机械波课程内容61机械波的形成和传播62平面简谐波的波

第6章机械波课程内容6.1 机械波的形成和传播6.2 平面简谐波的波函数6.3 波的能量 声强6.4 惠更斯原理 波的叠加和干涉6.5 驻波6.6 多普勒效应 冲击波6.7 色散 波包 群速度教学要求了解横波、纵波、波面、波前、平面波、波线、波动方程的推导；了解机械波产生的条件应力、体变模量、扬氏模量、切变模量、声压、声强、声强级、波的能量、波的强度、多普勒效应、冲击波。理解波源、机械波、波速、波长、频率、波动方程、惠更斯原理、波的衍射、反射和相位、驻波。掌握波的独立性、叠加原理、相干条件、波的干涉现象。重点与难点重点：波的独立性、相干条件、波的干涉现象。难点：波的干涉现象。第6章 机械波如果在空间某处发生的振动，以有限的速度向四周传播，则这种传播着的振动称为 波。通常将波动分为两大类： 一类是机械振动在连续介质内的传播， 称为机械波。例如水波、声波等。另一类是电磁振动在真空或介质中的传播，称为 电磁波。例如无线电波、光波、 X射线、 射线等。近代物理指出，微观粒子以至任何物体都具有波动性，这种波叫做物质波。机械波和电磁波在本质上是不同的， 但是它们都具有波动的共同特征， 即都具有一定的传播速度，且都伴随着能量的传播，都能产生反射、折射、干涉和衍射等现象，而且有相似的数学表达形式。本章的主要内容有机械波的基本概念、 平面简谐波表达式、 波的能量、波的干涉和衍射、驻波以及声波等。6.1机械波的形成和传播 机械波产生的条件机械波的产生， 一是要有做机械振动的物体，即波源；二是具有弹性介质 。具体说，组成弹性介质的各质点之间都以弹性力相互作用着，一旦某质点（ 波源）离开其平衡位置，这就发生了形变，于是一方面， 邻近质点对它施加弹性回复力，使它回到平衡位置，并在平衡位置附近振动起来；另一方面根据牛顿第三定律，这个质点也将对邻近质点施加弹性力，迫使邻近质点也在自己的平衡位置附近振动起来。 这样，振动就由近及远地传播开去， 形成了波动。 横波 纵波根据介质中各点的振动方向与波的传播方向的关系，机械波可以分为横波和纵波两类：介质中质点的振动方向与波的传播方向相垂直称为 横波。如绳波就是横波。 介质中质点的振动方向与波的传播方向相平行称为 纵波。如声波就是纵波。无论是横波还是纵波，它们都只是振动状态的传播，弹性介质中各质点仅在它们各自的平衡位置附近振动，并没有随波前进。一般而言，介质中质点的振动情况是很复杂的，由此产生的波也很复杂。例如水面上传播的水面波，水质点既有上下振动，也u有前后运动，因此既不是纯粹的横波，ad也不是纯粹的纵波。这种运动的复杂性，是由于液面上液体质点受到重力和表面bc张力共同作用的结果。但任何复杂的波图6-1问题6-1图都可以分解为横波和纵波来研究。问题6-1 如图6-1为一纵波在某一时刻的波形图，波的传播方向如图所示。在图上标注出质点a、b、c、d的实际位置。 波面 波线波线和波面都是为了形象地描述波在空间的传播而引入的概念。

从波源沿各传播方向所画的带箭头的线 ，称为波线，用以表示波的传播路径和传播方向。

波在传播过程中，所有振动相位相同的点连成的面

，称为波面。在各向同性的均匀介质中，波线与波面相垂直。显然，波在传播过程中波面有无穷多个。 在某一时刻，由波源最初振动状态传到的各点所连成的曲面叫波前或波阵面。即波前是传到最前面的那个波面。 在任一时刻，只有一个波前。波面为球面的波称为球面波，球面波的波线是以波源为中心向外的径向直线（图6-2(a)）；波面为平面的波 称为平面波（图6-2(b),平面波的波线是垂直于波阵面的平行直线。 简谐波普通波的波动表达式是比较复杂的， 最简单而又最基本的波动是 简谐波。即波源以及介(a) (b)图6-2波阵面和波线质中各质点的振动都是谐振动。 这种情况只能发生在各向同性、 均匀无限大、无吸收的连续弹性介质中。以下我们所提到的介质都是这种理想化的介质。 任何一种复杂的波都可以表示为若干不同频率、不同振幅的简谐波的合成。所以研究简谐波有特别重要的意义。 物体的弹性形变体变模量 如图6-3(a)所示，设有一体积为 V的立方体（图中实线所示） ，受到来自各个方向的压力，体积缩小为V（图中虚线所示），如果用f表示正压力，则量值pfS叫做胁强或应力。在胁强p的作用下，体积增量为VV'V（这里的V实际为负值），把VV叫做胁变或应变。定义p（6-1）BVV为体变模量。对于流体,体变模量可改写为p(6-2)BVV杨氏模量如图6-3(b)所示,设有一柱体，两端受拉力f。如果柱体的横截面为S，长为l，受力f作用时，伸长 l，胁强为 f/S,胁变为 ll，定义杨氏模量Yf/S（6-3）l/l图6-3物质的形变切变模量如图6-3(c)所示，设有一柱体，两端底面受到切向力f作用，这时产生的形变称为切变，切变中胁变的量值可用角（以弧度为单位）表示，胁强以f/S表示，S为柱体底面的面积，定义切变模量为Gf/S（6-4）在SI制中，体变模量B、杨氏弹性模量Y及切变模量G的单位都为N／m2。 描述波动的几个物理量波速在波动过程中，某一振动状态（即振动相位）在单位时间内所传播的距离 叫做波速，用u表示。波速的大小取决于介质的性质，在不同的介质中，波速是不同的。对于固体，能产生切变、体变、长变等各种弹性形变，所以在固体中既能传播与切变有关的横波，又能传播与体变或长变有关的纵波，波的传播速度为横波uG(6-5)纵波uY(6-6)对于流体只有体变弹性， 没有切变弹性，所以只能传播与体变有关的弹性纵波， 波的传播速度为uB(6-7)上面三式中 均为介质的密度。张紧的柔软细绳或弦线中横波的传播速度为Fu(6-8)式中F为细绳或弦线中的张力，细绳或弦线单位长度的质量。问题6-2假如声波在空气中传播时,空气的压缩与膨胀过程进行得非常迅速,以致来不及与周围交换热量,声波的传播过程可看作绝热过程。若视空气为理想气体，（1）试证声速u与压强p的关系为up，与温度T的关系为uRTMmol,式中CP,mCV,m为气体的摩尔热容之比,为密度,R为摩尔气体常量,Mmol为摩尔质量；（2）求00C和200C时，空气中的声速。（空气的1.4，Mmol2.89102kg/mol）波动周期和频率波动过程也具有时间上的周期性。波动周期是指 一个完整波形通过波线上某点所需要的时间，用T表示。周期的倒数叫做频率，波的 频率是指单位时间内通过波线上某点的完整波的数目，用 表示。由于波源每完成一次全振动，就有一个完整的波形发送出去，由此可知，当波源相对于介质静止时,波的周期（或频率）等于波源的振动周期（或频率）。两者关系为21T（6-9）3波长如前所述，同一时刻，沿波线上各质点的振动相位是依次落后的。 则同一波线上两个相邻的相位差为 2π的质点间的距离，即一个完整波的长度 称为波长，用 表示。波长、波的周期(频率)、波速都是描述波动的重要物理量。u、波长、和波速频率周期T之间有如下关系uTu（6-10）式(6-10)把表征波的空间周期性的ueT联系在一ad和表征波的时间周期性的起，是波动现象中一个很重要的普遍关bc图6-4 问题6-3图系式。它不仅适用于机械波，也适用于电磁波。问题6-3 设某一时刻绳上横波曲线及传播方向如图 6-4所示。试分别用小箭头表明图中 a、b、c、d、各质点的此时刻的运动方向，并画出经过四分之一周期后的波形曲线。例6-1在波线上有相距2.5cm的A、B两点，已知点B的振动相位比点A落后π6，振动周期为2.0S，求波速和波长。解 波线上相距 2.5cm的A、B两点相位差为 π6，由波长的定义可知，在波线上相距 的两点的相位差为2π，所以该波的波长为2π2.5102 0.30(m)π6因为=2.0s，根据式(12-5)，可以求得波速T30102u0.15(m/s)T26.2平面简谐波的波函数平面简谐波在介质中传播，虽然各质点都在各自的平衡位置附近按余弦（或正弦）规律运动，但同一时刻各质点的振动状态却不尽相同。只有定量地描述出每个质点的振动状态，才算解决了平面简谐波的运动学问题 。在平面简谐波中， 波线是一组垂直于波面的平行射线， 因此可选用其中一根波线为代表来研究平面波的传播规律。 也就是说，我们所需求的平面简谐波的波函数， 就是任一波线上任一点的振动方程的通式。6.2.1平面简谐波的波函数y如图6-5所示，一平面简谐波在无吸收的均匀无限大介质中传播，波速为 u，取任一波线为 x

