尺寸链原理及应用

1/1尺寸链原理及应用第五章尺寸链原理及应用

在机械产品设计过程中，设计人员根据某一部件或总的使用性能，规定了必要的装配精度（技术要求），这些装配精度，在零件制造和装配过程中是如何经济可靠地保证的，装配精度和零件精度有何关系，零件的尺寸公差和形位公差又是怎样制定出来的。所有这些问题都需要借助于尺寸链原理来解决。因此对产品设计人员来说尺寸链原理是必须掌握的重要工艺理论之一。

§5-1概述

教学目的：①尺寸链的基本概念，组成、分类；

②尺寸链的建立与分析；

③尺寸链的计算

教学重点：掌握工艺尺寸链的基本概念；尺寸链组成及分类

教学难点：尺寸链的作图

一、尺寸链的定义及其组成

1.尺寸链的定义

由若干相互有联系的尺寸按一定顺序首尾相接形成的尺寸封闭图形定义为尺寸链。

在零件加工过程中，由同一零件有关工序尺寸所形成的尺寸链，称为工艺尺寸链，如图5-1所示。在机器设计和装配过程中，由有关零件设计尺寸形成的尺寸链，称为装配尺寸链，如图5-2所示。

图5-1工艺尺寸链示例

图5-1是工艺尺寸链的一个示例。工件上尺寸A1已加工好，现以底面A定位，用调整法加工台阶面B，直接保证尺寸A2。显然，尺寸A1和A2确定以后，在加工中未予直接保证的尺寸A0也就随之

确定。尺寸A0、A1和A2构成了一个尺寸封闭图形，即工艺尺寸链，如图5-1b所示。

图5-2装配尺寸链图

由上述可知，尺寸链具有以下三个特征

1）具有尺寸封闭性，尺寸链必是一组有关尺寸首尾相接所形成的尺寸封闭图。其中应包含一个间接保证的尺寸和若干个对此有影响的直接获得的尺寸。

2）尺寸关联性，尺寸链中间接保证的尺寸受精度直接保证的尺寸精度支配，且间接保证的尺寸精度必然低于直接获得的尺寸精度。

3）尺寸链至少是由三个尺寸（或角度量）构成的。

在分析和计算尺寸链时，为简便起见，可以不画零件或装配单元的具体结构。知依次绘出各

个尺寸，即将在装配单元或零件上确定的尺寸链独立出来，如图5-1b），这就是尺寸链图。尺寸链图中，各个尺寸不必严格按比例绘制，但应保持各尺寸原有的连接关系。

2.尺寸链的组成

组成尺寸链的每一个尺寸，称为尺寸链的尺寸环。各尺寸环按其形成的顺序和特点，可分为封闭环和组成环。凡在零件加工过程或机器装配过程中最终形成的环（或间接得到的环）称为封闭环，如图5-1中的尺寸A0。尺寸链中除封闭环以外的各环，称为组成环，如图5-1中的尺寸A1和A2。对于工艺尺寸链来说，组成环的尺寸一般是由加工直接得到的。

组成环按其对封闭环影响又可分为增环和减环。若尺寸链中其余各环保持不变，该环变动（增大或减小）引起封闭环同向变动（增大或减小）的环，称为增环。反之，若尺寸链中其余各环保持不变，由于该环变动（增大或减小）引起封闭环反向变动（减小或增大）的环，称为减环。图5-1

中，A1为增环，一般记为1A

，A2为减环，记为2A。

计算尺寸链时，首先应确定封闭环和组成环，并判断增环和减环。判别增、减环多采用回路法。回路法是根据尺寸链的封闭性和尺寸的顺序性判别增、减环的。在尺寸链图上，在尺寸链图中用首尾相接的单向箭头顺序表示各尺寸环，首先对封闭环尺寸标单向箭头，方向任意选定；然后沿箭头方向环绕尺寸链回路画箭头。凡是与封闭环箭头方向相同的尺寸为减环，与封闭环箭头方向相反为增环。

二、尺寸链的分类1、按应用范围分类

（1）工艺尺寸链——全部组成环为同一零件工艺尺寸所形成的尺寸链，在零件加工工序中，由有关工序尺寸、设计尺寸或加工余量等所组成的尺寸链。

（2）装配尺寸链——全部组成环为不同零件设计尺寸所形成的尺寸链，在机器设计和装配中，由机器或部件内若干个相关零件构成互相有联系的封闭尺寸链。包含零件尺寸、间隙、形位公差等。（3）零件尺寸链——全部组成环为同一零件设计尺寸所形成的尺寸链。

