概率论与数理统计课后习题答案

..12CC.参考..参考..参考..参考..参考..参考..参考..参考..参考..参考..参考..参考..参考..参考..参考..参考..参考..参考..参考..3.参考..5.6.7参考..8910参考..11121314参考..1516参考..1718参考..192021参考..222324参考..2526参考..参考..第二章随机变及其分布随习1随机变量特征是什么？解答：①随机变是定在样空间的一实值数.随机量的值是机的事先试验不知取哪.随机量特值概大是定.习题2试随变的.解答①若机量X的有可能取值能一一列举出来则称X为散型随变量；则称为非散型随机量.②X的可能值不一一列，但可一段连续间上取，则称X为连续随机量.习题3盒中有大小相同球10个,9,从取1码是“于5”“大5”的况试义个机量表上随试结，写该机量每个定的概率.解答别ω1,ω2,ω3表示试的三个结果“小5”，“于5”，“于5”，则样空间S={ω1,ω2,ω3},定义随机变量X如下：X=X(ω11,ω2,2,ω3则X为取出球的码小5}=5/10,取出球的码等5}=1/10,取出球的码大5}=4/10.离其概习1设X服参数λ分，P{X=1}=P{X=2},λ.解答P{X=1}=P{X=2},λe-λ,解λ=2.习题2设的为试≤X3};解X3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=115+215+315=25;(3)P{X>3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35.习题3已X只取1,0,1,2四个值应概率依次试确定常c,并计P{X<1∣X≠解答：依题意知，即3716c=1,件率X0}=P{X<1,X≠≠0}=P{X=-1}P{X0}习题4参考..51,2,3,4,5.3X3X.XP{X=3}=C22⋅⋅⋅XX345pk1/103/103/553.XX103040pi0.150.250.450.15.P{3X>60},P{X>20},0.6.6(1)X(2)P{X5};0.6?0.1,k=0,1,2,;P{X5}=k=5P{X=k}=k=50.6mmP{XP{X≤m-1}=0.4.由P{X≤m-1}=故上式化上式4.855,0.65.7运员投篮命0.6,他投篮投篮命.此运员投篮投0和1.X=0未投其X=1投其X01P0.4810其3任33.参考..设X表示取3件产品的品数，X的所可能取值为0,1,2,3.对应概率分布P{X=0}=C73C103=35120,X的分律X0123P