uP轴，波Ox轴正方向传播。因为与 x轴垂直的平面 图6-5 P点的振动比原点落后时间 xu均为同相面，任一个同相面上质点的振动状态可用该平面与 x轴交点处的质点振动状态来描述，因此对整个介质中质点的振动研究可简化成只研究 x轴上质点的振动。设原点处的质点振动表达式为yO Acos t 0式中yo表示O处质点在时刻t离开平衡位置的位移，A为振幅，为角频率，0为初相。我们在Ox轴正方向上任取一点P，坐标为x，显然，当振动从点O传播到点P时，点P将以相同频率和振幅重复点O的振动，只是振动状态落后于点O，点P落后于点O的时间为x，也就是说，P点在t时刻的振动状态就是点O在tx时刻的振动状态，用uutxt，就可以得到任意时刻t，任意点P的振动表达式代替点O振动表达式中的uyAcostx0（6-11a）u显然,此式适用于 Ox轴上所有质点的振动 ,从而可以描绘出 Ox轴上各点的位移随时间变化的整体图象。因此上式即为沿 Ox轴正方向传播的 平面简谐波的波函数，或称波动表达式，有时也称波动方程 。因为 2πT 2π,u T，所以可以将式（ 6-11a）改写为yAcos2πtx0（6-11b）TyAcos2πtx（6-11c）0如果波沿Ox轴负方向传播，点P的振动超前于点 O的时间为 x，因此沿Ox轴负方向u传播的平面简谐波的表达式为yAcostx0（6-12）u我们可以将上述推广到更一般的情形 ,若波沿Ox轴正方向传播,且已知x0处点Q的振动表达式为yQ Acos t x0则相应的波的表达式为yAcostxx0(6-13)x0u讨论1弹性介质中质元偏离平衡位置的位移y既是时间t的函数，又是位置坐标x的函数，有两个自变量。而简谐振动表达式中振动物体偏离平衡位置的位移只是时间的函数，只有一个自变量。2在波的表达式中 ,波速u恒取正值。3由波的表达式可以求得介质中各质点的振动速度和振动加速度a,即yAsintx0tua2y2Acostx0tt2u问题6-4（1）说明波动表达式（6-11a）中，x,x,0的物理意义。uu（2）说明波动表达式（6-13）中x-x0,x-x0,x0的物理意义。uu（3）对于沿Ox轴负方向传播的波动表达式，再回答（1）与（2）。问题6-5比较波的传播速度与介质中各质点振动速度的区别。 平面简谐波波函数的物理意义为了深刻理解平面简谐波波函数的物理意义，下面分几种情况进行讨论。1当x x0为给定值,则y仅是时间t的周期函数，波动表达式（ 6-11a）成为yAcosx00＝Acost2πx0（6-14）t0u表示的是波线上点x0处质点在任意时刻离开自已平衡位置的位移，式（6-14）即为x0处质点的振动方程，表明任意坐标x0处质点均在作简谐振动，相应的yt图就是该点的振动曲线如图（图6-6）所示。任一质点经历时间nT(n1,2,)振动状态完全复原。周期T描述了波的时间周期性 。从式(6-14)可知,x处质点的振动初相为2πx0,比原点O处质点的振动相位始00Pp11pP22AT图6-6给定点的振动曲线图6-7给定时刻的波形图终落后2πx0或x0,x0越大，相位落后越多。因此，沿着波的传播方向，各质点的振动相u位依次落后。x0,2,3,各处质点的振动相位依次为20,40,60,这正好表明波线上每隔一个波长的距离，质点的振动曲线就重复一次，波长的确代表了波的空间周期性。由上面的讨论可知 ,同一波线上两质点之间的相位差2πx22πx12π（6-15）00x2x1负号表示若x2 x1,则x2处的相位落后于 x1处的相位。2当t t0为给定值，,则位移y仅是坐标x的周期函数,波动表达式（6-11a）成为yAcost0x0（6-16）u这时波动表达式给出了在 t0时刻波线上各个不同质点离开各自的平衡位置的位移分布情况 ,称为t0时刻的波形方程。以y为纵坐标,x为横坐标,t0时刻的波形曲线如图 6-7所示。图形的“周期”为 ， 描述了波的空间周期性 。图中P1与P2两点处质元的振动状态相同，相位差为2π，P1与P2两点间的距离为 λ。它是一条简谐函数曲线，正好说明它是一例简谐波。相应注意的是，对横波， t0时刻的y x曲线实际上就是该时刻统观波线上所有质点的分布图形；而对于纵波，波形曲线并不反映真实的质点分布情况， 而只是该时刻所有质点的位移分布。读者可以自己导出同一质点在相邻两个时刻的振动相位差为t2t12πt2t1（6-17）T这说明波动周期反映了波动在时间上的周期性。t和x都变化，波函数就表示了波线上各个不同质点位移随时间变化的整体情况。t t t图6-8 波的传播t时刻的波形方程为yAcostx0ut时刻的波形方程为yAcosttx0yAcostxut0uu我们分别用实线和虚线表示t和t+△t（△t<T）时刻的两条波形曲线，如图6-8所示。便可形象地看出波形向前传播的图象，波形向前传播的速度就等于波速u。从上述两表达式可知t时刻x处质点的振动相位与tt时刻xut处的振动相同。xut表示两波形曲线上振动状态相同的两点间的坐标值之差。也就是说，在△t时间内波形曲线向x轴正方向移动了△x的距离，传播的速度就是波速u。想获取tt时刻的波形，只要将t时刻的波形沿波的前进方向移动△x的距离即可得到。由式（6-11a）描述的波，波形曲线是以波速u向波的传播方向前进的，因而这种波也叫做行波。例6-2已知波动方程为yπ25tx，其中x，的单位为，的单位为s，求(1)振幅、波长、0.1cosymt10周期、波速；(2)距原点为8m和10m两点处质点振动的位相差； (3)波线上某质点在时间间隔 0.2s内的位相差.解(1)25πxy0.1cost1025A=0.1m,25s1,u=25m/s,0=010T20.8s,=uT=20m同一时刻波线上坐标为x1和x2两点处质点振动的位相差222x2x1520(3)对于波线上任意一个给定点(x一定)，在时间间隔t内的位相差250.21t2t1102例6-3已知波动表达式为 y 0.02cosπ200t 5xm。求（1）求波长、周期T、和波速u；（2）画出t0.0025s、0.005s时波形图。解（1）波动表达式的一般形式x0]yAcos[tu此题波动表达式可化为y0.02cos200πtxm40与一般形式比较知，u40m/s，T2π=0.01s，u0.4m。200π（2）一种方法由波形表达式来作图（描点法） ，这样做麻烦。此题可这样做：画出 t 0时波形图，根据波传播的距离再得出相应时刻的波形图（波形平移） 。平移距离 :对t 0.0025s为0.1m;对t 0.005s为0.2my/muuy/mx/my/my/m x/mx/mx/m图6-10 例6-4图图6-9例6-3解用图例6-4如图6-10表示t=0时的平面简谐波的波形曲线。已知波向x正方向传播，波速u32m/s。试求：（1）波动表达式；（2）如果波向负方向传播，再写出波动表达式；（3）在（1）的基础上，求t=0时，A、B处质点的速度的大小和方向。解对照图形，可得波长8m，振幅A0.1m,由u可得：u324Hz,2π8π/s8（1）设波动表达式为yAcost-x0mu从图6-10可以看出,t=0时O点质点，位于平衡位置，且向负方向运动，0＝π所以原点质点的振动表2达式为y0.1cos8πtπm2波的表达式为y0.1cos8πt-xπm322（2）从图6-10可以看出,t=0时O点质点位于平衡位置，且向正方向运动，0＝-π，所以原点质点的2振动表达式为y0.1cos8πt－πm2波的表达式为y0.1cos8πt＋x－πm322(3)质点的振动速度为y-0.8πsinxπm/st8πt-232所以t=0时，A、B各点的速度分别为A-0.8πsin-ππ022-0.8πsin-11ππ-0.8πsin-π1.8m/sB424例6-5一平面波在介质中的速度u20m/s，传播方向沿x轴负向，已知传播路径上的某点A的振动表πu达式为y3cos(4πt3)m。（1）如以A点C B A Dx8m 5m 9m图6-12 习题6-5图为原点，写出波动表达式； （2）如以B点为原点，写出波动表达式；（3）从（2）的波动表达式出发，写出C点，D点的振动表达式，各点位置如图6-12所示。解（1）0＝π，y3cos[4π(tx)π320]3（2）以B为原点，xA5、Aπ3，任一坐标x处的质点振动比A点超前的相位为x-xAx-5u4π20波动表达式y3cosx-5π＝x-2π4π(t)m3cos4π(t)m203203（3）yC3cos4π(t-82πm3cos(4πt-34π20)-15)m3yD3cos4π(t142πm3cos(4πt32π20)-15)m3问题6-6 试总结求波动表达式的一般步骤。 波动方程将式(6-11a)分别对t和x求二阶偏导数得到2yA2costxt2u2y2xx2Au2costu比较上列两式，即得2y12yx2u2t2这就是平面波的波动方程。

