三阶行列式n阶行列式内

三阶行列式n阶行列式内

线性代数出现于十七世纪,主要理论成熟于十九世纪.

随着科学技术的发展，特别是电子计算机使用的日益普遍，作为重要的数学工具之一，线性代数的应用已经深入应用到自然科学、社会科学、工程技术、经济、管理等各个领域。第一章行列式(6个学时)第一节二阶、三阶行列式第五节克莱姆法则第三节行列式的性质第二节n阶行列式第四节行列式按行(列)展开用消元法解二元线性方程组一、二阶行列式的引入（一）二阶行列式方程组的解为方程组的解为由以下方程组的系数确定.我们用记号来表示代数和即：主对角线副对角线例1.（一）二阶行列式对角线法则以上的行列式的计算方法常称为：行标（二）三阶行列式定义记（5）式称为数表（4）所确定的三阶行列式.列标行标对角线法则注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．说明1对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．四阶及四阶以上的行列式不能用对角线法则!或者：对角线法则注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．说明1对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．四阶及四阶以上的行列式不能用对角线法则!把第一，二两列抄在行列式右边+++---三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积.

其中三项为正,三项为负.三阶行列式的特点:例1

解按对角线法则，有例3解：的充分必要条件是什么？当且仅当第一章行列式第一节二阶、三阶行列式第五节克莱姆法则第三节行列式的性质第二节n阶行列式第四节行列式按行(列)展开(一)排列与逆序第二节n阶行列式由n个不同的数码1,2,…n组成的有序数组,称为一个n级排列。例：12345及其34215是五级排列，1194、4567不是四级排列。例如排列32514中，

我们规定各元素之间有一个标准次序,n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.排列的逆序数32514逆序逆序逆序----------此排列中所有逆序的总数排列的逆序数排列中此元素前面比它大的数码个数之和排列中某元素的逆序数---------

在一个排列中，若数

(前面的大于后面的)则称这两个数组成一个逆序.逆序-------------此排列中所有逆序的总数排列的逆序数排列中此元素前面比它大的数码个数之和排列中某元素的逆序数---(2)求每个元素的逆序数之总和求排列的逆序数的方法例1

求排列42315的逆序数解42315于是排列42315的逆序数(记为N(42315))为(1)求排列中每个元素的逆序数

在一个排列中，若数

(前面的大于后面的)则称这两个数组成一个逆序.逆序---例2:求排列32514的逆序数.32514故此排列的逆序数(记为N(32514))为:N(32514)=3+1+0+1+0=5.解:(2)求每个元素的逆序数之总和求排列的逆序数的方法(1)求排列中每个元素的逆序数例3

计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.解此排列为偶排列.逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.排列的奇偶性解当时当时故为偶排列故为奇排列.对换换,称为此n级排列的一个对换.对调,其它数码不变,仅将它的两个数码得到另一个排列这样的变在一个排列中,如果例如:（1）相邻对换：设原排列为：A,B表示除证明：两个数码以外的其他数码，正序→反序反序→正序故新旧排列的奇偶性相反。定理1.1

任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。但是，一般对换通常可以多次的相邻对换得到（2）一般对换：设原排列为：（此步经过了s+1次相邻对换）再作相邻变换：（这一步经过了s次相邻对换）即新排列可由原排列经过2s+1次的相邻对换得到。由（1）知经一次相邻对换排列奇偶性改变，故经过2s+1次相邻对换，新排列与原排列的奇偶性相反。定理1.2

n级排列共有n!个，其中奇偶排列各占一半。例:对于3级排列,因3级排列的总数共有所有的3级排列如下:123231312321213132N(123)=0偶排列N(231)=2偶排列N(312)=1+1=2偶排列N(321)=2+1=3奇排列N(213)=1奇排列N(132)=1奇排列☆奇偶排列经过一次对换所得的排列是原来的所有排列中的一个,并没有产生新的(即是覆盖不是插入)设其中奇排列为p个，偶排列为q个。因n级排列的总数共有设想将所有的奇排列都施以同一种对换，则p个奇排列全部变成偶排列，同理将所有的偶排列都施以同一种对换，则q个偶排列全部变成奇排列，故有：定理1.2