（4）设计尺寸链——装配尺寸链与零件尺寸链，统称为设计尺寸链。

2.按尺寸链各尺寸环的几何特征和所处的空间位置，尺寸链可分为直线尺寸链、角度尺寸链、平面尺寸链和空间尺寸链。

（1）直线尺寸链它的尺寸环都位于同一平面的若干平

行线上，如图5-1b所示的尺寸链。这种尺寸链在机械制造中用得最多，是尺寸链最基本的形式，也是本节要讨论的

重点。（2）角度尺寸链各尺寸环均为角度尺寸的尺寸链称为角度尺寸链。图5-3所示为角度尺寸链两种常见的形式，其中图a为具有公共角顶的封闭角度图形，图b是由角度尺寸构成的

封闭角度多边形。

另一类角度尺寸链是由平行度、垂直度等位置图5-3角度尺寸链示例

关系构成的尺寸链。例如，图5-1a所示工件，C面对A面的平行度（用α1表示）已经确定。加工B面时，不仅得到尺寸A2，同时也得到了B面对A面的平行度α2。α1、α2以及B面对C面的平行度α0构成

了一个角度尺寸链，如图5-1c所示。

（3）平面尺寸链

平面尺寸链由直线尺寸和角度尺寸组成，且各尺寸均处于同一个或几个相互平行的平面内。如图5-4a所示的箱体零件中，坐标尺寸X、Y1和Y2与孔心距L0和夹角α0构成一平面尺寸链（图5-4b）。在该尺寸链中，参与组成的尺寸不仅有直线尺寸（X、Y1、Y2、L0），还有角度尺寸（α0以及各坐标尺寸之间的夹角--其基本值为90），而且封闭环也不仅有直线尺寸L0，还有角度尺寸α0。

图5-4平面尺寸链

（4）空间尺寸链组成环位于几个不平行平面内的尺寸链，称为空间尺寸链。空间尺寸链在空间机构运动分析和精度分析中，以及具有空间角度关系的零部件设计和加工中会遇到。

平面尺寸链和空间尺寸链的分析计算较为复杂，本课程不作讨论。

三、尺寸链的计算

用尺寸链原理解决生产实际问题，可分为两种情况

1.公差设计计算

已知封闭环，求解各组成环。这种情况也称反计算。用于产品设计、加工和装配工艺计算等方面。在计算中，需要将封闭环公差正确合理地分配到各组成环上。各组成环公差的大小不是唯一确定的，分配的公差大小需要优化。除此之外，也经常遇到已知封闭环和部分组成环，求解其余组成环，这类情况也属于公差的设计计算。一般称中间计算，用于设计、工艺计算等场合。

2.公差校核计算

已知组成环，求解封闭环。这种情况也称正计算。用于校核封闭环公差和极限偏差的情况。校核计算时，封闭环的计算结果是唯一确定的。

§5-2工艺尺寸链

教学目的：①掌握尺寸链的极值计算与概率计算方法

②熟练掌握运用尺寸链求解工序尺寸的方法

③掌握尺寸链的图表法。

教学重点：熟练掌握直线尺寸链的计算步骤和计算公式工艺尺寸链中封闭环的确定；工艺过程尺寸链的分析与解算。工艺基准与设计基准不重合时工艺尺寸的计算；一次加工满足多个设计尺寸要求的工艺尺寸计算；有表面处理工序的工艺尺寸链；工序间余量校核；跟踪法建尺寸链。

教学难点：尺寸链的建立及封闭环的确定

加工时，由同一零件上的与工艺相关的尺寸所形成的尺寸链称为工艺尺寸链。机械制造中的尺寸和公差要求，通常是以基本尺寸及上、下偏差表达的。在尺寸链计算中，还可以用最大

极限尺寸和最小极限尺寸或中间尺寸和中间偏差来表达。因而，需要按不同公式计算。直线尺寸链应用最多，我们将介绍其在工艺过程中的应用和求解。

一、直线尺寸链的计算

尺寸链的计算方法有极值法和统计法两种。1.尺寸链的极值计算方法

采用极值算法，考虑最不利的极端情况。即组成环出现极值（最大值或最小值）时，来计算封闭环。此法的优点是简便、可靠；其缺点是当封闭环公差小，组成环数目多时，会使组成环公差过于严格，造成加工困难，使制造成本增加。因此极值法多应用于封闭环精度要求较高，尺寸链环数较少；封闭环精度要求较低，尺寸链环数较多；或有补偿环的尺寸链中。

