几何与代数第一章

几何与代数第一章第一页，共五十二页，2022年，8月28日第1章几何空间中的向量第一节向量及其线性运算1.定义（向量）既有数值大小（非负），又有方向的量。2.定义（范数/模）—向量的数值大小一、向量的概念第二页，共五十二页，2022年，8月28日4.定义位于同一直线上，或位于相互平行的直线上思考：

两个向量三个向量线性相关平行？

共面？3.定义且方向相同；且方向相反。第三页，共五十二页，2022年，8月28日引例:力的合成---平行四边形法三角形法注1：‘和’与起点A的选取无关1.加法运算：3：加法法则（四条）4：向量可以相加，但不可以比较大小5：范数可比较大小二、向量的线性运算及其性质D运算法则：2：减法第四页，共五十二页，2022年，8月28日2.数乘运算：注1：数乘向量性质（四条）注2：线性运算、单位向量、向量空间（线性空间）运算法则：3.模的性质：第五页，共五十二页，2022年，8月28日三、向量的共线与共面1.共线：方向相同或相反

约定：零向量共线于任何向量定理1.6：特别地，推论：第六页，共五十二页，2022年，8月28日2.共面：将向量的支点放在同一点时，它们在同一平面上。（或，平行于同一平面的向量）推论1：平行六面体第七页，共五十二页，2022年，8月28日空间解析几何：用数量来研究向量的问题，类似于平面解析几何需引入空间坐标系的概念。回顾：OGNPxzyM第二节空间坐标系第八页，共五十二页，2022年，8月28日一、仿射坐标系定义（仿射坐标系）：

空间中一点O以及三个有次序的不共面向量e1,e2,e3,

构成空间中一仿射坐标系，记为[O;e1,e2,e3]

第九页，共五十二页，2022年，8月28日1.定义（直角坐标系）：e1,e2,e3为单位向量且两两垂直此时坐标向量记为i,j,k注1：三坐标轴，三坐标平面两两垂直注2：规定x,y,z轴的正方向，使之成右手系定理：向量在坐标系[o;i,j,k]上的坐标x,y,z分别是在相应坐标轴上的投影。即()i=x,()j=y,()k=zzxyABOMC二、直角坐标系第十页，共五十二页，2022年，8月28日2.定义（方向余弦）例：已知=（-3，6，2）,求的方向余弦和与平行的单位向量

注2：单位向量的表示法（两个）注1：||||=？（勾股定理）在空间直角坐标系中，向量与三个坐标向量的夹角称为向量的方向角；方向角的余弦称为向量的方向余弦。第十一页，共五十二页，2022年，8月28日第三节向量的内积、外积和混合积1.引例（做功）2.定义两向量间的夹角：(I)已知两个非零向量，经平行移动后使它们有共同的始点(II)夹角的范围——无向角(III)几种类型AA一、两个向量的内积第十二页，共五十二页，2022年，8月28日3.内积定义注1:内积是数，非向量。规定:零向量和任何向量正交（垂直）定理：内积的运算法则

正定性—交换律—线性性（k的符号）

—分配律（重要）

注4:注3:注2:第十三页，共五十二页，2022年，8月28日4.向量投影定义：注：投影是一数正交投影向量：oBAoBA第十四页，共五十二页，2022年，8月28日例1：证明分配律例2：试证的三条高交于一点。AFBCDS第十五页，共五十二页，2022年，8月28日1.11外积定义：注1：注2：