0习9一10有7件正品件次品次从这批产品中取一件出的产品放回去，求直至取正品为止所次数X的概率分布解答：由于每次取的产品仍回去，各次抽取相独立，次抽取时况与前次抽取时全相同，所以X的可能取值是所正整数⋯⋯.设第k次才到正品k-1次都取次品),则机量X的分布律×310×710=(310)k-1×710,k=1,2,⋯习题设X∼b(2,p),Y若P{X≥1}=59,求P{Y≥1}.解答因为Xb(2,p),P{X=0}=(1-p)2=1-P{X≥1}=1-5/9=4/9,以p=1/3.因为Y∼所以P{Y≥1}=1-P{Y=0}=1-(2/3)3=19/27.习题纺800个纺绽，每一纺在某一段时τ的概为0.005,在这段时间次数于2的概率.解答：以X纺锭数,应，所概为P{0X2}=P{⋃2{X=xi}=k=02b(k;800,0.005)-4(1+41!+422!)0.2381.题设每的的个X从分布，在某，有一个有个的相同，求检验4，每都没有概率.解答：\becauseP{X=1}=P{X=2},即λλ=22!e-λ⇒λ=2,P{X=0}=e-2,p=(e-2)4=e-8.随数习1F(X)={0,x<-20.4,-2是随机变X的分布数，则X是___________的机量.解答.由于F(x)是个数，X是一机量习2设F(x)={0x<0x201,1x≥1F(x)是为某随机量的分布数.解答：，因为0F(x)1,∀(-).其，F(x)，参考..且F(-∞)=0,F(+∞)=1,所以是随机变量的分布函习题3已离型机量X概分为试写X的分函，并出图.解答题知X的分律为X所以其分布函数F(x)=P{X≤x}={0,x<10.3,1≤x<30.8,3≤x<51,xF(x)的图形见图.习题4设散随变X的布函为试(1)X的概率分(2)P{X<2∣X解答：(1)X∣X≠1}=P{X=-1}P{X≠1}=23.习题5设X的分布函数为F(x)={0,x<0x2,0-12,1≤x<1.51,x≥1.5,求≤1.3},P{X>0.5},P{1.7<X≤2}.P{0.4<X-F(0.4)=(1.3-0.5)-0.4/2=0.6,P{X>0.5}=1-≤0.5}=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75,P{1.7<X-F(1.7)=1-1=0.题6量X的分函数∞<x<+试求：(1)A与B;落(-1,1]内概率.解(1)由F(-∞)=0,F(+可知{A+B(-π2)A+B(⇒A=12,B=1于是πarctanx,-∞<x<+∞;≤1}=F(1)-F(-1)=(12+1-[12+1-1)]⋅π4-12-1π(-习题7在区间[0,a]上任意掷个点以X表示这个质点的坐.设这个质点落在0,a]中任意小区间的概率这个小区间的长度成正比例，试求X的分布函解答：F(x)=P{X≤x}={0,x<0xa,0≤x<a.1,x连续型随机变量及其概率密度习题1设随机变量X的概率度为f(x)=12πe-(x+3)24(-∞<x<+∞),则Y=¯∼参考..解答：填3+X2.由正态分布的概率密度μ=-3,σ=2由Y=X-σ∼Y=3+X2∼2知X∼f(x)={2x,0<x<10,,P{X0.5};P{X=0.5};F(x).解答：P{X0.5}=0.5f(x)dx=-0.5}-P{X<0.5}=--0.5f(x)dx=0.X0F(x)=0;0<x<1F(x)=-xf(t)dt=-00dt+X1F(x)=-xf(t)dt=-00dt+0x2tdt+1x0dt=t2F(x)={0,x13X的分布：(1)A,B的(3)概率密度解：(1)\becauseF(+)=limx+(A+Be-2x)=1,A=1;\becauselimxB=-1.(x)={2e-x,x>00,x0.4分布的X的概率密度f(x)=Ae-,A分F(x).解答概率密度的知-+f(x)dx=1,-+Ae-xdx=1,+Ae-x-0Aexdx+0+Ae-xdx-0+(-Ae-x0+)=A+A=2A-+Ae-xdx=2Ae-xdx=-2Ae-x0+=2A,2A=1,A=1/2.<x<+,F(x)=-xf(t)dt,x<0F(x)=-x12e-t--x0x12e-xdt=-0x12e-tdt=12et-0-12e-t0.5()概率密度f(x)={100x2,x的150的概率.解答的X,150的概率P{X>150}=150+150+100x2dx150+=100150=23,150的概率65分5分的的1014分的率.参考..解答：X为每位客的候车间，则X服从[0,5]的均匀分布.设Y表示站10位乘客中待时间超过4分钟的数.由于每到达时间是互独立的.这是10重伯力.Y服二项分，其参≥4}=15=0.2,以P{Y=1}=C101×0.2×0.89≈0.268.题7设X∼定使P{X>c}=P{X设d满P{X>d}≥0.9,问d至多为多少?解答：因为X∼所∼欲P{X>c}=P{X≤c},必有≤c}=P{X≤c},即≤c}=1/2,即Φ(c-32)=12,所以故c=3.由P{X>d}≥0.9得≤d}≥0.9,即≤d}≤0.1.是Φ(d-32)≤0.1,查得≥1.282,所习题8设∼先行100次独立测量求误差的绝对值超过19.6的数不于3的概.解先求任意差的绝对超过19.6的概率p,p=P{∣X∣∣Φ(-1.96)]=1-[2Φ(1.96)-1]=1-[2×0.975-1]=1-0.95=0.05.设Y为100次测量误差对值过19.6的次数则Y∼因为n很，p很小，可用松分布近似，np=5=所以P{Y≥3}≈0.87.习题9车间行超，为对定.根据以记录，各人每月品数服从正态分布假定车间任希10%的人超，人月完成？用X表示工人每月的品数则X∼N(4000,3600).设工人每月完成x品才能获，依题意得P{X≥x}=0.1,即所以即Φ(x-400060)=0.1,所以Φ(x-400060)=0.9.查标正态人分布表得Φ(1.28)=0.8997,因x-400060即x=4077，就是说，想获超工人，每月必须4077以上.习题地区18岁女的(，以mm-HG)服N(110,122).区任岁女青，测的求P{X≤105},P{100<X≤120};(2)小x,使解答：X∼(1)P{X≤105}=P{X-11012≤-512P{100<XΦ(100-11012)Φ(0.833)Φ(0.833)-1≈0.595.使P{X>x}求x,即≤0.05,亦即Φ(x-11012)查表得x-10012从x≥129.74.参考..习题11设X∼问应如何择公共车车门高度使男子与车门碰的机会于解答：X∼则X-1706∼设公汽车门高度，由意而P{X>x}=1-P{X≤x}=1-Φ(x-1706)<0.01,Φ(x-1706)>0.99,车门高度，男子与门碰头的机会小于习题某车车，.，，(：)，：身车60，应身车45，应设X,Y为车，X∼∼车的.P{X<60}=Φ(60-4010)=Φ(2)=0.97725,P{Y<60}=Φ(60-504)=Φ(2.5)=0.99379,应.P{X<45}=Φ(45-4010)=Φ(0.5)=0.6915,P{X<45}=Φ(45-504)=Φ(-1.25)=1-Φ(1.25)=1-0.8925=0.1075应.机的习题1X的为X-2-10123pi