极值算法常用的基本计算公式如下：（1）封闭环的基本尺寸计算

无论是极值法还是统计法，封闭环的基本尺寸都是可以用尺寸链方程式确定。

∑∑=+==m

1

p1

-n1

mqq

p0A

-AA

式中A0--封闭环的基本尺寸；Ap--增环的基本尺寸；Aq--减环的基本尺寸；m--增环数；n--尺寸链总环数。

封闭环的基本尺寸等于各增环基本尺寸之和减去各减环基本尺寸之和。（2）封闭环的极限尺寸计算

封闭环的最大极限尺寸：∑∑=-+=-

=m

1p1

1min

max0maxAAnmqqpA

封闭环的最小极限尺寸：∑∑=-+=-

=m

1

p1

1

max

min0minAAnmqqpA

式中0maxA、0minA--分别为封闭环的最大、最小极限尺寸；

maxAp、minAp--分别为增环的最大、最小极限尺寸；maxqA、minqA--分别为减环的最大、最小极限尺寸。

封闭环的最大尺寸等于各增环最大尺寸之和减去各减环最小尺寸之和；封闭环的最小尺寸等于各增环最小尺寸之和减去各减环最大尺寸之和。

（2）封闭环的上、下偏差计算

∑∑=-+=-

=m

1p1

1p0ESESnmqq

EI

∑∑=-+=-

=m

1

p1

1

p0EIEInmqq

ES

式中ES0、EI0--封闭环的上、下偏差；ESp、EIp--增环的上、下偏差；ESq、EIq--减环的上、下偏差。

封闭环的上偏差等于各增环上偏差之和减去各减环下偏差之和；封闭环的下偏差等于各增环下偏差之和减去各减环上偏差之和。

(4)封闭环的公差

∑-==1

10niiTT

min0max00AAT-=

式中T0--封闭环公差（极值公差）；Ti--组成环的公差。

上式表明直线尺寸链封闭环的公差等于各组成环公差之和。2.统计法

在正常生产条件下，加工尺寸获得极限尺寸的可能性是较小的。根据概率乘法定理，组成环极限尺寸重合的概率等于各组成环出现极限尺寸概率的乘积。当组成环多时，极限尺寸相遇的可能性小。因此当尺寸链环数较多，封闭环精度又较高时，就不应用极值法，而用统计法。

概率解法：又叫统计法。应用概率论原理来进行尺寸键计算的一种方法。如算术平均、均

方根偏差等。

用统计法解尺寸链，封闭环基本尺寸与极值法相同。

在大批大量生产中，一个尺寸链中的各组成环尺寸的获得，彼此并无关系，因此可将它们看成是相互独立的随机变量。相互独立的随机变量。经大量实测数据后，从概率的概念来看，有两个特征数：

①算术平均值——这数值表示尺寸分布的集中位置。

②均方根偏差σ——这数值说明实际尺寸分布相对算术平均值的离散程度。

（1）将极限尺寸换算成平均尺寸

平均尺寸表示尺寸分布的集中位置，在平均尺寸附近出现的概率最大。

式中：?A——平均尺寸；

maxA——最大极限尺寸；minA——最小极限尺寸。（2）将极限偏差换算为中间偏差

2

EI

ES+=

?式中：?——中间偏差；

ES——上偏差；EI——下偏差。

（3）由概率论有，当组成环的尺寸分布规律符合正态分布时，封闭环的尺寸分布规律也符

合正态分布。封闭环的中间偏差的平方等于各组成环中间偏差平方和。

∑-==

1

1

2

0nii

QT

T

式中：QT0——封闭环的平方公差。

2

min

maxAAA+=?