00（6-18）讨论 1如果从沿Ox轴负方向传播的波动表达式 (6-12)出发,同样可以得到式 (6-18)。2对任一不是简谐波的平面波 ,也可认为是许多不同平面频率简谐波的合成 , 其对t和x的二阶偏导数,仍满足式(6-18)。所以式（6-18）反映一切平面波的共同特征。3任何物理量，不管是力学量还是电学量， 只要它的时间和坐标的关系满足式 （6-18）,这一物理量就以波的形式传播。6.3波的能量 * 声强波的能量和能量密度在波的传播过程中 ,波源的振动通过弹性介质由近及远地一层接一层地传播出去 ,使介质中各质点依次地在各自平衡位置附近作振动 ,可见介质各质点具有动能 ,同时介质因发生形变还具有势能。所以，波动过程也是能量传播的过程。

图6-13 细杆中的体元形变本节以均匀细杆中传播的纵波为例，来分析能量传播的特征。如图6-13，细杆的截面积为 S，密度为 ρ。考虑杆中位于 x处的体积元 V，其质量为V，设在细杆中传播的平面简谐波的表达式为yAcos[(tx)0]u那么，该体积元的动能为Ek1V21V2A2sin2[(tx)0](6-19)22u从图中可以看出，体积元左端的位移为y，右端的位移为yy，体积元的原长为x，所以胁变为yx，根据杨氏模量的定义式（6-3）和胡克定律,这体积元所受的弹性力为fYSykyx弹性势能为EP1k(y)21YS(y)21YSx(y)222x2x因 V Sx,u Y,或Y u2yAsintx0xuu得EP1VA22sin2[(tx)0](6-20)2u体积元的总能量为EEkEPVA22sin2[(tx)0](6-21)u应该注意，波动的能量和简谐振动的能量有显著的不同：在简谐振动系统中，动能和势能有π2的相位差，即动能达到最大时，势能为零，势达到能最大时，动能为零，两者相互转化，使系统的机械能守恒。2.在波动情况下，任一时刻任一体积元的动能与势能总是随时间同步变化的，值是相等的。因此对任一体积元，它的机械能是不守恒的，是时间的函数，在零和最大值之间周期地变化着。波动中，任一体积元的机械能不守恒的原因在于：介质的体积元间有着相互作用，因而相邻体积元间有能量传递， 沿着波传播方向， 任一体积元不断地从前面介质获得能量， 又不断把能量传递给后面介质，所以说， 波动是能量传递的一种形式 。介质中单位体积的波动能量，称为波的 能量密度，用符号 表示，即EA22sin2(tx)0（6-22）Vu波的平均能量密度 即能量密度 在一个周期内的平均值， 因为正弦函数的平方在一个周期内的平均值是 1/2，所以 为1T

T221T2x122（6-23dtAsint0dtA）0T0u2上式表示，机械波的平均能量密度与振幅的平方、频率的平方及介质密度都成正比。问题6-7 设图6-14所示的平面简谐波的振幅为 A,频率为 ,介质的密度为 。在点a处、在点b处体积元 V所具有的动能、势能及机械能的表达式是什么？yuao b x图6-14 问题6-7图 图6-15 波的能流 波的能流和能流密度波的传播过程必然伴随着能量的流动，因而可以引入能流和能流密度的概念。单位时间内通过介质中某面积的能量，称为通过该面积的能流，如图6-15所示,用符号P表示。设想在介质中取垂直于波速u的面积SS面的能量等于体积uS内的能量，，则在单位时间内通过因此通过面积S的能流为PuSuSA22sin2tx0u能流P是随时间作周期性变化的，通常取其在一个周期内的平均值，即平均能流PPuS1A22uS(6-24)2显然，平均能流P与截面积S有关。通过垂直于波线的单位面积的平均能流，称为能流密度，也称波的强度，简称波强。由I表示IPu1A22u（6-25）S2可见波的强度正比于振幅的平方、频率的平方及介质的密度。式（6-25）只对弹性波成立。波强I的单位为瓦[特]每平方米（W/m2）。例6-6一简谐空气波，沿直径为0.14m的圆柱形管传播，波的强度为9103W/m2，频率为300Hz，波速为300m/s。求：(1）波的平均能量密度和最大能量密度；(2）每两个相邻同相面间的波中含有的能量。解（1）由波的强度Iu，得I91033105(J/m3)u3002A2sin2tx,1A223105J/m32umax2A22231056105(J/m3)（2）相邻同相面间波含能量为VS=πd22Eu31053.140.143004.62107(J)2v2300 波的吸收波在实际介质中传播时， 由于波动能量总有一部分会被介质吸收， 所以波的机械能会不断地减少，波强亦逐渐减弱，这种现象称为波的吸收。设介质中某处振幅为 A，经厚度为 dx的介质后，振幅的衰减量为 -dA，实验指出dA Adx经积分得AA0ex（6-26）00和xx处的波振幅，是常量，称为介质的吸收系数。式中A和A分别是x由于波强与波振幅平方成正比，所以波强的衰减规律为II0e2x（6-27）式中I0和I分别是x0和xx处波的强度。例6-7空气中声波的吸收系数为a1210112m1，钢中的吸收系数为a24107m1，式中代表声波的频率.问频率为5的超声波透过多厚的空气或钢后其声强减为原来的1%.MHz解： a1 210a2 410

