整理宏观经济学的数学预备知识总结

第一章数学预备知识本章讲述若干数学预备知识，包括导数及其应用、静态优化、积分、微分方程、差分方程以及相位图分析等内容。这些预备性的数学知识对于学习高级宏观经济学是必须的，但是在微观经济学、数理经济学、时间序列分析、高等数学等课程中有详细的讨论，在这里我们只是将与我们后面的学习有关的知识要点罗列在一起并在必要时做出一定的经济解释。这里的数学知识只是与动态优化相关的部分，对于学习高级宏观经济学必须的其他数学知识并未涉及，特别是时间序列、概率论等知识。第一节导数及其应用一、导数有函数冗=f(q)，导数就是也=lim丝=limf(qi+八/一f("。dqqiAqsAqAq—8 Aq导数的经济含义是：边际量、q变动一单位时n变动的大小、q对n的变动速率。二、常用求导公式f=b为常数，d~=也=0；dxdxb为常数，d(bf(x))=bdf=bff；dxdxb为常数，也=bxb-i；dx(Inx)r=—；x(ax)'=axIna；(ex)'=ex；(f+g)'=f'+g；

(8)(fg)'=f'g+fg(9)(f)'=g(10)链式法则:y=f(x),x=g(z)dy_dydxdzdxdz【例题1-1］：求下面各题的导数。y=x3ny'=3x2y=x-3ny'=-3x-4z-3y2y-2x+5dzdzdy————•———6yx2—12y—12(2x+5)dxdydx(4)(4)deax deaxdxd(ax)d(ax) eax-adx练习：求导数练习：求导数d[ln(axd[ln(ax)]dLnx(t)] 、 dxdtd(Inx2)

dx三、二阶导数二阶导数表示边际量的变化速率，可用如下方式表示:f”(x),等,；(%dx2dxdx四、微分y-f(x),dy-fdxd(dy)-d2y-讥/八]dx-f”dxdx-f'dx2dx■导数是微商。 ••••五、偏导数y-f(x,x),f-f一-lim-+bx2)-f(军三?。-1ax'x2»0 b偏导数与经济学中的一个常见假设一一其他条件不变(ceterisparibus)假设是对应的。高阶偏导数：1(枭)=f=，fd.xdx id.xd.xij ij求偏导数与求导数的方法没有太大的差别，只是在求的时候让其他变量固定即可。Young定理：只要f..和f..存在，则f■.二f_六、齐次函数的两个性质k次齐次函数是自变量都扩大t倍，函数值扩大t的k次方倍。齐次函数有两个重要性质。第一个性质有时叫齐次性：k次齐次函数的一阶偏导数是k-1次的。f(tx.,tx tx)=tk——1,tx tx).—武)n tkf11f(tx,tx ==tk-1f(x,x x)齐次函数的第二个重要性质是欧拉定理：kf=xf+xf+xf11 22 nntkf(x,x)=f(tx,tx)*«对t求导：tk-1f(x,x)=xf(tx,tx)++xf(tx,tx)1n11 1n nn1nxnfn令t=1nkf=xfxnfn如果k=1则有：f=x/+xf。这就是分配尽定理。在宏观经济学中我•••们常常讨论CD生产函数的齐次性问题。在微观经济学中常常要讨论由齐次函数正单调变换得到的位似函数。…七、泰勒近似泰勒近似在宏观经济学中很有用，因为有些方程不能得到显示解，只有对它进行近似处理。泰勒近似的另一应用是用来直观理解优化问题。要得到优化问题的一阶条件，我们对目标函数进行一阶近似，而二阶条件可从二阶近似中得到。任意函数巾(x)可以近似被表述为x的多项式的形式：。(X)。3+9(x-x)+3(x-x)2+ +色3(x-x)nTOC\o"1-5"\h\z0! 1! 02!o n!o我们常用的有线性近似。a)0tx) 、 。(x)X 0-+ 0-(x一x)0! 1! 0和二次近似0(x),0f(x)(一帽％M、0(x)X 0-+ 0-(x一x)+ 0-(x一x)20! 1! 0 2! 01【例1-2】：将0(x)=—和y(x)=ln(1+x)分别在x=0的邻域内进行线性近1+x似。0，=—(1+x) =—1x=00(x)=0(0)+O，(0)(x—0)1'=、L=1y(x)=ln(1+0)+x=x二元函数的泰勒近似:—x*)+f(x*,x*)(x—x*)1 1 2 12 2 2f(x,x):—x*)+f(x*,x*)(x—x*)1 1 2 12 2 21「+一[f(x*,x*)(x—x*)2+2f(x*,x*)(x—x*)(x—x*)2! 11 1 2 1 1 12 12 112 2+f(x*,x*)(x—x*)2]