例5-1图5-5所示的尺寸链，已知：09.0151±=A㎜015.0210-=A㎜0

25.0335-=A㎜。求封闭环

A0的大小和偏差。

[极值法求解]图5-5尺寸链计算示例

解：基本尺寸：A0=A3-（A1+A2）=35-（15+10）=10

ES0=ES3-（EI1+EI2）=0-（-0.09-0.15）=0.24

EI0=EI3-（ES1+ES2）=-0.25-（0.09+0）=-0.34

最后结果为：24

.034.0010+-=A㎜

[概率法求解]

1）将已知各尺寸改写成双向对称偏差形式：

09.0151±=A㎜075.0925.92±=A㎜125.0875.343±=A㎜

2)求出封闭环的平均尺寸：()mmAAAAMMMM95.915925.9875.342130=--=+-=3)求封闭环公差：假定各组成环均接近正态分布，则：

mmT34.025.015.018.02220≈++=

最后有：12.022.001017.095.9+-=±=A

与极值法结果比较：24.034.0010+-=A㎜

二、工艺尺寸链的应用

1.工艺基准与设计基准不重合时工艺尺寸的计算

工艺基准（工序、定位、测量等）与设计基准不重合，工序基准就无法直接取用零件图上的设计尺寸，因此必须进行尺寸换算来确定其工序尺寸。（1）测量基准与设计基准不重合时的尺寸换算

例题1零件中存在不便测量尺寸时的工序尺寸计算：图5-6示零件中尺寸005.025-㎜不便测量尺寸,试计算工序尺寸L。

图5-6测量基准与设计基准不重合

解题包括4个部分：

1）建立尺寸链2）验正公差3）计算工序尺寸4)验算

解：

1）建立尺寸

链这里A0＝25为封闭环；A2为增环A1＝40为减环

2)验正公差A封＝0.05,A组＝0.08A组0,合适。

§5-3装配尺寸链

教学目的：1了解装配尺寸链的基本概念；

2装配尺寸链中的封闭环为装配精度要求的尺寸；

3装配尺寸链的画法：重点“最短环原则”

教学重点：装配尺寸链中封闭环的确定，最短环原则

教学难点：装配尺寸链的画法

在产品设计阶段，通过装配尺寸链的分析与计算，可以正确地标注零件的尺寸，合理地确定公差和技术条件。在装配时，可以根据零件的加工精度和装配方法，用装配尺寸链分析装配精度。因此，无论进行哪种计算都必须先建立装配尺寸链。建立装配尺寸链的依据是装配精度。

一、装配精度

为了保证机械产品的使用性能，设计人员在设计产品时，都规定了必要的合理的装配精度。这些装配精度或技术要求，就是装配尺寸链的封闭环。直接影响装配精度的那些零件的尺寸、形状和位置公差，就是装配尺寸链的组成环。

1.装配尺寸链的基本概念

装配尺寸链是产品或部件在装配过程中，由相关零件的有关尺寸（表面或轴线间距离）或相互位置关系（平行度、垂直度或同轴度等）所组成的尺寸链。

2．装配精度与零件精度的关系

各种机器或部件都是许多零件有条件地装配在一起的。各个相关零件的误差累积起来，就反映到装配精度上。因此，机器的装配精度受零件特别是关键零件的加工精度影响很大。

为了合理地确定零件的加工精度，必须对零件精度和装配精度的关系进行综合分析。而进行综合分析的有效手段就是建立和分析产品的装配尺寸链。

2.装配尺寸链中的封闭环

在装配尺寸链中，封闭环不是零件或部件上的尺寸，而是不同零件或部件的表面或轴心线间的相对位置尺寸，它不能独立地变化，而是装配过程最后形成的，即为装配精度。即同一部件中各零件之间相互位置要求的尺寸或保证相互配合零件配合性能要求的间隙或过盈量。

在确定封闭环之后，应确定对封闭环有影响的各个组成环，使之与封闭环形成一个封闭的尺寸回路。

在建立尺寸链时应遵守“最短尺寸链原则”，即对于某一封闭环，若存在多个尺寸链时，应选择组成环数最少的尺寸链进行分析计算。

建立装配尺寸链要遵循最少环原则,即每一个相关零件只有一个相关尺寸,加入装配尺寸链的组成,尺寸链的组成环数目恰好等于相关零件个数。这就是装配尺寸链最少环原则。

3.装配尺寸链的建立

应用装配尺寸链分析和解决装配精度问题，首先是查明和建立尺寸链，即确定封闭环，并以封闭环为依据查明各组成环，然后确定保证装配精度的工艺方法和进行必要的计算。查明和建立装配尺寸链的步骤如下：

（一）确定封闭环

在装配过程中，要求保证的装配精度就是封闭环。

（二）查明组成环，画装配尺寸链图

从封闭环任意一端开始，沿着装配精度要求的位置方向，将与装配精度有关的各零件尺寸依次首尾相连，直到封闭环另一端相接为止，形成一个封闭形的尺寸图，图上的各个尺寸即是组成环。

