2014年高三一轮专题复习平面向量的应用有详细答案解析

平面向量的应用基础知识・自主学习知识回顾理清教材I要点梳理知识回顾理清教材向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理： a口b台a口肋(加0)台qy2口％2yJ0.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a口b台a•bD0O王14口1y2L0.(3)求夹角问题，利用夹角公式a，b xx口yycos仇D,12，12 (0为a与b的夹角)Dlallb|出2口y27x图y2平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量， 这是力F与位移s的数量积口即WDFsDIFIIsIcos0(0为F与s的夹角 )D平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时， 由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算， 其转化途径主要有两种： 一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质口]夯基释疑 夯实基础突破疑难TOC\o"1-5"\h\z1口判断下面结论是否正确 (请在括号中打“口”或“叫 )(1)若4BlBe,则A,B,C三点共线口 (口 )(2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决口 (口 )(3)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算．（4）在口ABC中，若 AB•BiC<0,则口 ABC为钝角三角形口（5）（理）作用于同一点的两个力F1和F2的夹角为2n且炉1|D3,炉21口5,则F1口F（5）（理）作用于同一点的两个力F1和F2的夹角为2n且炉1|D3,炉21口5,则F1口F2的大小为\,T9.（6）已知平面直角坐标系内有三个定点DOA口t（AB口Ac）,由R,则点A(－2，－1)，B(0,10),C(8,0),若动点 P满足：)O)p2口（2013・福建）在四边形ABCDP的轨迹方程是

中,JicDx－y＋1口0.(1,2),B^DD（－4,2），则该四边形的面积为(A.\15B．C．5D．10答案解析C口AC•Hd=0口ACDBD.口四边形ABCD的面积S=1|AaiBiDI<5D2<5=5.3．已知a,b,c3．已知a,b,c为口ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m1(\,'3,D 1),nD(cosA,sinA州若nA.7,6n

C.3,mDn,且n3n6aA州若nA.7,6n

C.3,mDn,且n3n62nn.36nnD.3,3答案C解析由mDn得m^n=0，即、：3cosA-sinA=0,即2cos(A+/=0,口n<A+n<7?，口A+[=百，即A=[.6 66 62 3又acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin(A+B)=2RsinC=c=csinC，所以sinC=1,C=4，所以B=n-n-n=n，2 3264□平面上有三个点 A(D2,y),B[0,2),C(x,y)，若ABDBC,则动点 C的轨迹方程为口答案y2D8x(x10)解析由题意得JIB=(2,-2),BiC=Q,2),又ABDBC,口AB•Bic=0,即(2,-2).(x,2)=0,化简得y2=8x(x10).10m/s的速度驶向对岸，口小船的静5口河水的流速为 2m/s,10m/s的速度驶向对岸，口小船的静DDDDDD1答案2\'26m/s解析如图所示小船在静水中的速度为飞：102+22=2,匹6m/s.题型分类・深度剖析ODDDDDDDDDDDDDDD例1DDDDDDDD ABCDDDDDDPDDDDDBDDDDDDD),E,FDDDD BCDDCDDDDDDPFCEDDDDDDDDDDDD PA口EF.，求出所(口□思维启迪正方形中有垂直关系，因此考虑建立平面直角坐标系求线段对应的向量，根据向量知识证明.，求出所(口□口Pa=(-则A(0,1)1-,0),E(1,,学),口Pa=(-则A(0,1)1-,0),E(1,,学),-1,-口|Pa.|= ((-3X)2+(1-3A)2=、；2---22丸+1Ef=\i(wx-1)2+(-境力2=入2-\巧.口|PA1|=|EF|，即PA=EF.思维升华用向量方法解决平面几何问题可分三步：⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；⑵通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；⑶把运算结果“翻译”⑶把运算结果“翻译”跟踪训练1 (1)平面上成几何关系.ODADBDDDDDD口OA口aDOB口bD1口OABDDDDD( )A.\'|a|2|b|2口(a•b)2B.{|a121b|2口(a•b)2Ia|2|b|2口(a-b)2Ia|2|b|2口(a-b)2AbAiC1(2)在口ABCDDDDDD0D •-—12口□口ABC(2)在口ABCDDDDDDADDDDDDBDDDDDDADDDDDDBDDDDDDCDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD答案(1)C(2)Aa-b1(a•b)21-Ia11(a•b)21-Ia121bI2: (a•b)21-Ia|2|b|2贝ijsin口BOA二口S口oab=21a11b1IaI2IbI2-(a•b)2.二0，所以口BAC的平分线垂直于BC,所以(2)因为非零向量1B与A。二0，所以口BAC的平分线垂直于BC,所以AB二AC.„ ABAiC1_ri,n又cos口BAC=J^-•-i―二2，所以口BAC=3.所以口ABC为等边三角形.ODDDDDDDDDDDDDDD例2DDDDDDABC叫□向量pD(2口2sinA口cosA口sinA),qD(sinA口cosA,1口sinA),且p与q00D00D(1)求ADDDD(CD3B\(2)口叫 yD2sin2B口cos(2JDDDDDD BDDDD思维启迪向量与三角函数的结合往往是简单的组合.如本题中的条件通过向量给出，根据向量的平行得到一个等式.因此这种题目较为简单.口(2-2sinA)(1+sinA)-(cosA+sinA)(sinA-cosA)=0,3 \,13口sin2A=4,sinA=亍,叫ABC为锐角三角形，口A=60°.=2sin2B+cosc. (180°-B-A-3By=2sin2B+cos I2 )=2sin2B+cos(2B-60°)=1-cos2B+cos(2B-60°)=1-cos2B+cos2Bcos60°+sin2Bsin60°=1-2cos2B+浮sin2B=1+sin(2B-30°),