22 1 2 2 2第二节静态优化一、约束优化与拉格朗日乘子的解释约束优化问题为:maxF(x)s.tG(x)=cx=(x,x)一阶条件(FOC)：L=F(x)+X(c-G(x))^F-=F-入G=0TOC\o"1-5"\h\z5x x1 x11-F-=F-4G =05x x2 x22F=XGxi 〜xiF=XGx2 x2值函数:V=F(x1,x2),c=G(x)dc=Gdx+GdxdV=Fdx+Fdx=X(Gdx+Gdx)=入dcdV =人dc上面的公式可以通过包络定理更简洁地推导出。九度量的是条件变化对目标函数最优值的影响，如果F是效用，G=c是预算约束，九表示增加以单位货币时对最优效用的影响。影子价格：入还可以看成是以目标函数值度量的约束的单位支付意愿，根据微观经济学的知识可知，支付意愿即为价格，而这种价格与市场价格有别，甚至有时并没有通过市场来交易，只是反应的需求价格，因而被称为影子价格。拉格朗日乘子都可以作类似解释。二、不等式约束非负约束:maxf(x)s.tx>0nf'<0,x>0,xf'=0不等式约束：[maxf(x,x)Is.tg(x,x)>0v 1 2nL=f+X[g-z]'fi+入g1=0叩2+入g2=0入g=0,X>0,g>0三、包络定理M(a)=maxf(x,a)xdM(a)_df।da da晨=x(a)如果是约束优化问题，则右边是拉格朗日函数的偏导数:M(a)=maxf(x,a)xG(x,a)=0L=f(x,a)+XG(x,a)dM(a)_6Lda 6ax=x(a)推导入的表达式：如果问题与约束是M(a)=maxf(x)xG(x)=cL=f(x)+X[c—G(x)]dM(c)TdxT、=L+L=入dcxdcc【例2-1】max6-x2—4xs.tx>0—2x—4V0x>0x(—2x—4)=0]x>—2<x>0x(x+2)=0nx=0【例2-2】max冗=2x+xs.tx>0,x>02x+3x<121 2X1'③x2=0,1-3九<0i i1④x2>0,1-3九=0nX=—I 3①+③，①+④，②+③，②+④四种组合，首先排除②+④，因为九=1和X=1矛盾。3①+④排除，因为入=1时，L=2-2…03匹由止匕X>1,x=032由X(12-2x-3x)=0n12-2x-3x=01 2 1 2nx=6n]x1=6Ix=0l2四、静态优化的进一步解释1、从泰靳近似看静态优化F(x)=F(x)+F'_(x-x)+2F"(x-x)2+x将任意函数近似为二次函数。如果x充分靠近7，二次项支配了高阶项。二次函数最大值(极大值)的条件是二次项的系数小于0，即F〃<0是二阶充分条件。2、从套利的思想看优化过程套利就是利用价格差来获利，在市场均衡时应不会存在套利机会。我们利用一个例子来说明用套利思想解释优化条件。假定消费者在既定收入I下选择x1,x2使效用最大化。首先，消费者进行这样的套利操作：将极少的收dI从消费商品2转移到消dI-dI费商品1。x增加一，x减少一。Mudx是增加x所增加的效用。Mudx是x1 P2P 1 1 1 2 2 21 2变动带来的效用变动。

