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§2.3 定义3.1设D是一个n阶行列式,在D中任意选定k个行,k个列(1kn),相对位置就构成一个k阶行列式M,称为D的一个k阶子式;对位置就构成一个n−k阶行列式M称为M的 式;记为M'. t=i1+·+ik+j1+·+jkD的第i行和第i列确定的一阶子式恰为D的第i行第i列的元素aij 式记为Aij引理3.1行列式D的一个子式M和 式A之积MA的展开式中的每一项都是D的展开式中的一项.证明：设Ddet(aij)是一个n阶行列式,M是D的一个k阶子式首先考虑M位于D的左上角的情况.此时 M

Dak

,akM A(1)1·k1·kMM.现在1 2 1 2 p1p2·pk是1,2,…k的一个排列令bijakikj,1i,jnk,

p1p2·pnk是12,…nk的一个排列.注意到MA展开式中的一般项是M和M的一般项之积,也就是1 2 (1)(p1p2·pk)(q1q2·qnk1 2 ak1kqak2k ·ank pkjkqj,j1,2,…nk,pipm其中1ikmn(p1·pkpk1·pn)(p1p2·pk)(q1q2·qnk于是MA(1)(p1p2·pkpk1·pn) 1 2 k2D的展开式中的一项下面考虑一般情况M位于D的第i1,…,ik行,j1,…jk列,其中i1·ik,j1k.一系列的行、列互换可

n把第i1行依次与其上面的第i1i12,·,1行对换,共进行了i11次互换把第i2行依次与其上面的第i21,i22,·2行对换,共进行了i22次互换便将第i2行换到了第2行;别移至第1,…,k行的位置,(i11)(i22)·(ikk(j11)(j22)·(jkk次列的互换而把第j1,…,jk列分别移至第12,…k列M被移至左上角,而且行、列互换的次数总(i11)(i22)·(ikk)(j1(j22)·(jkk)i1i2·ikj1j2·jk2(1·kD1,ti1·ikj1·jk,D(1)t2(1·k)D(1)tD 符号(1)t.注意到,M位于D1的左上角, 余诸列的相对位置,M恰好位于D1的1于是MM的每一项都是D1的一项,1MA(1)t的一项

的每一项都是(1)tD ce定理在n阶行列式D中任意取定k(1kn)个行,列,则这k个行, k个列中包含的所有k阶子式为M1M2…Ms,k!(nkk!(nk

1,.DM1A1M2A2…MsAs由上面的引理可知,MiAi的项都是D的项注意到,ij时,MiMj至少有一行不同,MiAiMjAj无公共项.因为MiAik!和(nk项MiAi的展开式中k!(nk)!项.于是,M1A1M2A2·MsAs总计有sk!(nkn项,和D的展开式中的项数一样,故必有DM1A1M2A2·Ms D

1 对D中第一、二行作 M 11, 1 M3

1,M

M5

1,M

A(1)1212 1 A(1)1213 1 A(1)1214 3 4A45A56A6

1 3 2 例3.1x2

x

x2

x3yD2x2

2x

2x2 2x.3x 3x2 4x

4x55x7

3x54xy0y0y0y0yx2x7y00y00yx22x2yD3x3yx22x23x 3yx7y6x22x2

yx2y yyx7 5xy2(x ce定理中,k1的特殊情况就是按列展开定理行列式等于其中任 即对于任意k1,2,…,n det(aij)a1k

a2k

·ankDdet(aij)是一个n阶行列式,D的第k列元素分别换成1,2

Dk

a2k

a2n 因为在一个行列式中第k代数式与其第k列元素的具体取值无关,因此,D的第k列元素的代数式和D1的第k列元素的代数式相同,均记为A1k,A2k,…,将D1按第k列展开.可得b1A1kb2A2k·bnAnkDk特别地,取biaij,i1,2,…,n,j 则Dj的第j, 列相同,故Dk因此a1jA1ka2jA2k·anjAnkDk命题3.1行列式某一列元素与另一恒为0,即,jk,则有a1jA1ka