2a

0

3a

aa

2a：(1)a;的.解答(1)\because2a+1/10+3a+a+a+2a=1,a=1/10.Y-1038pi

050

5习2设X的P{X=k}=12k,k=1,2,,Y=sin2X的.解答：为sinxnπ2={1,n=4k-10,n=2k-1,n=4k-3,Y=sin(π2X)Y的为参考..YP习题3设服从[a,b]上均匀分，令Y=cX+d(c≠0),试随机量Y的度函.解答⋅≤y-dc≤b0,其它,当c>0时fY(y)={1c(b-a),ca+d≤cb+d0,其,当c<0时fY(y)={-1c(b-a),cb+d≤ca+d0,其它.习题4设机量X服[0,1]上的均匀分布，求随机变量函数Y=eX的概密度fY(y).解答：f(x)={1,0≤10,其,f=ex,x∈(0,1)是调可函数y其反函为可得∣ln其它={1y,1<y<e0,其它.习5设X∼，Y=2X2+1的概密度.解答y=2x2+1是非单调函数，用分布函数法求FY(y).FY(y)=P{Y≤y}=P{2X2+1≤y}(时)πe-x2dx,所以fY(y)=F′Y(y)=22⋅⋅于是fY(y)={12≤1.题6X的概率度为f(x),分布函为F(x),求下随机量Y的概密度(2)Y=∣X∣.解(1)FY(y)=P{Y≤y}=P{1/X≤y}.①当时，FY(y)=P{1/X≤0}+P{0<1/X≤y}=P{X≤0}+P{XF(1/y),时fY(y)=[-F(1y)]②当时，FY(y)=P{1/y≤X<0}=F(0)-F(1/y),故这时fY(y)=1y2f(1y);③当时FY(y)=P{1/X≤0}=P{X<0}=F(0),故时综上所述fY(y)={1y2⋅≠00,y=0.(2)FY(y)=P{Y≤y}=P{∣X≤y}.①当时，FY(y)=P{-y≤X这时当y<0时，FY(y)=P{}=0,这时fY(y)=0;当y=0时FY(y)=P{Y∣X故时上述习题7物的度T(∘F)是个随变量,且∼已知试求θ(∘F)概密.解答：已T∼θ=59(T-32),反数为T=59+32,是单调函数，所以fθ(y)=fT(95y+32)⋅⋅⋅参考..8X[a,b]0,FY(x),Y[0,1]XX[a,b]FX(x)FX-1(y)YYFY(y)=P{Yy}={0,y<0y,011,y>0,ZFZ(z)=P{Z-1(Y)z}=P{YFX(z)}={0,FX(z)<0FX(z),0FX(z)1,1,FX(z)>1X0FX(z)1.FX(z)<0FX(z)>1ZX.11∼kk.AkP(Ak)=ck,k=1,2,,20.P(⋃k=120P(Ak)=ck=120k=1}=P{A2A4⋯⋯2,3;(2)3;(3).X.XP{XX∼7.32500111120时属领20000赔偿金:(1)亏本;(2)获别100000,200000.1)“”位111收120=30000.1X,则X∼则这应付200000X()要即X>15().亏}-kk=015e-55kk!0.000069,,1亏很参考..保险公司获利不少于100000元}≥100000}=P{X≤10}∑k=010C2500k(0.002)×(0.998)2500≈∑k=010e-55kk!≈0.986305,于00000在98%以上P{保险司获利不少于200000元}≥200000}=P{X∑k=05C2500k(0.002)k×(0.998)2500∑k=05e-55kk!≈0.615961,于000002%.习题4一台机共300台机总拥有条外线，设每分机向机要外线的概率为试求台分机总机外线，能及时得到足的概率和同向总要外线的分机最可能台.解向总机要到线的台为分机可看成300次伯利验验是否到外.设要到线事为A,则显然X∼即P{X=k}=C300k(0.03)k(0.97)300-k(k=0,1,2,,300),因n=300很大p=0.03又小,λ=np=300×0.03=9,因总有13条外线，要到外的台数13，P{X≤13}-9()同时总机要线的分机的最可能台k0=[(n+1)p]=[301×0.03]=9.题5为t时到的次数X数的分时的(时以时),求一123时有到的概一12时5时到1次的概率.解答λ=3/2,P{X≥1}=1-P{X=0}=1-e-5/2≈0.918.习题6设X为一变量，其分律为Xpi试求：的值的分函数解答(1)\because机量的率函数P{X=xi}=pi,满足∑ipi=1,0≤pi∴≤1q2≤1,解得q=1-1/2.X的分律为所示Xpi由F(x)=P{X≤x}X的分函数≤x<0x≥1.习题7设机变量X的分函F(x)为F(x)={0,x<0Asinx,0π/2,1,x>π/2参考..则A=¯,P{∣Xπ/6}=¯.解答应填1;1/2.由分布函数F(x)的右连续性，有F(π2+0)=F(π2)⇒因F(x)在x=处连续，故P{X=π6=12,于是有∣X∣<π6=P{-π6<X<π6=P{-π6<X≤习题8使x小的电子，在以后Δx小时损坏的率等于λΔx+o(Δx),λ>0是数电子管在坏使用时X的布函，电子管T小时内损的概率.解答X的),故分F(x)=P{X≤x}.x≤0，F(x)=P{X≤x}=P()=0;x>0时，由P{x<X≤x+Δx/X}=Δx+o(P{x<X≤x+Δx/X}=P{x<X≤x+Δx,X>x}P{X>x}=P{x<X≤x+Δx}1-P{X≤x}=F(x+Δx)-F(x)1-F(x),故F(X+Δx)-F(x)1-F(x)=λΔx+o(Δx),F(x+Δx)-F(x)Δx=[1-F(x)][λ+o(Δx)Δx],o(Δx)0,F(x)=λ[1-F(x)].是于F(x)的分，分dF(x)1-F(x)=分.故C=1.于是故X的分布函数F(x)={0,x-e-λx,x>0(λ>0),电子管在T小时内损坏概率P{XλT.习9连X的布f(x)={x,0<x-x,1<x≤20,布函数F(x).