MuMu二MuMu二(1—2-)diPP12Mudx+Mudx-Mu——Mu—112211（注意，这里假定dxi变动如此之小，以至于Mu1来不及变化）如果消费者通过调整获得效用增量为正，则原消费选择不是最优的。如果初始选择是最优的，则上式不可能为正。（这就是无套利）。也—竺《0pP其次，相反的操作，即减少用于X的支出di用于多购买x2,有MuMuMuMu——1———2>0n——i———2-0PP PP12 12此为无套利条件：额外单位货币用于1和2是无差异的，或微小地改变选择不会带来好处。（熟练的人可以从无套利条件直接推导出优化问题的一阶条件）。第三节积分一、积分"(%)=f(x)nJf(x)dx=F(x)+cdx积分是微分的逆运算二、不定积分的基本法则Jxndx=—xn+1+cn+1Jexdx=ex+c,Jaxdx=ax/lna+cJd-dx=Inx+cxJf'(x)ef(x)dx=Jef(x)df(x)=ef(x)+cf(x) df(x)J----dx=J =Inf(x)+cf(x) f(x) JJ[f+g'd^x=Jfdx+Jgdx⑦积的积分代换法则：Jf(u)—dx=Jf(u)dudx⑧Jvdu=uv—Judv (分部积分)三、对定积分求导的Leibniz规则这个公式在后面将一再出现。F(a,b,c)=Jbf(c,t)dta_af.. 、.. . 二=Jbf(c,t)dt 穿过去(上、下限没有c)ac ac…af,亏二f(c，t) =f(c,b)ab t=baF@-=—f(c,a)aa若：F(c)=Jb(c)f(c,t)dta(c)TOC\o"1-5"\h\zdF .=』b(。)fc(c,t)dt+f(c,b(c))b(c)-f(c,a(c))a(c)dC a(c)【例3-1】：求积分3+1 2①Jy'x3dx=x2—+c=-弋x5+c\o"CurrentDocument"3+1 52J(2e2x+"x)dx=J2e2xdx+J"xdx^② 7x2+5 7x2+5=Je2xd(2x)+J——-——(7x2+5)=e2x+ln(7x2+5)+c7x2+5【例3-2】求对x的导数f(x)=』Xln(1+12)dtx21 1f=ln(1+(x2)2)(x2)'-ln(1+(x2)2)(x2)'=2xln(1+x4)--^=ln(1+x)2、:x第四节微分方程（组）第四节微分方程（组）宏观经济学所用到的数学知识与微观经济学有显著的区别。一般情况下，微观经济学用到优化知识即可，而宏观经济学远不止如此。微分、差分方程（组）在宏观经济学中用得远比微观中频繁。下面简单介绍相关知识。一、具有常系数和常数项的一阶线性微分方程阶：导数的最高阶数次：导数的最高次幂如果dy+u（t）y=以t），则是一阶线性的。这里没有dyy之类的项。dt dt注意：u、w是自变量t的函数，如果u、攻与t无关，则是有常数和常数项••的一阶线性微分方程。严格来讲自变量t不一定是时间，可以是任意的自变量，但是在宏观经济学中碰到的许多情况中自变量t确实是指时间。如 dy+ay=b a、b为常数dt如果b=0n—+ay=0 齐次的dt如果b中0dy+ay=b 是非齐次的dt非齐次的空+ay=b的解与齐次方程生+ay=0的解相关dt dt（一）分离变量dy——+ay=0dtd-dy=-adtnJ1dyJ-adtyynIny=-at+cny=e-atec=Ae-atA是常数，这一通解可由初始条件（如y（0）=y°）得到定解■【例4-1】与+2y=0 y（0）=10dtny=Ae-21,A=y（10）=10ny=10e-21

