概率论与数理统计（陈希孺）课件 随机向量及其分布3

条件概率与独立性背景：(X,Y)为二维随机变量X的边缘分布FX(x)可以认为是忽略随机变量Y的取值，仅关心X的分布情况。现在我们换一个角度，认定{Y=y}已发生，考虑在此条件下，X的分布情况。条件分布列与条件密度函数同时由条件概率定义：设(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合分布列为：类似有：例：设箱中有10个球，其中有3个红球，5个白球，2个黑球；从中任意抽取4个,取随机变量X为红球数目，Y为白球数目。试求{Y=1}条件下X的条件分布列；试求{X=2}条件下Y的条件分布列。解：XY01234P00010/21020/2105/21035/2101015/21060/21030/2100105/21023/21030/21030/2100063/21032/2105/2100007/210P5/21050/210100/21050/2105/2101设(X,Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为其联合密度函数，fX(x)，fY(y)为其边缘分布密度。回忆：但是P(Y=y)=0,不能直接根据定义求可以借助(X,Y)的联合分布密度函数和边缘分布密度函数来定义定义：若fX(x)>0,则在{X=x}发生的条件下Y的条件密度函数定义为定义：若fY(y)>0,则在{Y=y}发生的条件下X的条件密度函数定义为不难验证fX|Y(x|y),fY|X(y|x)均满足非负性和规范性，确实是密度函数例：设（X,Y）的联合密度为求：113解：先求第一步，求y=2的边缘密度，第二步，再求条件密度函数，对于有：故条件密度函数为第一步，求x=1/3的边缘密度，第二步，再求条件密度函数，对于有：再求故条件密度函数为注意：若已经求得边缘密度函数：则无需再积分求边缘密度，直接带入即可思考如果二维随机变量（X，Y）服从正态分布即其联合密度函数为：求相应的两个条件密度函数。回忆：第一章中，从条件概率和无条件概率相等这一事实可以引出事件的独立性，即乘积事件的概率等于各自事件概率的乘积分布的独立性定义：设（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，两个边缘分布函数分别为FX(x),FY(y)，如果对于任意的x,y都有F(x,y)=FX(x)FY(y)，则称随机变量X，Y相互独立。解读：若有F(x,y)=FX(x)FY(y)成立，则P(X≤x,Y≤y)=P(X≤x)P(Y≤y)，也就是事件{X≤x}和{Y≤y}独立。对于离散型随机变量，该定义等价于★★对任意i,j对任意x,y对于连续型随机变量，该定义等价于可以验证两式可变形为：无条件分布和条件分布相等，符合独立的初始定义在实际问题或应用中，当X的取值与Y的取值互不影响时，我们就认为X与Y是相互独立的，进而直接使用上述公式。设（X，Y）的概率分布（律）为证明：X、Y相互独立。例逐个验证等式XY-1021/22/201/202/2012/201/202/2024/202/204/20证

∵X与Y的边缘分布律分别为故X、Y相互独立2/51/52/5pi.20-1

X2/41/41/4P·j211/2

Y

2/5

1/5

2/5

p.j

2/44/202/204/202

1/42/201/202/2011/42/201/202/201/2

pi.20-1yx更直观的方法：例：设箱中有10个球，其中有3个红球，5个白球，2个黑球；从中任意抽取4个,取随机变量X为红球数目，Y为白球数目。判断X,Y是否独立。XY01234P00010/21020/2105/21035/2101015/21060/21030/2100105/21023/21030/21030/2100063/21032/2105/2100007/210P5/21050/210100/21050/2105/2101例：设（X,Y）的联合密度为判断X，Y是否独立。113解：已求得边缘密度为从而：f(x,y)=fX(x)fY(y)故X,Y相互独立例已知二维随机变量（X，Y）服从区域D上的均匀分布，D为x轴，y轴及直线y=2x+1所围成的三角形区域。判断X，Y是否独立。解：（X,Y）的密度函数为当时，所以，关于X的边缘分布密度为关于X的边缘分布密度为当或时当时，所以，关于Y的边缘分布密度为关于Y的边缘分布密度为当或时所以所以，X与Y不独立。作业，P673.8,3.9,3.10,3.12,3.14二维随机变量的函数的分布设

是二维随机变量,

其联合分布函数为

是的二元函数

问题：如何确定随机变量Z的分布呢？二维离散型随机变量的函数的分布设

是二维离散型随机变量,其联合分布列为

则是一维的离散型随机变量其分布列为例设的联合分布列为

YX-2-10-11/121/123/12½2/121/12032/1202/12求出（1）X+Y；（2）XY的分布列当然可以根据定义直接求解，但我们希望用更直观的办法解由（X，Y）的联合分布列可得如下表格概率1/121/123/122/121/122/122/12-3-2-1-3/2-1/213210-1-1/2-60解得所求的各分布列为X+Y-3-2-1-3/2-1/213概率1/121/123/122/121/122/122/12XY210-1-1/2-6概率1/121/125/122/121/122/12二维连续型随机变量的函数的分布设

是二维连续型随机变量,其联合分布密度为

则是一维的连续型随机变量其分布函数为是二元连续函数，其分布密度函数为一般而言求分布或密度函数的显式表达式计算量很大主要考虑两个随机变量的和这一最简单情形专题：两个随机变量的和的分布若(X,Y)的分布列为：则Z=X+Y的分布为离散型随机变量的和的分布特别地，当X，Y相互独立时，有若(X,Y)的联合分布密度函数为f(x,y)，Z=X+Y的分布为或但是注意到外侧积分和求导可以交换次序，根据变上限积分求导，有连续型随机变量的和若要求密度函数，可以直接对FZ(z)求导不必显式地积出FZ(z),也可求得密度函数特别地，当X，Y相互独立时，有卷积公式

记住结论！一些重要独立随机变量的和的分布如果X与Y相互独立例证明：如果X与Y相互独立，且X~B（n,p），

Y~B（m,p），则X+Y~B（n+m,p）证明

X+Y所有可能取值为0，1，…,m+n.证毕例