求递推数列的通项公式的十一种方法(包含特征根和不动点)

99n3nn23243nn1n22nn22nn12n33求递推列的通公式的种方法99n3nn23243nn1n22nn22nn12n33

134b121

1，公比为.故3利用递推数列求通项公式论上和实践中均有较高的价值.自二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高

b

11n()33

n

.故

1a)nn

n

.由数学联赛的热点之.

逐差法可得：

a

n

311()2

n

.一作求法

例4已数{

n

}，其中

aa22

，且当n≥3时，例1在数列}中，n

a,

n

an

1n(n

，求

nn

nn

nn

，求通项公式得：()annn

n

。解)n

由，令通项公式a.n

n

an

n

，则上式为

n

n

，此{b}n

是一个解：原递推式可：

a

11an

则

等差数列，

ba2

，公差为1.故

n

.。1a,a111aa…，a34n1得：.故4.n

逐项相加

由12n3nn又b11所以an(，a(n22

于n二作求法例2设数列{}是首项为1的项数列，且n(（n=1,2,3…它通项nnnn公式是=▁▁▁（2000高考15题）n解：原递推式可化为：

四积相法例年国数学联赛题一试第五题正数列，0，…，，…满足aaa=nnn(2)且求{}通项公式0[(n

n

na](an

n

)n

=0∵

n

n

＞

解

将递推式两边同

aa

整理得：0，

anann

anaann

则

a1aa3an2,,,……，na2a3412n

aa设=，baa0

=1，

nn

，故有逐项相乘得：

a1n，即a=.ann1

bb⑴1…………

b3

⑵nn

()三换法

由⑴

n

+⑵

n

+…+(

)

2

0

得例3已知数{

n

}，其中

4a,a3

139

，且当≥

n

=

2n

，

即1时，()nn考文科第八题改编.

，求通项公式

n

（1986年

aa

=

2

n

.解：设

n

n

n

，原递推式可化为：

逐项相乘得：

n

=

(2

2

2

2

n

2

，考b

n

1b,{b}n

是

一

个

等

比

数

列，

虑到

0

，

nnnn22nnnnnnn22nnn故

(2

2

八待系法待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变(n0)(

.

成为何种等比数列，可以少走弯其变换的基本形式如下1AaB（为数可化为annn（

n

）的形.五取数

例9若列

n

}中a

=1，

n

是数列

n

}的前

项之例6已知数列{a}中其中a，当n≥时，n1aan，通项公式。2na1解将an两取倒数得：2aannn11说明{}一等差数列，首项是，差为，所以aan1

和3Sn解递推式n（）设（1）式（）

（{}的通项公式是.n1n可形为3SSnn1可化为Sn1an

n，即n

12

.

S

比较（1）式与（2）得，则有113(数{}是为SSnn六取数

项，3为公比的等比数列。

1Sn

=

。所以例7若数列

n

}中，a

=3且

n

n

（是整数

n

3

n

1

。则它的通项公式是a=▁▁▁2002年上高考题）.n解由题意知a＞0，将a两边取对得nn

当n1n3

2

。

，a

lgann

，即

nn

2

，所以数列

{la}n

是以

数列{

n

}的通项公式是n

2n

lga

=

lg3

为首项，公比2的等比数列，

((

。lgalga1

，即

a

.七平（方法

2、

n

AaBn

n

（、、为常数，下同）型，例8若数列}中，=2an求它的通项公式是a.n解将两平方整理得n

（22n

可化为）的式n例10在数列a}中aan1nn通项公式。n解：原递推式可化为：

n

求列{

2n

}是以

21

=4为首项，3为公差的等差数列。

n

n

①2a2nn1。n

。因为a＞0，所以n

n

比较系数得=-4，①式即是：2(a.n则数列{}是个等比列，其首项n1

，公比是2.

1n22nnnn1n22nnnn∴

n

n

n

例13在各均为正数的数列{}n

中，

S

n

为数列

{}n

的即an3、aAn

.

n

型，

可

化

为

前n项，S=n

12

(

+

)

，求其通项公式。

n

n

A

n

)n

的形式。

求递推数列通项的特征法与不动点法例11

在数列{

n

}中，

aa2

，当

nN

，

n

n

n

①

求通项公式

n

.

一、形n

n

qa(q常数）的数n解：①式可化为：)nnn比较系数得或，妨取①可化为：

形如a,mapa常数）11n21的二阶推数列都可用特根法求通项，其特征n

n

n

a

n

a)n

方程为xp①则

{

n

a}n

是一个等比数列项

a1

（）

若①有异根

，则令1

(c

=4，公比为3.

是待定数）∴

n

a4n

n

.利用上题结果有：

若①有二重根

，则可令n

n

.

cn(待常数）24、

n

n

型，

可

化

为

再利用,m,求得c,c，进而求a．1122n①

A[an的式。1n3例12在数列{}中，，2nn

=6

例a

．n

已知,

数a

列{}满足n*，(})n求通项公式a.n

．n解①可化为：2(an2n②比系数可：

n1

2

解：其特征方程为xa，2

2

x，得x，令12=-6，式bnn{}是个等比数列，首项nn

92

，公

由

a11a21

，

得

c1c

，1比为.2

．∴即故

91b()n221a)21a).2

例．n．n

已2a

知

数

列*n

{}满足n4a}的n

)九猜法

解：其特征方程为x

2

1，解得x，令2求出

运用猜想法解题的一般步骤是利用所给的递推式a,…，然后猜想出满足递推式的一个通项公式13

n

1

n

，n

，最后用数学归纳法证明猜想是正确的。

24nnnnnnn1a1n12124nnnnnnn1a1n121由

1ac)121acc)2

，得

c1c2

，

13等比数列，n，a．33na．2

例4已知数列{a}满a2,an

2(*)，4二、形的数列DAaB对于数an，aD常数且CDx其特征方程为x，变形为DDaa若②有异根可令n（其aan中c是待定常数代入a的值可求值．1

求数{}通．nn解：特征方程为，即4x，解得x11x，令21a23aa，求，1412数列以为首项，1为公差12223的等差数列，n，513n．10n这样数n

a是首项1公比为c等a比数列于是这样可求得a．n若②有重根，则可

a

1a（其中c