问题：如果a=0时，如何？ —=0ny=?dt练习：Arrow-Pratt相对风险厌恶度量：v（x）=-u"。如果是相对风险厌u（x）恶系数为常数（我们常常假定如此），求效用函数的形式。（二）、非齐次方程方程形式为：dy7—+ay=bdt非齐次方程的解由余函数y,和特别积分项y，组成。余函数y,是对应齐次方程的解，特别积分项是y，是任意的特解（即y为常数）。y为常数—=0ny=—dtPay=y=y+y=Ae-at+—cp ab、 ,b二(y(0)——)e-at+一aa把y(0)=A+b代入

a【例4-2】：解方程y(0)y(0)=10—+2y=6，dty=110—31e-21+3=7e-21+3dy—=bny=bt+cdt注意：分离变量法不但可解一阶线性方程，其它的（只要可分离变量）都可用此法【例4-3］解方程dy_x =——,dxyydy——xdx

LL一1°i…ydy--Jxdxn—y2=--x2+c2 2【例4-4］：解方程x(1+y2)dx-y(1+x2)dy=0分离变量:ydy_xdxn—ln(1+y2)=—ln(1+x2)+—Inc2 2 2nln(1+y2)-In[c(1+x2)]n1+y2=c(1+x2)二、一阶线性微分方程：可变系数和可变项一般形式:(一)先找到相应齐次方程：虫+u(t)y=0n立+y2 1+x+y2 1+x2两边对t积分：左边两边对t积分：左边=J1为」电ydt=lny+c右边=-Ju(t)dtnIny=-Ju(t)dt-cny=Ae-Judt其中，A-e-c。这就是通解。由初始条件可以得到特解，即找到A。【例4-5］解方程电+3t2y=0dty-Ae-^udt-Ae」332dt-Ae-13(二)非齐次方程:包+u(t)y-w(t)dt它的解的形式为：y(t)=e-JudtJA+JweJudtdt（这一结果可以通过添加积分因子推导得到）。【例4-6］解方程dy—+2ty=tdte-12e-kA++ekJtet2d)这里：u=21,w=tJudt=12+k

y=ee-12e-kA++ekJtet2d))-e)-et2+c=Ge-k+c)e-12+—2=Be-12+—2注意：最终结果中没有k、c，实际做的时候可省k和c。以上最后一例的结果可用添加积分因子的方法推导。如:dy如:dy7 dy—+ay-bectneat一+aydt Ldt-be(a+c)td(e^ty) nd(eaty)-be(a+c)tdtdtb左边neaty e(a+ct+ka+cbny- ect+ke-ata+b（三）恰当微分方程即方程恰当微方程即使是非线性，也可解出。恰当微分方程即全微分方程，具有如下形式：即方程Mdy+Ndx-0如果也-空，则上式是恰当微方程。可将M视为空，N视为空。atay ay at.aaf af上式：——dy+——dt=0，它是F的全微分，dF（y,t）-0nF-cay at通解为：F=fyM(y,t)dy+ftN(y,t)dt=cy0 10 0【例4-7］解方程2ytdy+y2dt=0M=2y N=y2也=2丁=竺, 所以它是恰当微分方程。这实际上是根据交叉二阶偏导数相at ay等判断恰当微分方程。通解：fy2y+dy+Jty2dt-y21+k=c k、c为常数0 0ny21=c'，其中c'为常数。如果方程不是恰当形，可试图添加积分因子，使它成恰当形。一阶一次非线性微分方程一般难以求解，但可通过分离变量，化为恰当微分方程或线性等方法求解；或将它们用泰勒定理近似成线性方程。三、二阶常系数微分方程我们只研究。1、。2是常数的情况。但是常数项可以不是常数。非常系数的情况可以用近似的方法进行处理。y"(t)+a1yr+a2y=b(t)(一)常数项bb=0时是齐次方程：y"+ay'+ay=0试：y=Aertny'=Arert,y"=Ar2er方程：Ar2ert+aArert+aAert=0nr2+ar+a=0止匕为特征方程一a±、:a2-4a匕的两根r,r= 」 2-特征根。12 2若yi=A/qt,y2=A2erj满足方程，则它的线性组合是方程的通解，y=c1yl+c2y2