11510621500m751062m1*

II0e2ax1I0xln2aII0/I 100x11ln1000.046m空气的厚度为1000钢的厚度为1ln1001.15mx24可见高频超声波很难通过气体，但极易通过固体 声压、声强和声强级为了描述声波在介质中各点的强弱，常采用声压和声强两个物理量。声压介质中有声波传播时的压力与无声波时的静压力之间的压差称为声压。 由于声波是疏密波，在稀疏区域，实际压力小于静压力，在稠密区域，实际压力大于静压力，前者声压为负值，后者声压为正值。因介质中各点声振动是周期性变化的， 所以声压也作周期性变化。对平面简谐波，可以证明声压振幅 pm为pmuA（6-28）声强与声强级声波的强度叫做声强。也就是声波的能量密度。由式（ 6-25）和（6-28）两式，有I1pm21A22u（6-29）2u2这说明频率越高越容易获得较大的声压和声强。频率在20Hz~2×104Hz之间的能引起人的听觉的机械纵波，叫做声波。频率低于20Hz的机械纵波叫做 次声波；频率高于 2×104Hz的机械纵波叫做 超声波。实验表明，人耳的灵敏度对于声波的每一个频率都有一个声强范围， 就是声强上下两个限值。 低于下限的声强不能引起听觉，人就听不到声音。 高于上限的声强只能引起痛觉，也不能引起听觉。 一般正常人听觉的最高声强为 10W/m2，最低声强为 10-12W/m2。通常把这一最低声强作为确定声强的标准，用 I0表示。由于能够引起人耳听觉的声强范围很大，因此，通常用声强的常用对数来描述声波的强弱，叫做 声强级，用L表示L10lgI（6-30）I0式中I0是频率为1000Hz时人耳能感觉到的最低声强。I0=10-12W/m2。声强级的单位是分贝(dB)。表6.1中列出了日常生活中几种声音的声强级。表6.1声强和声强级举例声源声强级（dB）2响度声强（W/m）引起听觉伤害的声音140100听觉有痛感1201震耳响雷1100.1震耳地铁10010-1震耳交通干线旁的噪声8010-2响交谈声6010-4正常静室4010-8轻悄悄话2010-10轻落叶1010-11轻噪声强度适宜，频率规则的声波，听起来是美妙的音乐。强度很大，频率不规则的声波给人的感觉是噪声。噪声已经成为城市的一种重要污染， 对城市居民的身体健康有重要影响。 自觉控制噪声，减少噪声污染是对现代生活的公德要求。表6.2中列出了城市五类环境噪声值。表6.2城市五类环境噪声值类别白天声强级（dB）夜间声强级（dB）适用区域05040疗养区、宾馆15545居住区、文教机关26050居住区、商业区36555工业区47055交通干线、河道两侧超声波超声波的显著特点是：（1）频率高，波长短，衍射不严重，因而具有良好的定向传播特性，而且易于聚焦。（2）声强大，用聚焦的方法，可以获得声强高达 109W/m2的超声波。3）穿透本领大。超声波在液体、固体中传播时，衰减很小。在不透明的固体中，能穿透几十米的厚度。超声波的这些特性得到了广泛的技术应用：1）超声探测。利用超声波的定向发射特性质，可以探测水中物体，如探测鱼群、潜艇等，也可用来测量海深。由于海水的导电性良好，电磁波在海水中传播时，吸收非常严重，因而电磁雷达无法使用。利用声波雷达——声纳，可以探测出潜艇的方位和距离。（2）超声探伤。超声波碰到杂质或介质分界面时有显著的反射，可以用来探测工件内部的缺陷。超声探伤的优点是不伤损工件，又由于穿透力强，故可以探测大型工件，如用于探测万吨水压机的主轴和横梁等。在医学上可用来探测人本内部的病变，如“ B超”仪就是利用超声波来显示人体内部结构的图像。（3）超声全息。目前超声探伤正向着显像方向发展， 如用声电管把声信号变换成电信号，再用显象管显示出目的物的像来。随着激光全息技术的发展，声全息也日益发展起来。把声全息记录的信息再用光显示出来，

