形，得到

2再根据

DECD

，即可解出答案（）据AB、、四共，得到当点在线段的垂直平分线上且在AB的右侧时eq\o\ac(△,)ABD的面积最大．在DA上取一点H使得，则易证由BDAD即可得出案【详解】解：（）图1中

2，由题意：

BAE

，

AE=CD，，，是等腰角三角形，

2BD，

2，故答案为2．（）

2．证明：如图，过点作BE，于．交BC于．

ABCDBE

，

EBC

，

CBD

．

90

，

COD

，

AOB

，

BCDABEDBC

，．又

CB

，

≌AEB

，CDAE，BD，BD为腰直角三角形，

DE

2BD．

DEADCD

，

AD

2BD．（）图3中易知A、、、四共圆，当点D在线段AB的直平分线上且在AB的右侧时eq\o\ac(△,，)的积最大．

此时AB，DA上截取一点H，得，易证CHAH

2，

AD

2【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及图形的应用，正确作辅助线和熟悉图形特性是解题的关键9．定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为智三角形.理解：如，已知

是

上两点，请在圆上找出满足条件的点，

为智三角形（出点

的位置，保留作图痕迹）；如，在正方形

中，

是

的中点，

是

上一点，且，判断运用：

是否为智三角形，说明理由；如，平面直角坐标系

中，

的半径为，点

是直线

上的一点，若在时点

上存在一点的坐标

，使得

为智慧三角形，其面积取得最小值时，直接写出此【答案】（）见解析；2详见解析；（）的标（

2，）（，

）．

【解析】试题分析：1）结AO且延长交圆于，结BO并延长交圆于C2，可求解（）正方形边长为4a表示出DF=CF以及、BE的长，然后根据勾股定理列式表示出、、，根据勾股定理逆定理判eq\o\ac(△,)AEF是角三角形，由直角三角形的性质可eq\o\ac(△,)AEF为智三角形；3）据智慧三角形”的义eq\o\ac(△,)为角三角形，根据题意可得一条直角边为，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值由垂线段最短可得斜边最短为3，据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点的横坐标，再根据勾股定理可求点的纵坐标，从而求解．试题解析：（）图1所：（）AEF是为智三角形”，理由如下：设正方形的边长为4a，E是DC的中点，BC：FC=4：，，BF=4a﹣，在eq\o\ac(△,)ADE中AE

=（）+（）2，在eq\o\ac(△,)ECF中=（）+a=5a，在eq\o\ac(△,)ABF中AF=（）+（）=25a，AE

+EF=AF，AEF是直角三角形，斜AF上的中线等于AF的一半，AEF为智慧三角形；（）图3所：由智三角形的义可eq\o\ac(△,)为角三角形，根据题意可得一条直角边为，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值由垂线段最短可得斜边最短为3，由勾股定理可得PQ=

，÷3=

，

由勾股定理可求得OM=

，故点P的坐标（﹣，）（，）考点：圆的综合题．10．图，已知eq\o\ac(△,在)中，，（）用圆规直尺作，使圆心P在边，且与，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）．（）若，，P的面积．【答案】（）图见解析；2）【解析】【分析】（）ABBC两边都相切．根据角平分线的性质可知要ABC的平分线，角平分与AC的交点就是点P的置（）据角平线的性质和30°的直角三角形的性质可求半径，然后求圆的面积．【详解】解：（）图示，P为所求作的圆．（）ABC=60°，平ABC，ABP=30°，

111111111111111111111111111111111111eq\o\ac(△,)中，由勾股定理可得AP=3，P

=311．

中，，，，分是边绕点逆针旋转，得到等腰，设旋转角为

，

的中点，若等腰，记直线与

的交点为.（）题发现如图，

时，线段

的长等于_________，段

的长等于________.（）究证明如图，

时，求证：

，且

.（）题解决求点到

所在直线的距离的最大值（接写出结果）【答案】（）

；；（）见析；（）【解析】【分析】（）用等腰角三角形的性质结合勾股定理分别得出BD的和CE的长；（）据旋转性质得出AB=AC=135°进而求eq\o\ac(△,)DAB≌EAC（）即可得出答案；（）先作PGAB，交AB所在直线于点G，D，在以A为心为径的圆上，当BD所直线与A相时，直线与CE的交点P到线的离最大，此时四边形ADPE是正方形，进而求出PG的．【详解】（）：，AC=AB=4，，E分别是边AB，的点，，等eq\o\ac(△,)ADE绕A逆针旋转，得到等腰eq\o\ac(△,)

E，旋转角为（＜）当α=90°时，AEBD=

=2，AE=90°

；故答案为：

；；（）明：由意可知，，

，

是由

绕点逆针旋转

得到，

，

，在

和

中，，

，

，，

.，，，且（）的动轨迹是在

.