①若丫丰r（实）,y①若丫丰r（实）,y=Aer1t+Aer21②若r=r2(实)，y=A]er1t+Ater,（qter"也满足方程）y=e(a-ip)t2③复根r=a±iP y=e(a-ip)t2i【例4-8]解方程y〃-2y'-3y=0r2-2r-3=0nr=-1,r=3y=Ae-1+Ae31练习：y"+y'-2y=0b丰0的常数：y〃+qy*a2y=b，它的解是y〃+qy*a2y=0（的即对应齐次方程）的解y,（即余函数）加上特别积分解y，（y，是无论y为何值时，左右两边均相等的特定的y值，即y为一个使得方程成立的常数）。如果ay0，令y=常数y常数y〃二y，bb如果a=0,令y=kt,y=0,y=k,ak=bnk=一ny=一t2 apai i【例4-9]解方程y〃+y'_2y=-10y.=Aet+Ae-21y=y=yc+yp=Aet+Ae-21+51 2如果有y(0)=12,y(0)=-2由t=0,y=12得A]+A2+5=12由t=0,y'=Aet-2Ae-21=A-2A=-2nA=4,A=3/.y=4et+3e-21+5

(二)可变项b(t):y"+ay'+ay=b(t)y二y「yp yc的求法与前面相同。yp的求法：b(t)=ekPm(t)，我们只考虑这一形式，其中Pm是t的m次多项式。试y*=Q(t)e兀 则y*'=e卜[九Q+Qr] y*"=e兀[九2Q+2九Q+Q"]代入原方程并消去e卜得Q+(2九+a1)Qr+(九2+a\+a2)Q=P(t)如果九不是r2+a1r+a2=0的根(即Q+a1k+ay0)，则我们可以令Q(t)为一个m次多项式，即：Q(t)=Q(t)=B0tm+Btm-1+B代入上式，求出B0,B1 Bny=y*=Qe卜••♦如果九是r2+air+a2=0的单根，即Q+彳九+a2=0，但2九+a中0，令Q-tQ(t)；如果九是r2+ar+a=0的重根，即九2+a九+a=0，且有2九+ai=0nQ=12Qm(t)。其他的步骤同上面的操作。【例4-10】解方程y"+5y'+3y=612一t一1九-0，m=2特征方程r2+5r+3=0,九不是它的根。y*=Q=B012+Bt+B2ny，=2B°t+B^， y"=2B0左边=2B0+5(2B01+B)+3(2B012+Bt+B2)=3Bt2+(10B+3B1)t+(2B+5B+3B)右边=612+(-1)t-1特定系数法IB0=2

n4B--7IB0=2

n4B--7B=102n{10B+3B=-1y*=y=2t2-7ta+10练习：求y: y"+3y'-4y=2e-41p(三)稳定性。一般的微分方程是难以得到显示解的，这是利用稳定性理论判断解的性质是有益的。无论是一阶还是二阶，微分方程的稳定性是指解是否足够接近某一特定的值。在宏观经济学中，最有用的是渐进稳定性，即当时间趋于无穷时，解是否趋于某一特定值。这个特定值是指均衡值，即不变的、使得所有导数都等于0的值，也就是特别积分项。稳定性又分为局部与全局稳定性。这里的基本观点是：稳定性取决于yc，当tfs时，y,f0是稳定的(即yTyj。我们在后面的相位图中可以清楚的看出稳定的情况。四、微分方程组x'=ax+by+p(t)y'=ax+by+g(t)2 2十、月士工口不 Ix'=ax+by,(1)齐次方程为：《，1 1[y=ax+by,(2)22第一种方法：迭代推导。nx"=ax'+b(ax+by)=ax'+bax+bb(--a^x-)1 1 2 2 1 12 12bb=ax'+bax+bx'-abx=(a+b)x'-(ab-ab)x1 12 2 12 1 2nx"一(a+b)x'+(ab-ab)x=012化成了二阶方程特征方程:r2-(a+b)r+(ab-ab)=0由此解出x和yIx=Aer1t+Aer21< 1 2y=Ber+Ber2t12