解答：x时F(x)=-x0dt=0;0<x时，F(x)=-xf(t)dt=00tdt+0xtdt=12x2;1<x≤2时，F(x)=-xf(t)dt=00dt+01tdt+x>2时，F(x)=01tdt+2x0dt=1,故F(x)={0,x≤212x2,0<x1+2x-x22,1<x≤21,x>2.习题用的)是，函数：f(x)={19xe-x3,x>00,,的于600的概率(2)于600概.参考..解答：求的分布函数显然，x<0时，当x≥0有F(x)=-t3dt=1-(1+x3)e-x3故x3,x≥00,x<0,所以P{X≥6}=1-P{X<6}=1-P(XP{6<X≤9}=F(9)-F(6)=(1-4e-3)-(1-3e-2)=3e-2-4e-3.习题11已知X∼λx,x>a0,(λ>0),求数P{a-1<X≤a+1}.解答：函数的知∫-+f(x)dx=1,∫-a0dx+∫a+cλxdx=ce-λxd(λx)=-ce-λx\vlinea+=ce-λa,所以λa=1,c=eλa.P{a-1<X≤a+1}=∫a-1a+1f(x)dx=∫aa+1λeλxdxλae-λx\vlineaa+1=-eλ.，a-1<a,当x<a时，f(x)=0.习题已X∼f(x)={12x2-12x+3,0<x<10,,解答;有≤0.2}P{0.1<X≤0.5}=∫0.10.5(12x2-12x+3)dx0.10.5=0.1480.256=0.578125.习题13F1(x),F2(x)分布函，F1(x)+F2(x)分布函数，a1,a2，a1+a2=1.：a1F1(x)+a2F2(x)分布函数解答(1)F(+)=limx+F(x)=limx+F1(x)+limx+F2(x)=1+1=2故F(x)分布数.F1(x),F2(x)，)=F2(-)=0,F1(+)=F2(+知，，)+a2F2(-)=0,a1F1(+)+a2F2(+)=1.a1F1(x)+a2F2(x)分布函数.习题X的ϕ函数，a>0,分布函数F(x)：(1)F(-a)=1-F(a);X>a}=2[1-F(a)].解答：(1)F(-a)=∫--aϕ(x)dx=∫a+ϕϕ∫-ϕX>a}=P{X<-a}+P{X>a}=F(-a)+P{X≥a}F(-a)+1-F(a)=2[1-F(a)].习题15K(0,5)分布，求x的4x2+4Kx+K+2=0有的.解答K∼所以,4x2+4Kx+K+2=0有的(4K)2-4⋅4(K+2)≥0,≥0,参考..亦即k-2)(K+1)≥0,解得K≥2(K≤-1舍去),所以P{方程有实根}=P{K≥2}=∫2515dx=35.习某单位155人，按考试成绩录，共有526人报名假设报名考试成绩X∼σ2),已知分12人60分以下83人若分取成为78分问此是否能被录取？解：解决此问题首先定,σ2,因为考试数很多，可用率近似概率.根据已知条件P{X>90}=12/526≈0.0228,≈1-0.0228}=0.9772;又因为μσ≤90-μσ,所以Φ(90-σ)=0.9772,反查标准态表得90-μσ=2①同理≈0.1578;又因为P{X≤60}=P{X-μσμσ,故μσ)因为所以60-μσ<0,故(μ-60σ)≈1-0.1578=0.8422,反查标准正表得μ-60≈1.0②联①，解σ=10,μ=70,所，X∼某是否被取，键看取.已知取为155526≈0.2947,看某人否能录取，解法有种：方法1P{X>78}=1-P{X≤78}=1-P{x-7010≤78-7010=1-Φ(0.8)≈1-0.7881=0.2119,因为取率),所以此人能被录.方法2看取数线设录取者最低分为则P{X录取率,≤x0}=1-P{X≥x0}=1-0.2947=0.7053,≤x0-7010=反查准态表得≈0.54,解得≈75.此人绩分高于最低分，所以以录取.习题17假设地任长t(年)时间隔内发地震的次N(t)服从数为λ=0.1t的布示连续两次地震之间间隔的时间位：年).证X服从数分布并求X的分函数；(2)今后3年内次发生震的概率；求后3年5年内再次生地震的概率.解答(1)当t≥0时，P{X>t}=P{N(t)=0}=e-0.1t,∴F(t)=P{X当t<0时，F(t)=0,∴F(x)={1-e-0.1t,xX服从数布λ=0.1);F(3)=1-e-0.13习题件产品中个等品2个安在一设备上设备中有i个(二等，此备用服参为=i+1的指分.试设备1的概率；已设备1，求安上的件是概率.解：(1)设X表设备.A表示设1表取出i个二，则X的数fX(x)={λe-λx,x>00,x(λ=i+1,i=0,1,2),参考..P(B0)=C902C1002,P(B1)=C901C102C1002,P(B2)=C102C1002,P(A∣B0)=∫1+∞e-xdx=e-1,P(A∣B1)=∫1+∞2e-2xdx=e-2,P(A∣B2)=∫1+∞3e-3xdx=e-3,由全概公式：P(A)=∑i=02P(Bi)P(A∣Bi)≈0.32.由叶斯：∣A)=P(B0)P(A∣B0)P(A)≈0.93.习题设X的分布律X-2-1013pi试求Y=X2的分布律.解piX-2-1013所以0149pi注：随机变量的值相同要合，对应的概率为它们率之.习题设X的密度为fX(x)={0,x<02x3e-x2,x≥0,Y=2X+3的密函数解由Y=2X+3,有由定即≥3.习题设X的概率密fX(x)={e-x,x>00,其它,求Y=eX的概密度.解答因=min{y(0),y(+∞)}=min{1,+∞}=1,β=max{y(0),y(+∞)}=max{1,+∞}=+题得∣h′(y)其它={1/y2,1<y<+∞0,其它.习题设机变量X的密度函数为fX(x)={1-∣x∣,-1<x<10,其,求随机变量Y=X2+1的分函数密度函.解答的值(-1,1),Y的为1,2).时，FY(y)=P{Yy}=P{X2+1y}y-1}=∣x∣)dx=2Y的分布函数Y的fY(y)={1y-1-1,1<y<20,其它.参考..