的上半圆周，点的动轨迹是在

的弧

段即当

与

相切时，

有最大值.点到

所在直线的距离的最大值为

.【点睛】此题主要考查了几何变换以及等腰腰直角三角形的性质和勾股定理以及切线的性质等知识，根据题意得出的最长时P点的位置是解题关键．12．C为线段AB的点，四边形BCDE是以BC为一边的正方形，以B为心，长为半径的B与AB相于点延长EB交B于G点，连接交于AB于Q点连接．求证：1）是的线；（）＝；（）

＝．

【答案】证见解析；2）证明见解析；3）明见解.【解析】【分析】

连接，DCAB，为AB的点，由线段垂直平分线的性质，可得BD，根据正方形性质，可得90

；

由

BDBG

与

CD//BE

，利用等边对等角与平行线的性质，即可求得BDG

BCD

，继而求得

ADQAQD67.5

，由等角对等边，可证得AQ；

易求得BDE67.5DFEDCF90即可证得RtDCF∽GED【详解】证明：

，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得结论．

四边形BCDE是方形，DBA45，90即，QC

为AB的点，CD

是线段的垂直平分线，BD，DAB45ADB90o即BD，Q为半径，

，

是的切线；BG，，QCD//BE，CDG，GCDG

BCD

o，o67.5

o

，

AQB90

o

，ADQAQD

，AD

；

连接，在V中BD，BFD，又Q45

o

，BFDBDF67.5o，GDB22.5

，在

VDEF

与

GCD

中，GDEGDBBDE，90，RtV∽RtVGED，CFED

，又CD

，【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、正方形的性质以及等腰三角形的判定与性.解的关键是注掌握数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．13．图，已知

BAC,为外心，D为e上点，AC的交点为，且BC

AC．①求：

CD

；②若30

0

，且

eO

的半径为3，I

为

内心，求

的长．

【答案①证见解析；②2【解析】【分析】①先出

CEBC

，然后求eq\o\ac(△,)BCE和ACB相似，根据相似三角形对应角相等可得=CBE，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可AD，后求出DCBE，后根据等角对等边即可得证；②连OB、，据在同或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍出BOC=60°，后判eq\o\ac(△,)OBC是边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质以及三角形的内心的性质可得OC经点，设与相交于点F然后求出，再根据I是三角形的内心，利用三角形的面积求出IF，后求出CI，最后根据OI﹣CI计即可得解．【详解】①BC

=•，

CE

．ECB，BCEACB，=．AD，D=，CDCB；②连OB、．A=30°，BOC=2AOB，OBC是边三角形．CDCB，eq\o\ac(△,)BCD的内心，经点I设与BD相于点F，则=×sin30°

，=BC•cos30°BC，所以=2BCeq\o\ac(△,)BCD内切圆的半径为，S

11•（++BC）r，即•3•BC22（BC+）•，解得：

33BC，IF，以，CI=﹣

3=（），=OCCI=BC﹣（3）=（．O的半径为3

3，BC，OI=（）（33）3﹣

333．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形的内心的性质，2）辅助线构造出等边三角形并证明得到OC经eq\o\ac(△,)BCD的心I是解题的关键．14．eq\o\ac(△,)中，

ACB0BAC60

0

，，为ABC所平面内一点，分别连（）图1,已知，

APC

，以为旋转中心，将顺针转60度，得到

.①请出图形，并求证C、、、四在同一条直线上；②求PA+PB+PC的.（）图2，果点P满足

，设为AB边中点，求的值范围.【答案】（）详见解析2；2）PQ【解析】

P

；

【分析】（）欲证明、、、四点在同一条直线上，只要证APC+APM=180°即；②只证明，eq\o\ac(△,)中利用勾股定理求出即可；（）图2中由，推出点P在以BC为径圆上P不C重），设BC的点为O作直线OQ交与P和P，得的小值为3-1，PQ的大值为3+1，，由此即可解决问题；【详解】（）证明：如图，