r-a, 2Ab2i如果p,g是非0常数，则x,y的解由等函数x（yc）和特别积分yp）组成。求的方法是x'=0,y'=0求出x,y。注意：x，=0,y，=0求出的xp,yp值我们不能判断均衡点是否稳态（steadystate），这个均衡点是否稳定（stable）由yc是否在tTs，yc-0决定。如果特征根是两根实数：①两负 稳定②一正一负 鞍点稳定③两正 不稳定对于非线性系统，如果在均衡点附近一阶导数小于0，则是稳定的（局部）。第二种理解方法：从线性代数的角度来看，我们可以如下求解：首先由系数矩阵得到行列式：aa-九a2bib-九再得到特征方程：（a1-九）（b2-九）-b1a2=0变形后的这个方程与第一种方法得到的特征方程是相同的。解出特征根九1、九2以及它们对应的特征向量匕、\。如果两个特征根不同， (x'则方程的解组为： =c"1tv+ce%tv。Iy) 1122如果是重根，则只有一个独立的特征向量v。由（A-九I）2攻=0确定另一向量w。方程组的解为:11 2=e入t(cv+cw)+te入tw。方程组的解为:11 2鞍点稳定是一种条件稳定，是指只有在由负的特征根对应的特征向量确定的方向上才是稳定的。（在数学中这没有什么意义，但是在经济学中人们的理性行为将保证初始位置处在这个方向上，即稳定臂上。正的特征根对应的特征向量为非稳定臂。）【例4-11]：用两种方法解方程组Jx，=x+4y[yy=x+y第五节 差分方程（组）一、迭代法：y^=y^1—yt （差分）（注意有的计量经济学书中定义yt=yt-ytj。方程：y=2和y=-0.1y 是差分方程ny—y=2和y-y=-0.1y 即y=0.9y以上方程是一阶线性差分方程，可以用迭代法解之。【例5-1]yt+1=yt+2ny=y+2y=y+2=y+2义2y=y+2=y+3义2y=y+2=y+2t二、一阶线性差分方程：y1+ay=c其中a,c为常数。对应齐次方程：yt+1+ay=0的解为等函数ycy=A（-a）tcc 1特解：y=Ji+aaawpct,a=-1

（和微分方程一样，特解是y为常数时的y值或是自变量的一次函数）。A(—a)t+ ,aw—1y=< 1+atA(—a)t+ct,a-—1【例5-3】yt+1—5yt=1,(y0-4)-1 7 ,.y=ASt—4,y——nA-2练习：y1-y+1,(y0-10)三、二阶常系数与常数项差分方程二阶差分2yt-(yt)-yt+1—yt二(yt+2—yt+1)—(yt+1—yj△(有时定义二次差分 2y=y-yJ二阶差分方程：△yt+2+a1yt+1+a2yt-c解的形式：yt-yc+ypET«+a2w—112⑴特解：y=1--—t,a+a-—1,andaw—2pa+2 1 2 11Q2t2,a+a-—1,anda-—2⑵余函数yc是yt+2+a1yt讨+a2yt=0的解（特征根）TOC\o"1-5"\h\zy-AbtnAbt+2+abt+1+aAbt-0nb2+ab+a-0