当2B-30°=90°，即B=60°时，函数取最大值2.思维升华解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键，准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．跟踪训练2△abc的三个内角 a,b,c所对的边长分别是 a,b,。,设向量m1(a口b,sinC),nD(V3a口c，sinB口sinA)，若 m[n,则角 B的大小为15nabcabcsinA=sinB=sinC，解析口m口n，口(a+b)(sinB-sinA)-sinC(\：3a+c)=0，又口则化简得a2+c2-b2=八,13ac,口cosB=a2+c2-b2二-辛,口0VB<n,1B*.2ac 2 6题型三平面向量在解析几何中的应用PQDl,垂足为 Q,例3已知平面上一定点 C(2,0)和直线 l：PQDl,垂足为 Q,且(Pa2Pq>(PQ2P,Q)D0.(1)求动点 P的轨迹方程；(2)若EF为圆 N：x2口(y11)2D1的任一条直径，求 PE•PF的最值口思维启迪(1)直接利用数量积的坐标运算代入；⑵将PE•Pf转化为关于y的函数，求函数的最值.解⑴设P(x,y)，则Q(8,y).由(Pc+2Pq>(PC-1Pq)=0,得1PC|2-4|Pq|2=0,即(x-2)2+y2-1(x-8)2=0,化简得%!+yl=1.所以点p在椭圆上，其方程为卷+y2=1.JLUJL乙(2)口PE=P>N+NE,PF=PN+NF,又NE+NF=0.口PE•PF=PN2-NE2=x2+(y-1)2-1=16(1=16(1-行)+(y-1)2-1=-3y2-2y+16cy1-3cy1-33)2＋19.D-2\13Dy口2-..；'3.口当y=-3时，PE•PF的最大值为19,当y二2V3时，%E•%F的最小值为12-4V3.综上：%E•%F的最大值为19；%E•%F的最小值为12-4-J3.思维升华平面向量与平面解析几何交汇的题目，涉及向量数量积的基本运算，数量积的求解以及轨迹、直线和圆、直线和椭圆中最值等问题，解决此类问题应从向量的坐标运算入手，解以及轨迹、直线和圆、直线和椭圆中最值等问题，解决此类问题应从向量的坐标运算入手，这也是解决解析几何问题的基本方法——坐标法．跟踪训练3已知点 ?①,口3),点A在％轴上，点Q在y轴的正半轴上，0,JImQD2MQ，当点 A在％轴上移动时，求动点 M的轨迹方程口解设M(1,y)为所求轨迹上任一点，设A(a,0),Q(0,b)(b>0),则%A=(a,3)AlM=(1-a由•A^M=0，得a(1-a)+3y=0.①由AlM=-2MIQ,得(1-a,y)=-2(-1,b-y)－b))1-a1-a=21,、y=2y-3b，把a=-2代入口整理得y=412(i口1a=-2,、b=3.得-2(1+2)+3y=0,0)．题型四平面向量在物理中的应用例4在长江南岸渡口处,江水以例4在长江南岸渡口处,江水以25km/h的速度向东流，乙渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江,则航向为 ．思维启迪题中涉及的三个速度(向量)：江水速度、渡船的速度、船实际过江的速度，三个速度的关系是本题的核心．答案北偏西30°解析如图所示，渡船速度为Ob，水流速度为Oa,船实际垂直过江的速度为O)D,依题意知IOAI=§,IOOBI=25.[OD=O)B+OA,