n级排列共有n!个，其中奇偶排列各占一半。证明：得到p个偶排列(在原来q个偶排列中)得到q个奇排列(在原来p个奇排列中)(二)n

阶行列式的定义观察二阶行列式和三阶行列式:三阶行列式二阶行列式一、概念的引入乘积的代数和,两个元素的乘积可表示为:得到二阶行列式的所有项(不包括符号),共为2!=2项.(1)二阶行列式表示所有位于不同行不同列的二个元素为2级排列,当取遍了2级排列(12,21)时,即(2)每一项的符号是:当这一项中元素的行标按自然数顺序排列后,则此项取正号,+-如果对应的列标构成的排列是偶排列是奇排列则此项取负号.即:元素乘积的代数和,三个元素的乘积可表示为:312,321,213,132)时,得到三阶行列式的所有项(不(1)三阶行列式表示所有位于不同行不同列的三个为3级排列,当取遍了3级排列(123,231,(2)每一项的符号是:当这一项中元素的行标按自然数顺序排列后,如果对应的列标构成的排列是偶排列则此项取正号,是奇排列则此项取负号.包括符号),共为3!=6项.例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列奇排列(2)每一项的符号是:当这一项中元素的行标按自然数顺序排列后,如果对应的列标构成的排列是偶排列则此项取正号,是奇排列则此项取负号.二、n

阶行列式的定义定义称为n阶行列式．乘积的代数和,n个元素的乘积可表示为:时,即得到n阶行列式的所有项(不包括符号),共为n!项.(1)n阶行列式表示所有位于不同行不同列的n个元素为n级排列,当取遍了n级排列(2)每一项的符号是:当这一项中元素的行标按自然数顺序排列后,如果对应的列标构成的排列是偶排列则此项取正号,是奇排列则此项取负号.即:行列式常简记为:说明1、行列式是一种特定的算式.2、n

阶行列式是n!项的代数和;3、n阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n个元素的乘积，每行每列必有且只有一个元素在此项中。4、一阶行列式不要与绝对值记号相混淆;5、的符号为例1

计算对角行列式分析展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有解不为零的项中必有：1例1

计算对角行列式分析所以不为零的项只有解1其不为零的项必具有n个不为零的元素。这n个不为零的元素来自不同行不同列，每行（列）一个第一行只可能取第二行只可能取第n行只可能取…………没有n个不为零的元素，D=0分析所以不为零的项只有解1其不为零的项必具有n个不为零的元素。这n个不为零的元素来自不同行不同列，每行（列）一个第一列只可能取第二列只可能取第n列只可能取…………例2

计算上三角行列式没有n个不为零的元素，D=0例2

计算上三角行列式分析展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有解不为零的项中必有：例3解:可以计算出上三角行列式下三角行列式和对角行列式一样.★都是主对角线上元素之积.例4计算行列式分析展开式中项的一般形式是从而这个项为零，所以行列式不为零的项中只能等于4,同理可得解：从而这个项为零，所以只能等于3,即行列式中不为零的项为例4计算行列式分析解：所以不为零的项只有其不为零的项必具有n个不为零的元素。这n个不为零的元素来自不同行不同列，每行（列）一个第一行只可能取第二行只可能取第四行只可能取第三行只可能取证明:证毕例4证明行列式定理1.3证:相应的,行列标排列的逆序数奇偶性同时发生变化因此(◆)项的符号不改变.设经过了有限次交换(◆)元元素的位置,(◆)变为:(◆)例如:四阶行列式中:即:两项是一致的,可使用在行标没排序的情况下行标自然数序行标乱序定理1.3(◆)定理1.3证:相应的,行列标排列的逆序数奇偶性同时发生变化。因此(◆)项在其元素任意变换次序时符号不改变.设经过了有限次交换(◆)元素的位置：(◆)变为:(◆)带动着行标排列与列标排列同时进行一次对换。书P10例3:是五阶行列式的一项,则应为何值?此时该项的符号是多少?解:由行列式的定义,每一项的元素都来自于不同行不同列,故有j=3,i,k一个为1,另一个为5.(