可以直接看到被测物体的图像。

声全息在地质、医学领域有着重要的意义。4）超声加工。超声波能量大而且集中，也可用来切削、焊接、钻孔、清洗机件，还可以用来处理种子和促进化学反应等。5）超声测量。超声波在介质的传播特性，如波速、衰减、吸收等与介质的某些特性（如弹性模量、浓度、密度、化学成分、黏度等）或状态参数（如温度压力、流速等）密切有关，利用这些特性可以间接测量其他有关物理量。这种非声量的声测法具有测量精度高、速度快等优点。（6）超声电子。超声波一般由具有磁致压缩或压电效应的的晶体的振动产生， 其频率与一般无线电波的频率相近。 但超声波在介质中的传播速度比电磁波小得多， 用超声波延迟时间就方便得多。利用超声元件代替某些电子元件，可以制作超声延迟线、 振荡器、滤波器等，可应用于电视、通讯、雷达等方面。5次声波次声波又叫亚声波，一般指频率在 10-4~20Hz之间的机械波，人耳听不到。它与地球、海洋和大气等的大规模运动的密切关系。 例如火山爆发、地震、陨石落地、大气湍流、雷暴、磁暴等自然活动中，都有次声波产生，因此已成为研究地球、海洋、大气等大规模运动的有力工具。次声波频率低， 衰减极小，具有远距离传播的突出优点。 在大气传播几千公里后， 吸收还不到万分之几分贝。因此对它的研究和应用受到越来越多的重视，已形成现代声学的一个新的分支——次声学。6.4惠更斯原理 波的叠加、衍射和干涉本节中，我们介绍波传播的两个基本规律 ,并从这两个基本规律出发讨论波的基本特征。一是惠更斯原理，这是有关波的传播方向的基本规律

,应用这一原理，可以讨论波的反射、折射和衍射现象； 二是波的叠加原理 ，这是关于在几列波相遇或叠加的区域内，

介质中质点的运动情况及波的传播规律， 应用这一原理，我们研究波的干涉以及一种特殊的干涉现象－驻波。 惠更斯原理1 惠更斯原理当波在弹性介质中传播时，

由于介质质点间的弹性力作用，

介质中任何一点振动都会引起邻近各质点的振动，因此，波动到达的任一点都可看作是新的波源。如图

6-16

所示,当一块开有小孔的隔板挡在波的前面时， 则不论原来的波面是什么形状， 只要小孔的线度远小于波长，都可以看到穿过小孔的波是圆形波， 就好象是以小孔为点波源发出的一样， 这说明小孔可以看作是新的波源，其发出的波称为次波（子波） 。图6-16障碍物上的小孔成为新波源荷兰物理学家惠更斯观察和研究了大量类似现象，于 1690年提出了一条描述波传播特性的重要原理：在波的传播过程中，介质中波阵面（波前）上的每一点都可以看作是发射子波的波源，在以后的任一时刻，这些子波的包络就是新的波前。这就是惠更斯原理的内容。惠更斯原理不仅适用于机械波，也适用于电磁波。不论传播波动的介质是均匀的还是非均匀的，是各向同性的还是各向异性的，只要知道了某一时刻的波阵面，就可以根据这一原理，利用几何作图法来确定以后任一时刻的波阵面，进而确定波的传播方向。此外，根据惠更斯原理，还可以很简单地说明波在传播中发生的反射和折射现象。下面举例说明其应用。确定下一时刻的波阵面（波前）如图6-17(a)所示，波从波源 O发出，以速率 u在各向同性的均匀介质中向四周传播，在t时刻的波前是半径为R1的球面S1。根据惠更斯原理，t时刻的波前S1上的各点，都可以看做为发射子波的点波源。以S1上的各点为中心、以rut为半径，画许多球形的子波，这些子波在波行进的前方的包络面为2，2就是t+△t时刻的波前。显然，2是以波源O为SSS中心、以R2=R1+u t为半径的球面。如图6-17(b)所示，若已知平面波在某时刻 t的波阵面S1,根据惠更斯原理 ,应用同样的方法,也可以求出以后任一时刻t+△t的新波阵面 S2，显然，S2是一个与 S1相距u t且与(a)球面波 (b)平面波S1平行的平面。从以上讨论可以看出， 由

