《二重积分的计算与金融应用研究（论文）》

二重积分的计算与金融应用目录TOC\o"1-3"\h\u56311前言 前言微积分是以实数、函数和极限为基础的。二重积分是一种，不能说是最重要的一种。但要理解二重积分的概念和性质，要理解二重积分的几何意义和二重积分与定积分之间的联系，在本质上比较二重积分的大小并估计其范围。二重积分的值。学习高数微积分是很重要的。它的一部分在二重积分的概念上可能没有明确文字概念，其实通过对微积分的学习，可以推广出来二重积分的定义，定积分是二维平面图形上的积分，二重积分则是三维立体的，不仅有正负之分，而且会比定积分更复杂一些，多了积分区域，积分区域要找准，但是找到积分区域，如果被积分式子比较复杂，将会影响解题的方法选择，根据课本上的定义计算方法，有些是计算不出来的，或者说计算方法很复杂，导致结果出错。因此本文会论述几种比较简洁的计算方法，根据所给的积分区域性质和特点选择对应的解决方法。事实上，二重积分在实际中有着广泛的应用。双积分可用于求解空间的体积和表面积。在物理力学中，二重积分也起着不可或缺的作用。本文给出了二重积分的定义和一些性质。在此基础上，总结了三种常用的双积分计算方法和计算技巧，即直接坐标系法、变变法法和极坐标法计算法。本文计算和使用旋转法计算和使用二重积分的几何意义，研究了一些二重积分在经济学、空间体积计算、表面积计算、计算曲线积分和曲线面积等方面的应用。还有一种应用是在概率方面的应用，在随机变量函数求解概率是会遇到一些求解不出来的积分，可利用二重积分的性质和计算方法解决。概率积分是最重要的积分之一。它广泛应用于数学方程、概率论等。通过对概率积分内容的深入分析，找出它们之间的内在联系，从而提高教学效率，并在短时间内获取大量信息。二重积分还可以运用于金融学中，有些实际问题利用一般的计算方法是解决不了的，可利用二重积分的积分中值定理解决，在本文中就会有体现。同时学生可以系统地、系统地理解这一部分的内容，并在理解的基础上记住它，最终达到掌握的目的。鉴于许多实际问题，我们可以用自己掌握的方法，独立地分析和分析问题，合理地解决问题，从而提高学生的数学思维能力。2二重积分的概念及定义2.1二重积分的概念概念：设一个立体的底是面上的闭区域D，他的侧面是以边界曲线为准线，而母线平行于Z轴的柱面，他的顶是，这里且在D上连续的这种立体叫做曲顶柱体。2.2二重积分的定义定义：设z=f（x，y）为有界闭区域A上的有界函数

（1）把区域A任意划分成n个小块，其面积记作；（2）在每一个子域（）上任取一点，作乘积；

（3）把所有这些乘积相加，即作出和数。1.如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数在闭区域上的二重积分，记为，即：.2.对二重积分定义的说明当在有界闭区域上是连续的时，必须定义中和的极限，即必须存在二重积分。在闭区域D上的二重积分存在的必要条件连续是二重积分存在的充分条件。3二重积分的计算方法3.1计算方法3.1.1利用直角坐标计算二重积分我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题.讨论中，我们假定；假定积分区域D可用不等式表示，其中，在上连续据二重积分的几何意义可知，的值等于以D为底，以曲面为顶的曲顶柱体的体积.3.1.2二重积分化二次积分时应注意的问题1.积分区域的形状前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:对于I型（或II型）区域，用平行于y轴（x轴）的直线穿过区域内部，直线与区域的边界相交不多于两点.如果积分区域不满足这一条件时，可对区域进行剖分，化归为I型（或II型）区域的并集。2.积分限的确定二重积分化二次积分，确定两个定积分的限是关键。这里，我们介绍配置二次积分限的方法。画出积分区域D的图形（假设的图形如下）在[a，b]上任取一点x，过x作平行于y轴的直线，该直线穿过区域D，与区域D的边界有两个交点与，这里的、就是将x，看作常数而对y积分时的下限和上限；又因x是在区间[a，b]上任意取的，所以再将x看作变量而对x积分时，积分的下限为a、上限为b。3.2利用极坐标计算二重积分按照二重积分的定义有现研究这一和式极限在极坐标中的形式.用以极点0为中心的一族同心圆r=常数以及从极点出发的一族射线=常数，将D剖分成个小闭区域.除了包含边界点的一些小闭区域外，小闭区域的面积可如下计算其中，表示相邻两圆弧半径的平均值.（数学上可以证明:包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为零，因此，这样的一些小区域可以略去不计）在小区域上取点，设该点直角坐标为，据直角坐标与极坐标的关系有，于是有下面的式子即：由于也常记作，因此，上述变换公式也可以写成更富有启发性的形式上式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式，其中，就是极坐标中的面积元素.例1：计算解：此积分区域为:区域的简图为该区域在极坐标下的表示形式为于是有：