1(X,Y)

12a.i⋅jPij=1,(X,Y)F(x,y)F(x,y)b,YP{a<Xb,Yc}=F(b,c)-F(a,c).(X,Y)F(x,y)F(x,y)(2)P{0<Yb};P{0<Yb}=F(+,b)-F(+,0).(X,Y)F(x,y)F(x,y)(3)P{X>a,Yb}.P{X>a,Yb}=F(+,b)-F(a,b).(1)P{12<X<32,0<Y<4;P{12<X<23,0<Y<4(2)P{12,34};4}=P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}=0+116+0+14=516.4X,YP{X0,YP{X0}=P{Y0}=47,P{max{X,Y}0}.P{max{X,Y}0}=P{X,Y=P{X0}+P{Y0,Y0}(X,Y)Y..{X=-1,Y=0},{X=0,Y=13,.01/31-101/121/3参考..02同样可求关于Y边分见表Y01/31习题6设机量X,Y)服二维正态分布N(0,0,102,102,0),其概率密度为f(x,y)=1200πex2+y2200,求P{XY}.：P{XY}+P{X>Y}=1正态分布的P{XY}=P{X>Y},Y}=12.题7的概率度为其,(2)求求求P{X+Y4}.：(1)-+-+f(x,y)dxdy=1,k.01dx2318(6-x-y)dy=38.(3)P{X<1.5}=2418(6-x-y)dy=2732.4}=02dx习题8XY的密度为xy10,其,求：Y的布F(x,y).：(1)于1=++f(x,y)dxdy=c0101xydxdy=c4,c=4.x0yF(x,y)=0;x1,y1F(x,y)=1;设0x1,0y1,F(x,y)=x-yf(u,v)dudv=40xudu0yvdv=x2y2.设0x1,y>1,F(x,y)=P{X1,Yy}=40xudu01ydy=x2.设x>1,0y1,F(x,y)=P{Xy}=40yvdv=y2.F(x,y)F(x,y)={0,x0x2,0x1,y>1x2y2,0x1.y2,x>题9的概率密度为xy其求边缘概率密度-+={x10,其={2.4x2(2-x),0x10,其.fY(y)=+f(x,y)dx0y4.8y(210,{2.4y(4y-2),0习设(X,Y)y=x2,y=x的G服从分布求分密度边缘分布.：G的A=题(X,Y)的分布密度为f(x,y)={6,0x1,x2yx0,其,从fX(x)=-+f(x,y)dy=6x2xdy=6(x-x2),0x1,fX(x)={6(x-x2),0x其fY(y)=f(x,y)dx=6-1,y10,其.分随机量习1二(X,Y)的分布为参考..01Y(2)P{Y=0X=0},P{Y=1X=0};XY(1)(x,y)y01P{y=0}=P{x=0,y=0}+P{x=1,y=0}=715+730=0.7P{y=0x=0}=13.P{x=0,y=0}=715,(1)P{y=0}=0.7,P{x=0,y=0}P{x=0}⋅xy.298XY.XYX\Y55

8.(1)XX,P{X=i}.Y(),P{Y=j}.YY=51P{X=k:kP{X=kY=51}3(X,Y)Y=1;X=2,Y.012X,YXY012参考..(1)Y=1XX(Y=1)X=2YY(X=2)4f(x,y)={3x,0<x<1,0<y<x0,,(2).-+,fY(y)=f(x,y)dx={32(1-y2),0<y<10,.∀yY(xy)=f(x,y)fY(y)={2x1-y2,y<x<1,0,,∀x(0,1),fYX(yx)=f(x,y)fX(x)={1x,0<y<x0,.Y(a)(X,Y)P{X+Y=1},P{X+Y0}.XpiYpiXYX\Y13

P{X=-2}P{Y=-1/2}P{X=-1}P{Y=-1/2}P{-1/213P{X+Y=1-P{X=-1,Y=1}-P{X=12,Y=-12=1-112-16=34.6X7:55YfY(y)={2(5-y)25,0y,.X参考..≤50,其它,

因X与Y相独立所X与Y联合密度为：≤y≤5,0≤x其故此人能及时火车的概为-y)125dydx=13.题7量X与Y都服从分，且X与Y互独立，(的联合概率密度函.解答：由题意，随机变量X,Y的概率密函数别是fX(x)=12-x22，fY(y)=12因为X与Y相互独立，所以的合概率密度函数是f(x,y)=12-12(x+y)2.题8量X的概率度∣x∣(-∞<x<+∞),问：X与∣X∣是否相独立？解答X与∣X∣相互独，则∀a>0,各有P{X≤a,≤a}=P{X≤a}⋅∣X而事件∣X∣≤a}{X≤a},故由式∣X≤a}==P{X⋅∣XP{∣X∣≤a}(1-P{X≤a})=0P{∣X≤a∣}=0或1=P{X⋅(∀a>0)但当a>0时，两者均不成立，出现矛盾，故X与∣X∣独.习9设X和Y是两个互独立随机变量X在(0,1)上服从匀分布Y的率度为≤0,求X与Y的联概率a的二次程a2+2Xa+Y=0,求它有实的概率.解答(1)由题设易知fX(x)={1,0<x<10,其它,又X,Y相互立，与Y联合概密度为f(x,y)=fX(x)⋅其它因a有实根={判别式≥0}={X2≥Y},故如图所示得到：有∫01dx-y2dy=-∫01e-x22dx=1-[∫-∞1e-x22dx-π[12π∫-∞1e-x22dx-12∫-∞0e-x22dx]Φ(1)-Φ(0),又Φ(1)=0.8413,Φ(0)=0.5,是Φ(0)=0.3413,所以P{a有实根}=1-2π[Φ(1)-Φ(0)]0.3413=0.1433.二随机变量函数的分布习题1设随机变量X和Y相独，且都能1,2,3为，随量U=max{X,Y}和V=min{X,Y}的联合分布.解答：由U≥V,P{U=i,V=j}=0(i<j).此，有P{U=i,V=j}=P{X=i,Y=j}+P{X=j,Y=i}=2/9(i>j),是，随变U和V的联概率分布V\概率U1231

99

920

9

9300

9习2设(X,Y)的分布为参考..-12试求：的.解答与一离型机量数分律计类，质是用件其率运法.意，Z的相值的率合并.概率1/101/53/101/51/101/10(X,Y)X+YXYX/Ymax{x,Y}

(-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)-2011341-1-2-2241-1-1/2-221112222是(1)(2)X+Y-20134pi