图6-17用惠更斯原理求作新的波阵面 (波前)惠更斯原理可以推知， 当波在各向同性的均匀介质中传播时， 波阵面的几何形状不变， 即波线方向或者波的传播方向是不变的；当波在各向异性或不均匀的介质中传播时，由于不同NRIii'方向上波速不同，波阵面的形状和波的传播方向会发生变化。界面3波的反射和折射当波传播到两种介质分界面时，一部分从界面上返回原T介质，形成反射波；另一部分进入到另一种介质，形成图6-18波的反射和折射折射波。如图6-18所示，入射波线与介质分界面法线的夹角i叫做入射角，反射波线与介质分界面法线的夹角i′叫做反射角，折射波线与介质分界面法线的夹角γ叫做折射角。根据波的惠更斯原理可以推导出波的反射定律和波的折射定律。波的反射定律：反射线、入射线和界面的法线在同一平面内；反射角等于入射角，即i′=i（6-31）图6-19水波的衍射波的折射定律：折射线、入射线和界面的法线在同一平面内;入射角的正弦与折射角的正弦之比等于波动在第一种介质中的波速与在第二种介质中的波速之比，即siniu1n21（6-32）sinu2n21为第二种介质对于第一种介质的相对折射率。波的衍射当波在传播过程中遇到障碍物时，其传播方向发生改变 ,能绕过障碍物的边缘继续前进的现象称为波的衍射。这是波动的又一基本特征。 图6-19是水波通过屏障小孔的衍射图样。波的叠加原理波的叠加原理 包含两个内容，一是波传播的独立性 ，二是波的可叠加性 ，具体来说：（1）几列波相遇以后，仍然保持它们各自原有的特性（频率、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样。 （2）在相遇区域内任一质点的振动位移，等于各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和。 在我们的日常生活中经常可以看到波动遵从叠加原理的例子。 当水面上出现几个水面波时， 我们可以看到它们总是互不干扰地互相贯穿， 然后继续按照各自原先的方式传播； 我们能分辨包含在嘈杂声中的熟人的声音；收音机的天线通常有许多频率不同的讯号同时通过， 它们在天线上产生了复杂的电流，然而我们可以接收到其中任意一频率的讯号， 并与其他频率的讯号不存在时的情形大体相同。也正是由于波动遵从叠加原理， 我们可以根据傅里叶分析把一列复杂的周期波表示为若干个简谐波的合成。 波的干涉一般地说，频率、振幅、相位和振动方向都不相同的n列波在某一点叠加时，情形是很复杂的。但满足下述条件的两列波在介质中相遇，则可形成一种稳定的叠加图样，即出现所谓的干涉现象。两列波若频率相同、振动方向相同、在相遇点的位相相同或位相差恒定，则在合成波场中会出现某些点的振动始终加强，另一些点的振动始终减弱(或完全抵消)，这种现象称为波的干涉。满足上述条件的波源，称为相干波源，由相干波源发出的波，称为相干波。两列波产生干涉的条件称为相干条件。显然波的相干条件是：频率相同、振动方向相同、在相遇点的位相相同或位相差恒定。设S1和S2为两相干波源，它们的简谐振动方程分别为y10Acost10S1r1P10y20A20cost20r2S2图6-20 两相干波源发出的波在空间相遇式中， 为两波源的角频率 , A10、A20分别为两波源的振幅 ,10、 20分别为两波源的振动初位相。设由这两波源发出的两列波在同一理想介质中分别经过 r1、r2的距离在空间某一点 P相遇，如图6-20所示,则这两列波在点 P的振动表达式为y1 A1cos ty2 A2cos t