t 1 2 1 2（特征根）—a±aa2—4anb,b--1- 212 2①若为不等实根：y-Abt+Abtc1 2

②若为相等实根：y=Abt+A2tbt【例5-4】y+y+2y=12y=4,y=5b2+b—2=0nb=1,-2y=A11t+A2(-2)t=A]+A2(-2)ta+a=1-2=-1 7而aw-2121121+2:::y= pa+2y=A]+A2(-2)t+41A=3A=12ny=3+(-2)t+41t练习：y+6y+9y=4四、可变项要点：只影响yp。㈠cmt y+a^y+ay-cmt试：y=cmt代入，如果B=0试y=Btmt，再不行试y=Bt2mt⑵ctn 试y=B0+Bt+ Btn不行就试：y=t(B0+Bt+ Btn)【例5-5】 ……对应齐次方程：y2+5y1+2y=0b2+5b+2=0 =17bb二—^-5+v17-5—<17y:令y=B0+B1t+B2t2y—B+B(t+1)+B(t+1)2代入方程有：8B0+7B1+9B2B)+(8B1+14B2)t+8B2t2—12'B+Bt+Bt28B—1n18B+14B—08B+7B+9B—0I0 1 2B2nlB1B01873213256五、差分方程组/、［y—ay+bzt㈠<t+1 1t 1 ny-(a+b)y+(ab-ab)yt—0Iz—ay+bzt t+2 1 2t+1 12 21Lt+2 2t 2特征方程：九2-(a+b)九+(ab-ab)—0或由a-bi―0n九ab-九若九为不等实根y—A入t+A入tVt11 22z—B入t+B入tit1122B—Aj,B-』

11b2b相等实根:y―(A+At)Xtt 1 2z―(B+Bt认t

t 1 2⑵非齐项:y—ay+bzt+c

z—ay+bzt+ct+ t2 2如果a1-1 b1中0ab-1（即不是yc中的九）巾=a日+bR+c巾n〈1 11 12in〈iTOC\o"1-5"\h\z[r=aR+bR+c [r如果上面的行列式二0[y=R+Rt令Jp 11 12]z=R+Rtp 21 22同样操作可求出。【例5-6】y0=225z=25y0=225z=250J=0.1y+0.75zt+15t+2 t0.7-九0.10.30.75-九二九2—1.45九+0.495=0= =0.9,入2二0.55y=空.91+A20.551z=2A0.91+(--)A0.551t31 22yp： yt=yzt=zJ-0.3y+0.3z=0n1-0.1y+0.25z=15ny=z=100y=邛9+A20.551+100Jz=3々。.9+(-}A20.551+100y0=225 z0=25n =75 A2=50作业：1、求积分』lnxdx、』xexdx、』x(x+1)2dx2、求f(x)」(t2-1)4(t—2)dt的单调区间。03、两种商品x和y,xy>0，价格分别是p和q(皆为正)。有一收入为I的消费者，U(x,y)=y+-x，a为正的常数。求解他的效用最大化问题。n4、300单位劳动力和450单位土地，用来生产小小麦或牛肉，小麦每单位要2单位劳动力和1单位土地，牛肉每单位要1单位劳动力和2单位土地。社会目标函数W(x,y)=lnx+Iny。求社会福利最大化。5、求y=f(xjxJ=e-x1+bx2所有一阶以及二阶偏导数并验证Young定理。6、求y: y"+3y，-4y=2e-417、求关于x的导数f2e-xdt、f3xtdt、J2x3t2dt0208、解方程（组）（1）电+4ty=41dtdy+5y=15dtdy+5y=15dt（4）2虫+12y+2et=0，y（0）=6dt 7（t+2y）dy+（y+3t2）dt=0