-20134pi(3)pi

pi习题3设二随向量X,Y)服从矩形区域D={(x,y∣0≤x≤y≤1}的匀分布且≤Y1,X>Y,求U与V的联概率分布解答题(U,V)的概率分布为P{U=0,V=0}=P{X≤Y,X≤2Y}=P{X≤Y}∫x112dy=14,P{U=0,V=1}=P{X≤Y,X>2Y}=0,P{U=1,V=0}=P{X>Y,X≤2Y}=P{Y<X即习题4设(X,Y)的联分布密度为f(x,y)=12-x2+y22,Z=X2+Y2,求Z的分布密度.解:FZ(z)=P{Z≤z}.当z<0时，FZ(z)=P()=0;当时，FZ(z)=P{X2+Y2≤z2}=∫∫x2+y2≤z2f(x,y)dxdy=12-x2+y22dxdy=12πdθρ22ρ∫0ze-ρ22ρdZ的分函数≥00,z<0.Z的分布密度为≤0.习题5设随机变量(X,Y)的概密度为f(x,y)={12(x+y)e-(x+y),x>0,y>00,其XY是相(2)Z=X+Y的率度.解答+f(x,y)dy参考..∫0+≤0\under2line令x+y=t{∫x+∞12te-tdt=12(x+1)e-x,x>00,x≤0,由对称性知fY(y)={12(y+1)e-y,y>00,y≤0,显然≠fX(x)fY(y),x>0,y>0,以X与Y.用积公fZ(z)=∫-∞+∞f(x,z-x)dx.当{x>0z-x>0即时，f(x,z-x)≠0,所以当z≤0时，fZ(z)=0;当z>0时，fZ(z)=∫0z12xe-xdx=12z2e-z.于，Z=X+Y的概率度为fZ(z)={12z2e-z,z>00,z≤0.习题6随变相互独服从(的均分布从参1的指数分布变量Z=X+Y的概密度解答：据题意，X,Y的率密度分布为它,由卷公得Z=X+Y的概密为∞+∞fX(x)fY(z-x)dx=∫-∞+∞fX(z-y)fY(y)dy-y)e-ydy.由0<z-y<1z-1<y<z,可见：当z≤0时有故∫0+∞0⋅e-ydy=0;当z>0时，y)e-ydy=∫max(0,z-1)ze-ydy=e-max(0,z-1)-e-z,即-e-z,0<z≤1e1-z-e-z,z>1.习题7设随机量(X,Y)的概率密度f(x,y)={be-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,它.（1试确定数b；（2）求边缘概率密度（3）求函数U=max{X,Y}的分布函数解答（1）∫-∞+∞∞+∞f(x,y)dxdy=1，确定常数∫01dx∫0+，所以从而∞,0,其（2由缘率度定得fX(x)={∫0+-e-1e-(x+y)dy=e-x1-e-x,0<x<1,0,其它，fY(x)={∞,0,其它（3f(x,y)=fX(x)fY(y)X与Y立FU(u)=P{max{X,Y}≤u,Y≤u}=FX(u)FY(u)，中-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0<x<1以FX(x)={0,x-e-x1-e-1,0<x<1,1,x≥1.理FY(y)={∫0ye-tdt=1-e-y,0<y<+此FU(u)={0,u<0,(1-e-u)21-e-1,0≤u<1,1-e-u,u≥1.习8设系是由两个相互独立子系统以联方联接而和L2的寿分别X与Y,其概率密度别为

ϕ1(x)={-αx,x>00,x≤0,ϕ2(y)={βe-βy,y>00,y其中α>0,β>0,α≠试求系统L的寿命Z的概率度.解设Z=min{X,Y},F(z)=P{Z≥z}=P{min(X,Y)≥z,Y于F1(z)={∫0zαxdx=1-e-F2(z)={1-e-βz,z≥00,z<0,故α+β)z,z≥00,z<0,从而

ϕβ)z,z>00,z≤0.题9量X,Y相互独立，服从同分布，试：P{a<min{X,Y}≤b}=[P{X>a}]2-[P{X>b}]2.解答：设min{X,Y}=Z,P{a<min{X,Y}≤b}=FZ(b)-FZ(a),FZ(z)=P{min{X,Y}得P{a<min{X,Y}≤b}=1-[P{X>b}]2-(1-[P{X>a}]2)参考...12.X,YX={0,,Y={0,1,,(1),(2)XY.(1)(X,Y)12=2536;12=536,12=536,12=136,(X,Y)11=4566,11=1066,11=1066,11=166,X2Y1Xk={0,YY1X1={0,Y11,Y>1,P{X1=1}=P{Y>1}=1+P{X2=1}=P{Y>2}=P{X1=0,X2=0}=P{YX1\slashX2

0101-e-101e-1-e-2P{X2=j}1-e-2

e-2e-2

e-1323.4XY.X0,1,2.P{X=0,Y=0}=P{P{X=0,Y=1}=C30C21C33/C84=2/70,P{X=0,Y=2}=C30C22C32/C84=3/70,P{X=1,Y=0}=C31C20C33/C84=3/70,P{X=1,Y=1}=C31C21C32/C84=18/70,P{X=1,Y=2}=C31C22C31/C84=9/70,P{X=2,Y=0}=C32C20C32/C84=9/70,P{X=2,Y=1}=C32C21C31/C84=18/70,P{X=2,Y=2}=C32C22C30/C84=3/70,P{X=3,Y=0}=C33C20C31/C84=3/70,P{X=3,Y=1}=C33C21C30/C84=2/70,P{X=3,Y=2}=P{}=0,(X,Y)参考..X\Y