2πr1012πr220根据波的叠加原理和两同方向同频率简谐振动的合成结论 ,P点的合振动也是简谐振动，合振动方程为yy1y2Acos(t0)（6-33）P点合振动的振幅A和初相位0分别由下面两式给出AA2A22AAcos（6-34）1212tanA1sin(102πr1)A2sin(202πr2)02πr1)（6-35）A1cos(10A2cos(202πr2)由于波的强度正比于振幅的平方，若以I1,I2和I分别表示两个分振动和合振动的强度，则式（6-34）可写成II1I22I1I2cos（6-36）式(6-34)中 为两相干波在 P点相位差，为20 10 2πr2 r1 （6-37）2010是两个相干波源的相位差,为一个常量；(r2r1)是两个相干波源发出的两列波传到点P的几何路程之差,称为波程差,2πr2r1是两列波之间因波程差而产生的相位差，对于空间任一给定点 P它也是常量；对于叠加区域内任一确定的点来说 , 为一个常量,因此合振幅或强度 I也是常量。但对于空间不同的点， 由于(r2 r1)的值一般不同,两列波将有不同的相位差,合振幅或强度也不同。所以，在两列相干波相遇的区域会呈现出振幅或强度分布不均匀、而又相对稳定的干涉图样，具体讨论如下：对于满足20 10 2πr2 r1 2kπ(k 0,1,2, ) （6-38）的空间各点，合振幅最大，AA1A2,称为干涉相长。强度II1I22I1I2Imax对于在满足20102πr2r1(2k1)π(k0,1,2,)（6-39）的空间各点，合振幅最小，AA1A2,称为干涉相消。强度II1I22I1I2Imin当相位差为其它值时，合振幅介于A1A2与A1A2之间。若两相干波源具有相同的初相位，即2010，两个相干波在P点引起的两个振动的相位差只决定于两个波源到P点的距离差(r2r1)，这时，r2r1k(k0,1,2,)干涉相长（6-40）r2r12k1(k0,1,2,)干涉相消（6-41）2以上两式表明，当两个相干波源同位相时，在两列波的叠加区域内，波程差δ等于零或半波长偶数倍的各点，振幅和强度最大；波程差δ等于半波长奇数倍的各点，振幅和强度最小。两列不满足相干条件的波相遇叠加称为波的非相干叠加。II1I2问题6-8 如图6-21所示，S1、S2是相干波源，实线表示波峰，虚线表示波谷，则a、b、c三点的振动情况的下列判ca断中，正确的是（）b（A）b处振动永远互相减弱。S2S1图6-21问题6-8图B）a处永远是波峰与波峰相遇。C）b处此刻是波谷与波谷相遇。D）c处振动永远互相加强。例6-7位于、B两点的两个波源，振幅相等为A且不因沿连线传播而变，频率都是100Hz，相位AAB差为π，若A、B相距30m，波速为400m/s，求（1）A、B外侧合成波的振幅；（2）A、B连线之间因干涉而静止的各点的位置。u4m，如图6-22所示，取A点为坐标原点，A、B联线为X轴，A0π,B00,任意点解P的坐标为x。xxxxx(a)P点在B点右侧 (b)P点在A点左侧 (c)P点在A、B之间图6-22例6-7解用图（1）①P点在B点右侧（图6-22(a)），rBx30,rAxB0-A0-2πrB-rA0-π-2πx-30-x14π4干涉相长，合成振幅为2。A②P点在A点左侧，（图6-22(b)），rBx30,rAxB0-A0-2πrB-rA0-π-2π30x-x-16π4干涉相长，合成振幅为2A。(2)P点在A、B之间，（图6-22(c)），rB30x,rAx,干涉相消时B0-A0-2πrB-rA0-π-2π30-x-x(2k1)π4x16(2k1),k可以取7,6,5,4,3,2,1,0得x1m,3m,5m,7m,9m,,29m，计15点。例6-8如图6-23所示是声波干涉仪.声波从入口E处进入仪器，分，两路在管中传播，然后到喇BC叭口A会合后传出.弯管C可以伸缩，当它渐渐伸长时，喇叭口发出的声音周期性增强或减弱.设C管每伸长，由A发出的声音就减弱一次，求此声波的频率(空气中声速为340)。8cmm/s图6-23 例6-8图解：声波从入口 E进入仪器后分 B，C两路传播，在喇叭口 A处产生相干叠加，干涉减弱的条件是DCA DBA 2k 1 k 0,1,2......2当C管伸长x＝8cm时，再一次出现干涉减弱，即此时两路波的波程差应满足条件'2x2k112'2xu u 3402125Hz2x 2 0.086.5驻波振幅、频率、传播速度都相同的两列相干波， 在同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象。6.5.1驻波方程设有两列振幅相同的两列相干波沿Ox轴正、负方向传播，取两波重合的某一时刻为计时零点,任一波峰处为原点,即在t0时,两列波引起的位于原点的质点的位移均处于正的最大值,10200(图6-24),则两列波的表达式分别为y1Acos2πtxAcos2πxy2t其合成波为yy1y22Acos2πxcos2πvt（6-42）式(6-42)即驻波表达式，cos2πvt表示简谐振动，2Acos2πx就是这简谐振动的振幅，它只与x有关，即各点的振幅随着其坐标 x的不同而异。即形成驻波时，各点作振2πx幅为2Acos 、频率皆为 的简谐振动。 驻波的特点1波幅与波节 驻波振幅分布特点由图6-24可以看出，波线上有些点始终静止不动,叫做波节，如图6-24中由N表示的各点；而有些点的振幅始终具有极大值，叫做波腹，如图6-24中由L表示的各点。由式（6-42）可知，对应于使cos2πx0，即2πx2k1π(k0,1,2,)来决2定波节的位置。因此有波节点坐标xk2k1(k0,1,2,)（6-43）4相邻波节距离xk1xk2k112k12442π同理，对应于使cosx1的那些点,振幅最大,等于2A,这些点振动最强,即2πx(k0,1,2,)来决定波腹的位置。因此有波腹点坐标kπxkk(k0,1,2,)（6-44）2相邻波腹距离也是 。2yyyyy弦线上其余各点的振幅随坐标位置按的规律变化。驻波相位的分布特点

图6-24驻波2πx2Acos图6-25 弦线上的驻波由式(6-42)可知,驻波中各点的相位与2πx2πx0的各点,y2Acos2πxcos的正负有关,凡是coscos2πvt，振动相位均为2πvt,2π0的各点,y2Acos2πxcos2πvtπ，振动位相均为凡是cosx2πvt π。由余弦函数的性质可知，驻波中同一 分段（把两个相邻波节之间的所有各点，叫做一分段）内，cos2πx具有相同的符号，因此这些点具有相同的振动相位。在波节两边，cos2πx符号相反，其振动相位相反。因此，驻波作分段振动，各分段作为一个整体，一齐同步振动。在每一时刻，驻波都有一定的波形，但此波形既不左移，也不右移，各点以确定的振幅在各自的平衡位置附近振动，因此叫做 驻波。图6-25是观察驻波的实验。将弦线的一端系于电动音叉的一臂上，弦线的另一端系一砝码，砝码通过定滑轮

P对弦线提供一定的张力，刀口

B的位置可以调节。当音叉振动时，在弦线上激发了自左向右传播的波，此波传播到固定点

B时被反射，因而在弦线上又出现了一列自右向左传播的反射波。 这两列波是相干波， 必定发生干涉，于是在弦线上就形成了一种波形不随时间变化的波，这就是驻波。当驻波出现时，弦线上有些点始终静止不动，这些点称为波节；有些点的振幅始终最大，这些点称为 波腹。这与上面的分析是完全一致的。*3驻波的能量从图6-25可知,当弦线上各质点到达各自的最大位移时，振动速度都为零，因而动能都为零。但此时弦线各段都有了不同程度的形变，且越靠近波节处的形变越大，因此，这时驻波的能量具有势能的形式，基本上集中于波节附近。当弦线上各质点同时回到平衡位置时，弦线的形变完全消失，腹处质点的速度最大，