口OD口OA,口OD-OA=0,口25125cos(1BOD+90°)+(25)2=0,口cos(1BOD+90°)=-2，口sin口BOD=2,口口BOD=30°,口航向为北偏西30°.思维升华在使用向量解决物理问题时要注意:(1)认真分析物理问题，深刻把握物理量之间的相互关系；⑵通过抽象、概括，把物理问题转化为与之相关的向量问题；⑶利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；⑷利用这个结果，对原物理现象作出合理解释，即用向量知识圆满解决物理问题.跟踪训练4ooooooooooo F10F21F3(单位:牛□ )DDDDDDDDDDDD口 F11 F21 60°□,□ F11 F2DDDDDD 21 41口 F3DDDD1答案2<7解析方法一由已知条件F1+F2+F3=0,则F3=-F1-F2,F2=F2+F2+21FJF21cos60°=28.因此，IF31=2<7.方法二如图，16F2I2=IF1I2+IF2|2-2IF1IIF2Icos60°=12,贝l」IOOf1I2+IF1F2I2=I(5f2I2,即口OF1F2为直角，IF3I=2y^F2+JFF^2=2巾.高频小考点5

DDDDDDDDDDDDD又因为a。b和b。a都在集合｛nln£Z｝中，设a。b=n,b。a=n^(n1,n2^Z)，那么(a。b).(b。a)典例:(1)(51)DDDDDDDDDDDDa和阿口b1口兀兀典例:(1)(51)DDDDDDDDDDDDa和阿口b1口兀兀b□口口 e[卬2),口a。b口b。a0000a/a。例 .DDDDDDDDDDP-Pn{2InDZ}□□口 a。b1□( )A.23B.2CD11D.2思维启迪素的形式n先根据定义表示出a。b和b。a，利用其属于集合｛51n口Z),将其表示成集合中兀兀兀两式相乘即可表示出cose,然后利用e1(4,3确定cose的取值范围，结合集合中加Z的限制条件即可确定n的值，从而求出a。b的值.a-bIaIIbIcoseIaI 八，解析根据新定义，得a。b=bb= 肝一=而cose,b。a=b-aIaIIbIcoseIbI 八=1cose.IaI八nn=cos20=~4^,又0e(n,n)，所以0Vn1n2<2.所以n、，n,的值均为1.故a。b=与=1.12答案D⑵(5分)设向量a=(a1,a2),b=(b1,bn),定义一种向量积a®b=(a1b1,a2%),已知向量m=(2,1),n=(3,0),点P(x,y)在y=sin%的图象上运动，Q是函数y=f(x)图象上的点，且满足OQ=m③OP+n(其中O为坐标原点)，则函数y=f(x)的值域是 .思维启迪根据定义先写出m③OP，进而求出OP，确定函数y=f(x)的解析式.解析设Q(c,d)，由新的运算可得OQOQ=m®OP+n=(2x1.2smn1=(2x+3,2smx),、d、d=jsinx,消去x得1 1nd1 1nd=Qin(2c-6)所以y=f(x)=|sin(2x-%,易知y=f(x)的值域是[J,12_答案[-答案[-22」温馨提醒解答创新型问题,首先需要分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，然后应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义信息题难点的关键所在思想方法-感悟提高方法与技巧1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法．3.向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.

失误与防范1口注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价.2.注意向量共线和两直线平行的关系；两向量a,b夹角为锐角和a•b>0不等价.练出高分A组专项基础训练一、选择题1口已知P叫ABCDDDDDDDDD CB口丸场口PBDDD 丸口R,□□ P□定□ ( )ADDABCDDD BDACDDDDDDCDABDDDDDD DDBCDDDDDD答案B解析由题意知：CB-PB=^Pa,即Cb+Bp=^Pa，口Cp=^Pa，即Cp与Pa共共线，1点P在AC边所在直线上.2DDD ABC叫(BqBA)AQIAC|2QDDABCDDDDDDBDDDDDDABDDDDDDCDDDDDDDCDDDDDD答案C解析由(BC+BA>AC=IAc|2,得Ac(Bc+Ba-Ac)=o,即Jic-(BC+BA+CA)=0,2AcBA=0,口AaBA，口A=90°.又根据已知条件不能得到Abi=iAci,故DABC一定是直角三角形.3口已知 IaI3口已知 IaI口2IbI,IbI口0DDD%DOO%2口IaI%Da'bD0ODODDODDOODDn nADD ^BDDW6 3a与bDD( )2n答案D解析由已知可得答案D解析由已知可得/=IaI2+4a-b=0,即4IbI2+4-2IbI-IbIcos6=0,口cos6=-2，又口0口仇n,口6=tt.乙 J4DDDD A(D2,0)、B(3,0),□点 P(%Dy)DDPa^-PBD%2,D点PDDDDADDBDDDCADDBDDDCDDDDDDDDD答案D解析Pa=(-2答案D解析Pa=(-2-%，-y),PB=(3-x，-y),口Pa•PB=(-2-x)(3-x)+y2=x2,口y2=%+6.5.000 yDAsin(rnxDq)(A>0,刃>0,'眩l<?)0000000D00D00D乙M,NDDDDDDDDDDDDDDDD[O)M-OND0(ODDDDDnA-6BEgn「 (D?37n答案解析B由题意知乱危,A),N*n,-A)又OOm-ON=七口*n-A2=0,由口A二右n.二、填空题6口(2013-天津)在平行皿形 ABCD叫ADD1DDBADD60°,E为CDDDDD0 J)C-.BED1,则AB□□为口解析在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则Be=F^D,口BE=F^D=J)D-1AB，又!Ic=^^D+AB,口!lc•.BE=(zSd+AB)•(^)D-1AB)二J)D2-2"^D-AB+^^D•AB-2AB2二l!Id|2+2|J)DllABIcos60°-2|AB|2乙 乙=1+|d2|AB|-1|AB|2二1.।Ab।二2.乙口(j-|AB|)|AB।Ab।二2.乙7DDDDDD f；D (口 2,1 1), f2D (口3,2), fD (4,口 3)DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD f4，则f4D.答案(1,2)解析由物理知识知：f1+f2+f3+f4=0,故f4=-f+2+f3)=(1,2).8DDDDDDDDDDDDD O(0,0),M(1,1),N(0,1),Q(2,3),□点 P(x口y)DDDDD 0口OP-O)M口1,0口OP-OND1,则 zDOQ-OPDDDDD1答案3解析OP=(x,y),OOM=(1,1),ON=(0,1),