03/709/703/702/7018/7018/702/703/709/703/700习4设X与Y相互独立，下表列出了二维随机变(X,Y)的联合分布律及于X与Y的边缘布律中部分值，将其数值入表的空处：X\Yy2pi⋅p⋅j1/61解：与Y相独立即有pij=pi⋅⋅j(i=1,2;j=1,2,3),⋅1-p21=p11=16-18=124,又由立性有p11=p1⋅p⋅1=p1⋅16故p1⋅=14.而p13=14-124-18,又由p12=p1⋅p⋅2,即18=14⋅p⋅2.从而p⋅2=12.类似有⋅3=13,p13=14,p2⋅=34.将上述数填入表中有X\Yy2y3pi⋅1/83/83/4p⋅j1/61/21习5设(X,Y)的合分布下表：求：值；(2)(X,Y)的联合分布函数F(x,y)；(3)(X,Y)关于X,Y的边缘布函FX(x)与解答：(1)\because由分布律的性质可知∑i⋅jPij=1,故14+14+16+a=1,∴a=13.(2)因F(x,y)=P{X≤x,Y①当x<1或y<-1时，F(x,y)=0;当1≤y<0时，F(x,y)=P{X=1,Y=-1}=1/4;当x≤y<0时，F(x,y)=P{X=1,Y=-1}+P{X=2,Y=-1}=5/12;当1≤x<2,y>0时，F(x,y)=P{X=1,Y=-1}+P{X=1,Y=0}=1/2;当x≥0时，=1;综上述得联合分布数为F(x,y)={0,x<1或y<-11/4,1≤y<05/12,x≥2,-1≤y<01/2,1≤x<2,y≥01,x≥2,y≥0.由FX(x)=P{X≤x,Y<+∑j=1+得(于的边缘布函为：≤x<214+14+16+13,x≥2={0,x<11/2,1≤x<21,x≥2,同理由FY(y)=P{X<+∞,Y≤y}=∑yi≤y∑i=1+∞Pij,得(关Y的边缘分布函数为FY(y)={0,y<-12/12,-1≤y<01,y≥0.习题6设随机量X,Y)联合概密度为求c;(2)P{X2+Y2≤r2}(r<R).解答：(1)因为1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dydx==∫02π∫0Rc(R-ρ)ρdρd所有c=3πR3.(2)P{X2+Y2≤r2}=∫∫x2+y2<r23πR3[R-x2+y2]dxdy=∫02πR3(R-ρ)习题7设≤x≤2,max(0,x-1)其,求fY(y).参考..解答max(0,x-1)={0,x<1x-1,x≥1,min(1,x)={x,x<11,x≥1,所，f(x,y)意的域(如图可为{0≤x≤y≤x},{1≤2,1-x≤y≤1},即≤x≤1,0≤y≤x1,1≤2,x-1≤y≤1,0,其它所以∫0xdy=x,0≤x<1≤20,其它∫yy+1dx=1,0≤y其它.习8若(X,Y)的分布律为则β应满足的件是¯若XY，=¯,解答应α+布的i⋅即XYP{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j},α=P{X=2,Y=2}=P{X=i}P{Y=j},=(19+α)(14+α+β)=(19+α)(13+13)=29,β=P{X=3,Y=2}=P{X=3}P{Y=2}=(118+β)(13+α+β)=(118+β)(13+13)，β=19.题9(X,Y)为f(x,y)={ce-(2x+y),x>0,y>00,其它,c;(2)的(3)分布F(x,y);(4)P{Y条Y(xy);(6)P{X<2Y<1}.解答(1)+∫-f(x,y)dxdy=1∫0+∫0+ce-(2x+y)dxdy=c⋅⋅0+c=2.(2)fX(x)=∫-+f(x,y)dy={∫0+≤0,fY(y)=+f(x,y)dx={∫0+它={e-y,y>00,y≤0.∫-x∫-yf(u,v)dvdu={∫0y2e-2ue-vdvdu,x>0,y>00,其={(1-e-2x)(1-e-y),x>0,y>00,其.≤X}=∫0+dx∫0x2e-2xe-ydy=∫0+，fXY(x≤0={2e-2x,x>00,x≤0.P{X<2Y<1}=P{X<2,Y<1}P{Y<1}=F(2,1)∫01e-ydy=(1-e-1)(1-e-4)1-e-1=1-e-4.习题X以1为0,Y是意的，XY.解答X的分为F(x)={0,x<01,x,Y的分为的布为，x<0，意有F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{(X≤x)=P{∅≤y)}=P{∅}=0=FX(x)FY(y);x≥0，意有F(x,y)=P{X≤x,Y(Y≤y)}=P{S(Y≤y)}=P{Y义F(x,y)=FX(x)FY(y)Y习(X,Y)的XY，分布，解答为X,Y，以f(x,y)=fX(x)fY(y).≤Y}=∫≤yf(x,y)dxdy=∫∫x=∫-+[fY(y)∫-yfX(x)dx]dy=∫-+=∫-++=12,可，X,Y分布，所以有≤Y}=P{Y≤Y}+P{X≥Y}=1,P{X≤Y}=1/12.习题(X,Y)的分布律为若XY，a,b,c的.解答X的分布为Xx1x2x3pkY的分布参考..Yy1y2pk

由于X与Y独立，则有p22=p2⋅p⋅2

得b=(b+19)(b+49)①p12=p1⋅p⋅

得②由代a=118.由分律的性质，a+b+c+19+19+13=1,代入a=118,b=29,得c=16.易验，所求a,b,c的值，对任意的i和j均满足⋅×p⋅j.因此所求a,b,c的值为a=118,b=29,c=16.习题已X1和的率分布为且求和X2的合分布律；(2)问X1和是解(1)题已知X1X2的边缘分律，再根条件P{X1X2=0}=1,求出联分布.列如：P{X2=j}

