人教版七年级数学上思维特训(二十一)含答案：角的运动问题

思维特训(二十一)角的运动问题方法点津•角的运动主要包括角的旋转、折叠以及三角尺的旋转．解决策略：在某一时刻，利用角的位置(大小)，建立方程求解，或借助整体思想、分类讨论思想、数形结合思想进行探究与求解．典题精练•类型一角的折叠1.(1)如图21—S—1①，OC是/AOB内的一条射线.将OB,OA向NAOB内部翻折，使射线OA,OB都与射线OC重合，折痕分别为OE,OF,NEOF=25°,求/AOB的度数;(2)如图②，NMON=20°,OC是NMON内部的一条射线，第一次操作分为两个步骤:第一步：将OC沿OM向NMON外部翻折，得到OM1,第二步：将OC沿ON向NMON外部翻折，得到ON1；第二次操作也分为两个步骤：第一步：将OC沿OM1向NMON外部翻折，得到OM2；第二步：将OC沿ON1向NMON外部翻折，得到ON2；…依此类推，在第次操作的第步恰好第一次形成一个周角，并求NMOC的度数.图21—S—1类型二射线的旋转2.如图21—S—2,已知2人08=90°,射线OC绕点O从OA位置开始，以每秒4°的速度按顺时针方向旋转；同时，射线OD绕点O从OB位置开始，以每秒1°的速度按逆时针方向旋转.当OC与OA成180°角时，OC与OD同时停止旋转.⑴当OC旋转10秒时，NCOD=(2)当OC与OD的夹角是30°时，求旋转的时间;⑶当OB平分NCOD时，求旋转的时间.图图21—S—3图21—S—23.如图21—S—3,已知/人08=20°,NAOE=100°,OB平分NAOC,OD平分NAOE.(1)求NCOD的度数;(2)若以O为观察中心，OA为正东方向，则射线OD的方向角是 (3)若NAOE的两边OA,OE分别以每秒5°、每秒3°的速度，同时绕点O逆时针方向旋转，当OA回到原处时，OA,OE停止运动，则经过几秒，NAOE=42°?图图21—S—4类型三角的旋转4.如图21—S—4①，射线OC,OD在/AOB的内部，且NAOB=150°,NCOD=30°,射线OM,ON分别平分NAOD,NBOC.(1)求NMON的度数；(2)如图②，若NAOC=15°,将NCOD绕点O以每秒x°的速度逆时针旋转10秒，此时7NAOM=77/BON,如图③所示，求x的值.类型四三角尺的旋转5.将一副三角尺如图21—S—5①所示摆放在直线AD上(三角尺OBC和三角尺MON,NOBC=90°,NBOC=45°,NMON=90°,NMNO=30°),保持三角尺OBC不动，将三角尺MON绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒.(1)当t=时，OM平分NAOC,如图②，此时NNOC—NAOM=；(2)继续旋转三角尺MON,如图③，使得OM,ON同时在直线OC的右侧，猜想/NOC与NAOM有怎样的数量关系，并说明理由；(3)若在三角尺MON开始旋转的同时，另一个三角尺OBC也绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当OM旋转至射线OD上时同时停止(自行画图分析).①当t=时，OM平分NAOC?②请直接写出在旋转过程中，NNOC与NAOM的数量关系.① ② ③备用图图21—S—56.O为直线AB上一点，过点O作射线OC,使NBOC=65°,将一块三角尺的直角顶点放在点O处.(1)如图21—S—6①，将三角尺MON的一边ON与射线OB重合时，则NMOC=(2)如图②，将三角尺MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是NMOB的平分线，求/BON和NCON的度数;(3)将三角尺MON绕点O逆时针旋转至图③的位置时，NNOC=NAOM,求NNOB的度数.图21—S-6详解详析.解：(1)因为将OB,OA向NAOB内部翻折，使射线OA,OB都与射线OC重合，折痕分别为OE,OF,NEOF=25°,所以NAOB=2NCOE+2NCOF=2(NEOC+NCOF)=50°.(2)在第五次操作的第一步恰好第一次形成一个周角.设NMOC=x°,则16X20°+16x°=360°,解得x=2.5,所以NMOC=2.5°..解：(1)因为射线OC绕点O从OA位置开始，以每秒4°的速度按顺时针方向旋转，

射线OD绕点O从OB位置开始，以每秒1°的速度按逆时针方向旋转，故答案为：40.所以当OC旋转10秒时，NCOD=90°—4°X10—1°X10=40°,故答案为：40.(2)设旋转t秒时，OC与OD的夹角是30°.如图①，则4t+t=90—30,解得t=12；如图②，则4t+t=90+30,解得t=24.综上所述，旋转的时间是12秒或24秒.(3)如图③，设旋转m(3)如图③，设旋转m秒时，OB平分NCOD,则4m—90=m,解得m=30故旋转的时间是30秒.图③图③.解：(1)因为NAOB=20°,NAOE=100°,所以/EOB=ZAOE—ZAOB=80°.又因为OB平分NAOC,OD平分NAOE,所以/AOC=2ZAOB=40°ZAOD=2zAOE=50°,所以NCOD=ZAOD-ZAOC=50°—40°=10°.(2)由(1)知NAOD=50°,所以射线OD的方向角为北偏东40°.(3)设经过x秒，ZAOE=42°,贝U3x—5x+100=42或5x—(3x+100)=42,解得x=29或x=71.即经过29秒或71秒，ZAOE=42°..解：(1)因为ZAOB=150°,ZCOD=30°,OM,ON分别平分ZAOD,ZBOC,所以ZMON=ZMOD+ZNOC—Zcod=2(zaod+zboc)—zcod=2(ZAOB+ZCOD)—Zcod=60°.(2)由题意，得ZBOD=105°—10x°,ZAOC=15°+10x°,所以ZBOC=135°—10x°,ZAOD=45°+10x°.7又因为ZAOM=yjZBON,且OM,ON分别平分ZAOD,ZBOC,7所以ZAOD=1jZBOC,7即45°+10x°=R(135°—10x°),解得x=2.5..解：(1)因为NAOC=45°,OM平分/AOC,所以NAOM=1NAOC=22.5°,所以t=2.25.因为NMON=90°,NMOC=22.5°,所以NNOC—NAOM=NMON—NMOC—NAOM=45°.故答案为2.25,45°.ZNOC-ZAOM=45°.理由：因为NAON=90°+(10t)°,所以ZNOC=90°+(10t)°—45°=45°+(10t)°.因为ZAOM=(10t)°,所以ZNOC—ZAOM=45°.(3)①如图，因为ZAOB=(5t)°,所以ZAOC=45°+(5t)°.因为OM平分ZAOC,所以ZAOM=；ZAOC,而ZAOM=(10t)°,所以10t=2(45+5t),解得t=3.②NNOC—2/AOM=45°.理由：因为NAOB=(5t)°,NAOM=(10t)°,ZMON=90°,ZBOC=45°,所以NAON=90°+NAOM=90°+(10t)°,ZAOC=ZAOB+ZBOC=45°+(5t)°,所以NNOC=NAON—NAOC=90°+(10t)°—45°—(5t)°=(5t)°+45°,所以ZNOC一错误ZAOM=45°..解：(1)因为ZMON=90°,ZBOC=65°,所以ZMOC=ZMON—ZBOC=90°—65°=25°.(2)因为ZBOC=65°,OC是ZMOB的平分线，所以ZMOB=2ZBOC=130°.所以ZBON=ZMOB—ZMON=130°—90°=40°.所以ZCON=ZBOC—ZBON=65°—4