y〃+6y'+9y=27,y(0)=5,y'(0)=-5y1=0.9yy+2+y+1—3y=71Jx'(t)—x(t)—12y())=—60Jx(0)=13,[y'(t)+x(t)+6y(t)=36 Iy(0)=4Jx'(t)—2x(t)+3y(t)=10Jx(0)=8Iy'(t)—x(t)+2y(t)=9，Iy(0)=5Ix+x+2y=24Ix=10\t+1 tL,J0Iy+2x—2y=9Iy=9vt+1 tt001(12)<-81*'-82x一x一一y=(12)<-81*'-82第六节相位图分析第六节相位图分析（本节中有一些图形没有画在课件上）相位图是动态方程（组）的定性图形解法，但只能用于自治（autonoumous）系统或自控系统。由于大多数动态方程（组）不能得到显示解，所以这种方法在经济分析中很有用。相位图方法的优点在于可用于非线性等无法得到能析解问题（要求能判别符号的正负）。从纯数学角度来说，自控问题是指x二y，中不显示独立地包括时间才，即X「F（X（t））。在宏观经济学中，如果时间仅仅出现在折现因子中，即以e平的形式显示地包括时间，则也成为自治问题。一、一阶微分方法（ODE）1、半=f（y） f可非线性dt特点：在横轴（j轴）上方，dy>0,y随时间递增；dt在横轴（y轴）下方，dy<0,y随时间递减。dt均衡时，虫=0,相位线与横轴相交。dt动态系统的解还有另一重要工作就是判别均衡的稳定性。即一旦有外界扰动，使得偏离了均衡，系统是否会自动回到均衡，还是离均衡越来越远。一阶ODE稳定性判别：①相位线以正的斜率与横轴相交，不稳定。②相位线以负的斜率与横轴相交，稳定。例：（上方箭头arrow向右）A不稳 B稳 C(a>0)y=ay+b y'=一ay+b有几类特殊情形：单侧稳定-不稳定、相位线与横轴相切而不是相交、螺线型相位线。对于相交情形应从均衡点附近的一阶导数进行判断。特别强调：箭头是我们关注的主要内容。相切于水平拐点，这时均衡点附近y的斜率等于0。由y2f（y）产生，多解、振荡运动且振幅相同、相位，线与轴相交于切线位置。2、.另一种表示可能用单一数轴表示以上关系的大部分内容，而无须用二维平面，如：〉）r< 《〈，_>:*〉） 3、时间路径（轨迹）

二、一阶差分方程的相位图t+1三、ODE系统的相位图分析在单个ODE中，y轴的作用有二：数轴和分界线，后一功能是指，在y的上方，y>0，下方y<0。相位图中关键之处在于要表示每一点的运动方向，分界的功能更重要。在二维系统中，如果要象一ODE中那样将y,y和x,x都画出的话，就有四维了，画不出来。要设法降低维度。由于x,y的重要作用是指明运动方向，所以可用二维表示2x2系统ODE，分界线不一定用自身轴。1、对角ODE系统x=axy=ay- 22①若a>0,a>0x二a」二0nx=0（y轴）,表明x的符号或箭头指向是分界线x=0（y轴）分成两个不同的区域，在x=0的左侧x=％x<0,箭头向左，右侧x=％x>0箭头向右。（这里的x的分界线不是轴即y=0，而是y轴），y=a22y=0ny=0（x轴）分界线y=0的上方，xy=a22y<0箭头向上，下方y=a22y<0箭头向下。画x轴方向的箭头一定与x平行，结合分成四个区域。

3、a<0,a>3、a<0,a>0x=0的分界线决定是否左右移动y=0的分界线决定是否上下移动

②所以在X=0分界线上不会左右移动所以在丫二0分界线上不会上下移动不会左右移动说明相位线斜率为8。不会上下移动说明相位线斜率为0ox=0③上图中最后一图A点向左至均衡点，均衡点由4 决定（不一定是原、j二0点）。 .这个图形中，只有两条路径（流线、相轨道、相路径）过均衡点，就是X轴和j轴，一条稳定，一条不稳定，分别叫稳定臂。这里两臂与分界重合。一般情况下，也没有这一性质（即两臂与轴重合）。④除两臂上的点外，这里（分界线正交且与轴平行）其它点不会越过分界线。因为如果X越过X的分界线（X=0,j轴）则要在t取有限值时X=0，若tf8,