（三）判别组成环的性质

画出装配尺寸链图后，按定义判别组成环的性质－即增、减环。

在建立装配尺寸链时，除满足封闭性，相关性原则外，还应符合下列要求。

1）组成环数最少原则

从工艺角度出发，在结构已经确定的情况下，标注零件尺寸时，应使一个零件仅有一个尺寸进入尺寸链，即组成环数目等于有关零件数目。

图5-28主轴箱主轴与尾座套筒中心线等高结构示意图

1-主轴箱2-尾座3-尾座底板4-床身

图5-29尺寸链最短路线示意

2）按封闭环的不同位置和方向，分别建立装配尺寸链。

例如常见的蜗杆副结构，为保证正常啮合，蜗杆副两轴线的距离（啮合间隙），蜗杆轴线与蜗轮中间平面的对称度均有一定要求，这是两个不同位置方向的装配精度，因此需要在两个不同方向分别建立装配尺寸链。

4.装配尺寸链的计算

（一）计算类型1．正计算法

已知组成环的基本尺寸及偏差代入公式，求出封闭环的基本尺寸偏差，计算比较简单不再赘述。

2．反计算法

已知封闭环的基本尺寸及偏差，求各组成环的基本尺寸及偏差。3．中间计算法

已知封闭环及组成环的基本尺寸及偏差，求另一组成环的基本尺寸及偏差，计算也较简便不再赘述。

无论哪种情况，其解算方法都有两种，即极大极小法和概率法。（二）计算方法1.极大极小法

用极大极小法解装配尺寸链的计算方法公式与解工艺尺寸链的公式相同。

极大极小法的优点是简单可靠，其缺点是从极端情况下出发推导出的计算公式，比较保守，当封闭环的公差较小，而组成环的数目又较多时，则各组成环的公差较小，难以保证加工精度。

2.概率法

5.装配尺寸链－极值法解反计算问题

已知条件：封闭环所有信息、各组成环基本尺寸待求量：各组成环的公差、极限偏差

公差值的分配方法：相等公差值法；相等公差等级法极限偏差的确定方法：向体内原则确定组成环公差大小的误差分配方法

1）等公差原则按等公差值分配的方法来分配封闭环的公差时,各组成环的公差值取相同的平均公差值avT：即

极值法()1/0-=nTTav

概率法1/0-=nTTav

这种方法计算比较简单，但没有考虑到各组成环加工的难易、尺寸的大小，显然是不够合理的。

2）按等精度原则按等公差级分配的方法来分配封闭环的公差时,各组成环的公差取相同的公差等级，公差值的大小根据基本尺寸的大小，由标准公差数值表中查得。

假定这台机器中每个零件都是同样的精度等级，则分配公差时，凡基本尺寸大的零件给公差较大，反之较小，这较为合理。

据《公差与技术测量》书中知，公差T=a×I式中，a——公差等级系数；

I——公差单位。

DDI001.045.03+=而BAD?=A、B——分别为尺寸分段的首尾两个尺寸值

用等精度法分配公差时，可查表得出该尺寸链中各组成环基本尺寸相应的公差单位值(Ij)，再求出“平均公差等级系数(αM)”：

3）按实际可行性分配原则按具体情况来分配封闭环的公差时,第一步先按等公差值或等公差级的分配原则求出各组成环所能分配到的公差，第二步再从加工的难易程度和设计要求等具体情况调整各组成环的公差。

利用“协调环”解算装配尺寸链的基本步骤：

在组成环中，选择一个比较容易加工或在加工中受到限制较少有组成环作为“协调环”其计算过程是先按经济精度确定其它环的公差及偏差，然后利用公式算出“协调环”的公差及偏差。

例题1如图5-30所示对开齿轮箱的一部分。根据使用要求，间隙0A应在1～1.75㎜范围内。

已知各零件的基本尺寸为：mmA1011=，mmA502=，mmA53=，mmA1404=，mmA55=，求各尺寸的极限偏差。

a）

b）

图5-30对开齿轮箱及尺寸链图

解（1）确定封闭环

（2）画尺寸链图如图5-30b）（3）确定增、减环增环：A1、A2减环：A3、A4、A5（4）计算

①计算封闭环的基本尺寸、极限偏差和公差A0=(A1+A2)-(A3+A4+A5)=1mm

mmAAES75.00max00+=-=mmAAEI00min00=-=

mmAAT75.0min0max00=-=②用相等公差法确定各组成环公差