4二重积分的经济类应用4.1案例背景二重积分在物理学上的应用较为普遍，比如说在求相交的两个三维物体的体积等物理学上的应用。然而在数学的布朗运动还有经济学上金融问题还有利润问题没有更好的应用。比如说在布朗运动中求最大值的问题时，如果采用基本的概率论和数理统计中分布函数和大数定律可能很难解决，若借助二重积分的理论和概率论的结合来计算会更为的方便，对于一些些无法解决的实际问题，在意下文中都会有很好的应用和体现。除此之外，如果采用单纯的数学应用计算可能还需要其他的已知条件，这样是无法解决实际问题，如果采用二重积分的中值定理可以解决实际问题。经济学的平均利润问题和利润最大化可能在市场上会有很多的体现，在定积分的很多事例中都能看出定积分的作用，以此也能推广到二重积分分的应用，对于具体的应用在下文中分析。4.2实际应用上海的某一个金融产品公司销售金融产品个单位，产品个单位，现已知一个星期内产品的销售数量在150到200个单位之间变动，一个星期内内产品的销售数量在80到100个单位之间变动．销售这两种产品一个星期之内的平均利润又是多少？分析：对于上述问题，如果采用单纯的数学应用计算可能还需要其他的已知条件，这样是无法解决实际问题，如果采用二重积分的中值定理可以解决实际问题。二重积分的中值定理的意义就是设函数f（x，y）在闭区域D上连续，为的面积，则在D上至少存在一点使得。根据的变化范围的面积可以由二重积分的中值定理解决实际问题，因此该公司销售、这两种产品一个星期之内的平均利润为：（元）．因此，销售这两种商品一周的平均利润4033元.题目中只是知道变化的范围，可以变化的范围确定他的面积区域，根据面积区域利用二重积分的中值定理可以求出他的平均利润。这也是利用二重积分解决经济学中无法解决的实际问题。5总结直接坐标系的计算、变量变换法的计算、极坐标系的计算、函数的奇数和区域对称性的计算、格林公式的计算以及旋转法的使用并利用二重积分的几何意义，目前，概率积分法也被广泛应用，但由于其基本假设，缺陷决定了其与实际情况的差异，在实际应用中存在许多缺陷。因此，具有重大的理论和现实意义进一步提高概率积分法的模型和建立合理的参数选择和反演系统，可以提高沉降在中国的预测精度和指导生产实践。然而，在研究的计算中，我们必须不断总结，学会根据主题类型的变化选择方法，寻求更方便的方法，而不是盲目追求一种。本文中最新颖的地方也是在解决布朗运动中求最大值的问题时，如果采用基本的概率论和数理统计中分布函数和大数定律可能很难解决，若借助二重积分的理论和概率论的结合来计算会更为的方便，对于一些些无法解决的实际问题，在意下文中都会有很好的应用和体现。除此之外还有利用二重积分解决经济学中的实际问题，有些经济学上的金融问题用一般的方法求解不出来，可利用二重积分的积分中值定理解决，也是一种很简便的方法。此外，高等数学科学博大精深。就我们而言，我们必须谦虚谨慎，努力学习高数，希望能深入高等数学的角落。

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