20

2

1/41/21/41知即等价于可P{X1=1,X2=1}=0,P{X1=-1,X2=1}=0.由p⋅得p-10=p-1⋅⋅-p11=14,从而p00=0.由p-10=14≠p-1⋅⋅⋅⋅12=18,所以知与不独.习设(X,Y)的合密度函数为πR2,x2+y2R20,,求X与Y的边概率问与Y是否立？解(1)x<-Rx>R，fX(x)=-+f(x,y)dy=-+0dy=0;-RxR，fX(x)=--R2-x2R2-x2dy=2πR2R2-x2.于是πR2,-RR0,由X和Y的等，可得Y的边缘率密度：πR2,-RyR0,.Y(xy)=f(x,y)fY(y)意yx值于R2-y2，f(x,y)有值，此，有Y(xy)=1πR22πR2⋅R2-y2=12R2-y2,X的条概率度为Y(xy)={12R2-y2,x.得X=xY的件概率密度为fYy.由条件概密度与缘概率度不等，所X与Y独.习题设(X,Y)的布律如下表所X\Y-112-12求：(2)Z=max{X,Y}的分布解答与随机变量函数分布的，本质是事件及概的运则.意Z的值概要.率(X,Y)X+YXYX/Ymax{X,Y}1/102/103/102/101/101/10(-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)-2011341-1-2-2241-1-1/2-221-112222于是(1)-20134参考..0max{X,Y}

1/102/107/10(X,Y)f(x,y)={1,0<x<1,0<y<2(1-x)0,Z=X+Y.Zfz(z)=dFz(z)dz..z<0Fz(z)=P{X+Y0z<1Fz(z)=P{X+Yz}=x+y=0zdx0z-x1dy=0z=12z21z<2Fz(z)=02-zdxz2Df(x,y)dxdy=z<21,z2fz(z)={z,0z<12-z,1z<20,.,Z=X+2Y.FZ(Z)=P{x+2yz},z0FZ(Z)=zf(x,y)dxdy=x+2yz0dxdy=0.z>0=⋅(1-ex-z)dx=0z(e-x-e-z)dx=[-e-x]0z-ze-z=1-e-z-ze-z,FZ(Z)={0,z01-e-z-ze-z,z>0.XY,0,(1)A;(2)Z=2X+Y.(1)1=-+fY(y)dy=0+A⋅e-ydy=A.XY(X,Y)x.z<0F(z)=P{Zz}=P{2X+Y0z2F(z)=P{2X+Y0z-2xe-ydy=z>2F(z)=P{2X+Y2}=01dxZ=2X+YfZ(z)={0,z<0(1-e-z)/2,0z<2(e2-1)e-z/2,zX,YXY(0,1)(0,2)U=max{X,Y}V=min{X,Y}.XYfX(x)={1,0<x<10,,fY(y)={1/2,0<y<20,,XYFX(x)={0,x0x,0x<11,x1,FY(y)={0,y<0y/2,0y<21,y2,U=max{X,Y}u<1u/2,1u<21,u2,U=max{X,Y}u<20,.V=min{X,Y}v<11,v参考..V=min{X,Y}.(1)XY(2)X,YFX(x)FU(u)fU(u);FV(v),fV(v).

1XpE(X).E(X)=i=1xipi,E(X)=0⋅(1-p)+1⋅p=p.

X01P1-pp2nkX.iX=i=1kXi,P{Xi=m}=1n,m=1,2,,n,i=1,2,+n)=n+12,i=1,2,,k,E(X)=i=1kE(Xi)=k(n+1)2.34.1.X).值知X∼p=P{}=1-C1010.1×≈0.2639,所E(X)=4×p=4×0.2639=1.0556.4据60岁健(般体未生病症)者5年内仍活着自杀死亡p(0<p<1,p已知),5年内非自杀死亡保险司开办年人寿保险加交纳人寿险费a元(a已知),若5年内非自死亡司赔偿b元(b>a),应何确定b才使司获益若m人加保险司收少？令X=“个保人身上所收益”X∴E(X)=ap+(a-b)(1-p)=a-b(1-p)>0,a<b<a1-p.

X

aa-b对m个E(mX)=mE(X)=ma-mb(1-p).5对X,若E(X)存E{E[E(X)]}等¯.1知6

pp1-kpX

Xpi××0.3=-0.2,E(X2)=(-2)2××××××××7Xf(x)={kxa,0<x<10,,已知E(X)=0.75,值.\because+f(x)dx=1,-+xf(x)dx=0.75,参考..01kxadx=1,01x⋅ka+1xa+101=1,ka+2xa+201=0.75,{ka+1=1ka+2=0.75,k=3,a=2.8Xf(x)={1-,0<x<20,,E(X).f(x)={x,0<x<12-x,1⋅xdx+12x(2-x)dx=01x2dx+9)f(x)={14e-x4,x>00,x0,.100300.P{XP{X<1}0114e-x4dxe-14-200).10Xf(x)={e-x,x>00,x0,(1)Y=2X(2)Y=e-2X(1)E(Y)=E(2X)=-+2xf(x)dx=0+(2)E(e2X)=-+e-2xf(x)dx=11Y\X123(2)E(Z);(3)E(Z).(1)XYX123pk

Y-101pk

0.3=0.Z.E(Z)=E(YX)=ijyjxipij=-115.ij(xi-yj)2pij0.1参考..也可以利用期望的性质求得=E(X2)-2E(XY)+E(Y2)-2[-1×0.2+1×0.1+(-2)×0.1+2×0.1+(-3)×0.0+3×0.1]+(-1)2×0.3+12×0.3习12设(的率密为≤x其它求解答：如右图示∫-∞+∫-∞+∞xf(x,y)dxdy=∫01dx⋅12y2dy=45,E(Y)=∫-∞∫-∞+∞yf(x,y)dxdy=∫01dx⋅12y2dy=35,E(XY)=∞+∞∞+∞xyf(x,y)dxdy=∫01dx⋅12y2dy=12,E