性质：反交换律结合律分配律例：二、两个向量的外积第十六页，共五十二页，2022年，8月28日重点回顾

内积外积

交角

cossin

垂直平行

应用

平行四边形第十七页，共五十二页，2022年，8月28日有了坐标，便将几何运算—>代数运算1.线性运算加法数乘距离2.内积

三、向量运算的坐标表示第十八页，共五十二页，2022年，8月28日3.外积引进二阶行列式，规定太繁！再次书写外积的结果！注意：的顺序注：如何记忆？

两两组合！第十九页，共五十二页，2022年，8月28日4.体积与行列式PO注1：为何加||？第二十页，共五十二页，2022年，8月28日定义（混合积）：推论：用行列式表示混合积四、三个向量的混合积第二十一页，共五十二页，2022年，8月28日ACBD（30）第二十二页，共五十二页，2022年，8月28日一、平面的参数方程与一般式方程理论根据：第四节平面及其方程1、平面的参数方程：第二十三页，共五十二页，2022年，8月28日引：化简，并注意到和不平行,即(a1,b1,c1)k(a2,b2,c2)结论：ax+by+cz+d=0(a2+b2+c20)2、平面的一般方程：第二十四页，共五十二页，2022年，8月28日定理1.4：每一个平面可用ax+by+cz+d=0表出，其中a2+b2+c20定理1.4’：任给ax+by+cz+d=0，其中a2+b2+c20，则它恒代表一个平面。第二十五页，共五十二页，2022年，8月28日定义（法向量）：

平面通过一点M0(x0,y0,z0)且垂直于一条直线l

设向量n//l,则称n为平面的法向量，坐标(a,b,c)根据：平面方程：二、平面的点法式方程1、点法式方程第二十六页，共五十二页，2022年，8月28日确定平面的条件：三个不共线的点2、三点式方程第二十七页，共五十二页，2022年，8月28日实质：三点式方程

M1（a，0，0），M2（0，b，0），

M3（0，0，c），且

abc0平面方程：3、截距式方程第二十八页，共五十二页，2022年，8月28日总结平面：（一）一点+两个不平行的向量（二）一点+法向量例：求通过x轴和点(4,-3,-1)的平面方程用两种方法（过原点）第二十九页，共五十二页，2022年，8月28日特殊平面1.a=02.d=0平面过原点3.d=a=0平面过x轴4.a=b=0平面//xoy平面第三十页，共五十二页，2022年，8月28日注意要加绝对值！三、两个平面的位置关系第三十一页，共五十二页，2022年，8月28日!!!如何找出交线上的点解：为什么???第三十二页，共五十二页，2022年，8月28日点到平面的距离：d=???第三十三页，共五十二页，2022年，8月28日直线：一个点+一个方向（直线的方向）1.参数方程第五节空间直线及其方程一、空间直线的参数方程与对称式方程第三十四页，共五十二页，2022年，8月28日2.对称式方程（标准方程、点向式方程）直线L的方向向量的坐标m，n，p称为直线L的方向数。第三十五页，共五十二页，2022年，8月28日注：中点的表示（参数方程）3.两点式方程第三十六页，共五十二页，2022年，8月28日1.一般式方程（两平面的交线）二、空间直线的一般式方程第三十七页，共五十二页，2022年，8月28日2.一般式与对称式间的互换解：（1）（2）第三十八页，共五十二页，2022年，8月28日3.平面束原因：过直线l的平面有无穷多个问题：如何表示这些过l的平面（平面束）？第三十九页，共五十二页，2022年，8月28日例.求点M0(－6,7,0)关于平面π:4x-2y-z-4=0的对称点M1的坐标。例.求过直线L:x+3y-5=0x-y-2z+4=0且在x轴和y轴上截距相等的平面方程。第四十页，共五十二页，2022年，8月28日三、直线与平面、二直线之间的位置关系1、两直线间的相互位置给定两条直线（1）若共面，则平行相交重合（2）异面第四十一页，共五十二页，2022年，8月28日已知：2、直线与平面的位置关系第四十二页，共五十二页，2022年，8月28日四、直线与平面的夹角第四十三页，共五十二页，2022年，8月28日M0M’0M1注：d与M0的选择无关四、点到直线的距离设直线l方程为：第四十四页，共五十二页，2022年，8月28日olP0P1第四十五页，共五十二页，2022年，8月28日第四十六页，共五十二页，2022年，8月28日行向量列向量o第六节Rn中的几何向量简介一、Rn中的向量代数定义1（n维向量）n个有顺序的数所在组成的数组称为一个n维向量。第四十七页，共五十二页，2022年，8月28日第四十八页，共五十二页，2022年，8月28日二、Rn中的内积第四十九页，共五十二页，2022年，8月28日**外