简单曲线极坐标方程

简单曲线极坐标方程

一般地,在极坐标系中,如果平面曲线C

上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ,θ)=0,引入概念

一般地,在极坐标系中,如果平面曲线C

上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ,θ)=0,并且坐标适合方程f(ρ,θ)=0

的点都在曲线C上,那么方程f(ρ,θ)=0

叫做曲线

C的极坐标方程.引入概念圆的极坐标方程

1.在极坐标系中,半径为a

的圆的圆心坐标为C(a,0)(a>0),

求圆C

的极坐标方程C(a,0)M(ρ,θ)OρθxA探究新知

解:如图,圆C经过极点O.C(a,0)M(ρ,θ)OρθxA探究新知

解:如图,圆C经过极点O.设圆与极轴的另一个交点为A,则有|OA|=2a.C(a,0)M(ρ,θ)OρθxA探究新知

解:如图,圆C经过极点O.设圆与极轴的另一个交点为A,则有|OA|=2a.设M(ρ,θ)为圆上除点O,A以外的任意一点,C(a,0)M(ρ,θ)OρθxA探究新知

解:如图,圆C经过极点O.设圆与极轴的另一个交点为A,则有|OA|=2a.设M(ρ,θ)为圆上除点O,A以外的任意一点,则OM⊥AM.C(a,0)M(ρ,θ)OρθxA探究新知

解:如图,圆C经过极点O.设圆与极轴的另一个交点为A,则有|OA|=2a.设M(ρ,θ)为圆上除点O,A以外的任意一点,则OM⊥AM.在Rt△AMO中,即

C(a,0)M(ρ,θ)OρθxA探究新知经验证,点的坐标满足上式.故所求的方程为说明下列极坐标方程表示什么曲线,并画图.探究新知说明下列极坐标方程表示什么曲线,并画图.试一试方法与规律求曲线的极坐标方程的基本步骤:求曲线的极坐标方程的基本步骤:

建立适当的极坐标;方法与规律求曲线的极坐标方程的基本步骤:

建立适当的极坐标;(2)在曲线上任取一点P(ρ,θ);方法与规律求曲线的极坐标方程的基本步骤:

建立适当的极坐标;(2)在曲线上任取一点P(ρ,θ);(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式;方法与规律求曲线的极坐标方程的基本步骤:

建立适当的极坐标;(2)在曲线上任取一点P(ρ,θ);(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式;(4)用极坐标ρ,θ表示上述等式,并化简得极坐标方程;方法与规律求曲线的极坐标方程的基本步骤:

建立适当的极坐标;(2)在曲线上任取一点P(ρ,θ);(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式;(4)用极坐标ρ,θ表示上述等式,并化简得极坐标方程;(5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程.方法与规律探究新知三、直线的极坐标方程

练习求过点A(a,0)(a>0),

且垂直于极轴的直线l

的极坐标方程.探究新知

例如图,求经过点A(3,0),

且与极轴垂直的直线l

的极坐标方程.A(3,0)xPθρO探究新知

例如图,求经过点A(3,0),

且与极轴垂直的直线l

的极坐标方程.解:设P(ρ,θ)是直线上除点A的任意一点.A(3,0)xPθρO探究新知

例如图,求经过点A(3,0),

且与极轴垂直的直线l

的极坐标方程.解:设P(ρ,θ)是直线上除点A的任意一点.在△POA中,所以,A(3,0)xPθρO探究新知

例如图,求经过点A(3,0),

且与极轴垂直的直线l

的极坐标方程.解:设P(ρ,θ)是直线上除点A的任意一点.在△POA中,所以,A(3,0)xPθρO经验证,点A(3,0)

也满足上述方程.探究新知

例如图,求经过点A(3,0),

且与极轴垂直的直线l

的极坐标方程.解:设P(ρ,θ)是直线上除点A的任意一点.在△POA中,所以,故所求直线的极坐标方程为A(3,0)xPθρO经验证,点A(3,0)

也满足上述方程.探究新知三、直线的极坐标方程探究新知三、直线的极坐标方程

若直线l

经过点P(ρ1,θ1),

且极轴到此直线的角为α,求直线l

的极坐标方程.探究新知三、直线的极坐标方程

若直线l

经过点P(ρ1,θ1),

且极轴到此直线的角为α,求直线l

的极坐标方程.

解:如图,设M(ρ,θ)为直线l

上除点P外的任意一点,探究新知三、直线的极坐标方程

若直线l

经过点P(ρ1,θ1),

且极轴到此直线的角为α,求直线l

的极坐标方程.

解:如图,设M(ρ,θ)为直线l

上除点P外的任意一点,连接OM,则|OM|=ρ,∠xOP=θ.OAPMxl探究新知三、直线的极坐标方程

若直线l

经过点P(ρ1,θ1),

且极轴到此直线的角为α,求直线l

的极坐标方程.

解:如图,设M(ρ,θ)为直线l

上除点P外的任意一点,连接OM,则|OM|=ρ,∠xOP=θ.由点P的极坐标为(ρ1,θ1)知OAPMxl探究新知

设直线

l

与极轴交于点A,已知直线l与极轴成α,所以∠xAM=α.OAxl探究新知

设直线

l

与极轴交于点A,已知直线l与极轴成α,所以∠xAM=α.则△MOP中,由正弦定理,得

OAPMxl探究新知

设直线

l

与极轴交于点A,已知直线l与极轴成α,所以∠xAM=α.则△MOP中,由正弦定理,得

OAPMxl探究新知

设直线

l

与极轴交于点A,已知直线l与极轴成α,所以∠xAM=α.则△MOP中,由正弦定理,得

即

OAPMxl探究新知

设直线

l

与极轴交于点A,已知直线l与极轴成α,所以∠xAM=α.则△MOP中,由正弦定理,得

即

显然,点P(ρ1,θ1)的坐标也满足上述方程.OAPMxl探究新知

设直线

l

与极轴交于点A,已知直线l与极轴成α,所以∠xAM=α.则△MOP中,由正弦定理,得

即

显然,点P(ρ1,θ1)的坐标也满足上述方程.故所求直线l的极坐标方程是OAPMxl练习按下列条件写出极坐标方程:

经过点,且平行于极轴的直线;练习按下列条件写出极坐标方程:

经过点,且平行于极轴的直线;(2)经过点C(4,0),且倾斜角为的直线;练习按下列条件写出极坐标方程:

经过点,且平行于极轴的直线;(2)经过点C(4,0),且倾斜角为的直线;(3)以为圆心,且过极点的圆;规律与方法规律与方法求直线的极坐标方程步骤求直线的极坐标方程步骤1、根据题意画出草图；规律与方法求直线的极坐标方程步骤1、根据题意画出草图；2、设点是直线上任意一点；规律与方法求直线的极坐标方程步骤1、根据题意画出草图；2、设点是直线上任意一点；3、连接MO；规律与方法求直线的极坐标方程步骤1、根据题意画出草图；2、设点是直线上任意一点；3、连接MO；4、根据几何条件建立关于的方程，并