一ff ff・•・OP•OM=％+y,OP•ON=y,10W%+yW1,即在j 条件下，求z=2%+3y的最大值，由线性规划知识，当％=0,y=110WyW1时，zmax=3.三、解答题.已知4ABC中，/C是直角，CA=CB,D是CB的中点，E是AB上一点，且AE=2EB,求证：AD±CE.证明建立如图所示的直角坐标系，设A(a,0)，则B(0,a),E(X,y).:D是BC的中点，・•・D(0,2).又•・•AE=2EB，即(％-a,y)=2(-%,a-y),%-a=-2%, a2Aj 解得%=3,y=3a.，2），、y=2a-，2），,•*AD=(0,5)-(a,0)=(-aOE=CE=(a,2a),AAD-CE=-aX3+3aX^JJ乙1八=-3a2+3a2=0.AAD±Ce，即AD±CE.n3n.已知A,B,C三点的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(cosa,sina),其a£份了).⑴若IAC1=1BCI,求角a的值.(2)若AC-BC=—1,求tan(a+3的值.解(1)VAC=(cosa-3，sina)，BC=(cosa，sina-3)，AIACI=、;'(cosa-3)2+sin2a=、，:10-6cosa，IBCI='\：'10-6sina.由1ACI=IBC得sina=cosa，又a£g，-2")，Aa=4n.(2)由AC.BC=-1，得(cosa-3)cosa+sina(sina-3)=-1,. 2 .n2..sina+cosa=3，••sin(a+4)=3>0.nn3n由于2Va<23n冗[W<a+4(n,।又口cos(a+4)=B组专项能力提升1口(2013-浙江)1口(2013-浙江)设口ABCDP0是口叫PB-PQP0B-P0CDDADDABCD90°ABDDDDDDDBDDBACD90°1P0BD4ABDDDDDABDDDD PD()CDCDABDACDDACDBC145,IIa145,IIaID3DIbID5DDDBACD答案D解析设BC中点为M,则PB-kJPB+PC"PB-PC1222J22J二P^M-2-4CB2,同理P0B-P0C=P0M2-4CB2,口PB-PCP0B.P0。恒成立，口IPMl口IP0Ml恒成立.即P0MDAB,取AB的中点N，又P0B=4ab,贝ijCNDAB，口AC=BC.故选D.2口已。 ABC□口Ab口加AQ加a-b<0,Saabc口答案150°解析[ABAC<0,DDBAC为钝角，又S,"二』a\bIsinDBAC=?.□ABC2 4DsinDBAC=2,DDBAC=150°.3DDDDDDDABCDDDAD口BCDDADCD90°DADD2DBCD1DP是腰DCDDDDDDIPAL13PBIDDDDDD答案5解析方法一以D为原点，分别以DA、DC所在直线为l、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC=a,DP=%.DD(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,%),Pa=(2,-%),PB=(1,a-%),DPa+3PB=(5,3a-4%),

I如+3PB|2=25+(3a-4%)2口25,口I圾+3PBI的最小值为5.方法二设DP=xD)C(0<%<1).^)C=(1-x)DC,Pa=Da-Dp=Da-xD)c,PB=^^C+CB=(1-x)DC+2Da.口Pa+3PB=2DA+(3-4x)DC,IPa++3PB|2=25DA2+2口|d(3-4x)DA-DC+(3-4x9DC2=25+(3-4x)2DC