势能为零，但此时各质点的振动速度了达到各自的最大值，且处于波所以此时驻波的能量具有动能的形式，基本上集中于波腹附近。至于其它时刻，则动能与势能同时存在。可见， 在弦线上形成驻波时，动能和势能不断相互转换，形成了能量交替地由波腹附近转向波节附近，再由波节附近转向波腹附近的情形。这说明驻波的能量并没有作定向的传播。换言之，驻波不传播能量。这是驻波与行波的又一重要区别。 半波损失在音叉实验中，波是在固定点 B处反射的, 在反射处形成波节。 说明入射波与反射波相位相反，反射波在该处相位突变ππ所以这种入射。由于的相跃变相当于波程差半个波长，波在反射时发生反相的现象也常称为半波损失。如果波是在自由端反射，则没有相跃变，反射处为波腹。一般情况下，入射波在两种介质分界面处反射时是否发生半波损失， 与波的种类、两种介质的性质以及入射角的大小有关。 在垂直入射时，它由介质的密度和波速的乘积 u决定。相对来讲， u较小的介质称为 波疏介质， u较大的介质称为 波密介质。当波从波疏介质垂直入射到波密介质上反射时，x波从y0.2cos200tSI200波密介质垂直入射到到波疏介质反射时，没有半波损失，界面处出现波腹。例6-9如图6-26所示，沿x轴正向传播的平面简谐波方程为，，两种介质的分界面P与坐标原点O相距d＝6.0，入射波在界面上反射后振幅无变化，且反射处为固定端.求：m反射波方程；(2)驻波方程；(3)在O与P间各个波节和波腹点的坐标。解(1)由波动方程可知，入射波的振幅A＝0.2，m角频率ω＝200π，波速u＝200/，故波长λ＝u/＝2.msm由题意知，反射波的振幅、频率和波速均与入射波相同。入射波在两介质分界面P点处的振动方程为图26例6-9图6图-y入yxd0.2cos200t60.2cos200t60.2cos200t200因为反射点是固定端，所以反射波在 P点处的振动位相与入射波在该点的振动位相相反，故有y反 0.2cos200t反射波以速度 u＝200m/s向x轴负向传播，在 P点处的振动方程已经由上式给出，所以反射波方程为y0.2cos200t6x0.2cos200tx5200200x0.2cos200 t200驻波方程为：x xy 0.2cos200 t 0.2cos200 t200 2000.2cos200tx0.2cos200t+x2002000.4sin xsin200 tx 2k(3)由2(k＝0,1,2,3，⋯，6)得波节点的坐标为x＝0,1,2,3,4,5,6.x2k1由(k2＝0,1,2⋯，5)x1,3,5,7,9,11.得波腹点坐标为222222 简正模式（自本征振动）从驻波的特征不难推论 , 不是任意波长的波都能在一定线度的介质中形成驻波 .对于两端固定的弦线，形成驻波时 ,弦线两段为波节 ,只有当弦长 l等于半波长整数倍时才有可能 ,即lnn(n1,2,3,)(6-45)2或弦线驻波的频率应满足关系unu(n1,2,3,)（u为波速）(6-46)vn2ln上式中的频率叫做弦振动的本征频率,每一频率对应一种可能的振动方式。频率由式（6-46）决定的振动方图6-27弦线振动的简正模式式,称为弦线振动的简正模式,其中最低频率1称为基频,其它较高频率2、3都是基频的整数倍,它们各自以对基频的倍数而称为二次、三次、⋯谐频。图6-27画出了频率为1、2、3的三种简正模式。6.6多普勒效应 * 冲击波因波源或观测者相对于介质的运动， 而使观测者测得的波的频率有所变化的现象称为 多普勒效应。下面来分析这一现象。 机械波的多普勒效应为简单起见，讨论观察者、波源共线运动的情况。波源S相对于介质的速度为s，接收器（观察者）R相对于介质的速度为R,u为波在介质中传播速度。波源的频率、接收器接收到的频率和波的频率分别用S、R和表示。在此处，三者的意义应分清：S是波源在单位时间内振动的次数，或在单位时间内发出的“完整波”的个数；R是接收器在单位时间内接收到的振动次数或完整波数； 是介质质元在单位时间内振动的次数或单位时间内通过介质中某点的完整波的个数， u 。这三个频率可能互不相同。分几种情况讨论。1相对于介质波源不动，接收器以速度 R运动因为波源发出的波以速度 u向着接收器传播，同时接收器以速度 R向着静止的波源运动，所以在单位时间内接收器接收到的完整波的数目等于分布在u R距离内完整波的数目（见图 6-28），即uRuRuRvRuuv图6-28多普勒效应此式中的v是波的频率。由于波源在介质中静止，所以波的频率就等于波源的频率，因此有(s0,R0)vRuRvS（6-47）u这表明，当接收器向着静止波源运动时，接收到的频率为波源频率的1R/u倍。当接收器离开波源运动时，通过类似的分析，可求得接收器接收到的频率为vRuRvS（6-48）u即此时接收到的频率低于波源的频率。2相对于介质接收器不动，波源以速度 S运动波源运动时，波的频率不再等于波源的频率。这是由于当波源运动时，它所发生的相邻的两个同相振动状态是在不同地点发出的， 这两个地点相隔的距离为 STS,TS为波源的周期。如果波源是向着接收器运动的， 这后一地点到前方最近的同相点之间的距离是现在介质中的波长。若波源静止时介质中的波长为 0 0 uTS，则现在介质中的波长 为（图6-29）。0STS(uuSS)TSS现时波的频率为uuvvSuS由于接收器静止，所以它接收到的频率就是波的频率，即vRu（6-49）vSuS此时接收器收到的频率大于波源的频率。S图6-29 多普勒效应(s 0,R 0)当波源远离接收器运动时，通过类似的分析，可得接收器接收到的频率为vRu（6-50）vSuS这时接收器接收到的频率小于波源的频率。相对于介质波源和接收器同时运动综合以上两种分析，可得当波源和接收器同时相对介质运动时，接收器接收到的频率为vR u RvS （6-51）u S上式中,接收器向着波源运动时 , R前取正号,远离时取负号;波源向着接收器运动时 , S前取负号,远离时取正号。最后指出，即使波源和接收器并非沿着它们的连线运动， 以上所得各式仍可适用， 只是其中 S和R应作为运动速度沿连线方向的分量就行了， 而垂直于连线方向的分量是不会产生多普勒效应的。电磁波的多普勒效应电磁波（如光）也有多普勒现象。和机械波不同的是，电磁波的传播不需要介质，因此只是光源和接收器的相对速度 决定接收的频率。 可以用相对论证明， 当光源和接收器在同一直线上运动时，如果二者相互接近，则vR1/cvS（6-52）1/c如果二者相互远离，则1/cvR1/cvS（6-53）由此可知，当光源远离接收器运动时，接收到的频率变小，因而波长变长，这种现象叫做“红移”,即移向光谱中的红色一侧。天文学家就是将来自星球的光谱与地球上相同元素的光谱进行比较，发现星球光谱几乎都发生了红移， 这说明星球都在远离地球而运动， 这一结果已成为所谓“大爆炸”的宇宙学理论的重要依据之一。* 冲击波上面讲过，当波源向着接收器运动时， 接收器接收到的频率比波源的频率大， 它的值由式（6-46）给出。但这一公式当波源的速度S超过波速时将失去意义，因为这时在任一时刻波源本身将超过它此前发出的波的波前，在波源前方不可能有任何波动产生。这种情况如图6-30所示。当波源经过S位置时发出的波在其1后时刻的波阵面为半径等于u的球面，但此时刻波源已前进了S的距离到达S位置。在整个时间内，波源发出的波到达的前沿形成了一个圆锥面，这图6-30冲击波个圆锥面叫马赫锥，其半顶角由下式决定：u（6-54）si