高等数学（MOOC）课件4 函数的概念与性质

函数的概念起源于描述一个量依赖于另一个量的变化球体积V与球半径r

的的关系全世界人口数量与时间的关系年份19601970198019902000人口(百万)30403710445052806080股票走势图横轴表示开市的时间纵轴表示股价（上图）与成交量（下图）

函数的概念函数的例子函数的运算函数的简单特性1.变量笛卡尔首先用字母来表示变动的数——变量常量和变量是相对的，两者在一定条件下可以相互转化.常量通常用a、b、c

表示，变量通常用x、y、t表示.变量所在的集合２.函数的定义定义1设D

是

中的非空子集，称映射为定义在D

上的一元函数.通常记作：——值域x

为自变量D为定义域y为因变量xyO——函数图形（或图像）xf(x)莱布尼兹：函数是变化和运动的“普通语言”不变和静止的数学变化和运动的数学fxf(x)输入输出函数f的机器图xf(x)af(a)f函数

f的箭头图注意：

1)函数由其定义域D与对应法则f唯一确定，与自变量、因变量以及函数的名称无关.2)两个函数相等是指它们的定义域与对应法则都相同，自然它们的值域也相同.3.函数定义域的确定实际定义域自然定义域圆面积公式自由落体公式函数表达式在实数域中有意义的所有自变量的集合问题的实际背景所要求的自变量的取值范围实际定义域实际定义域自然定义域均为全体实数集合函数的表示方法描述法表格法图形法公式法通过语言描述通过数值表格表示通过图形表示通过精确公式表示例1常值函数例2绝对值函数例3符号函数在不同区间或点处有不同表达式的函数称为分段函数例4取整函数——不超过x的最大整数不能画出该函数的完整图形例5狄利克雷函数例6历届(1900-2012)奥运会男子撑杆跳高成绩年份t成绩h(m)年份t成绩h(m)年份t成绩h(m)19003.319484.319845.7519043.519524.5519886.0319083.7119564.5619925.819123.9519604.719965.9219204.0919645.120005.9019243.9519685.420045.9519284.219725.520085.9619324.3119765.520125.9719364.3519805.78例6历届(1900-2012)奥运会男子撑杆跳高成绩1.函数的四则运算注意函数的定义域不能以运算后的形式来确定.定义2设有和，且，则定义函数的加法、乘法与除法如下：且例7设有函数，求并指出它们的定义域．2.函数的复合运算例如（1）（2）一般地，代入代入代入自变量中间变量因变量复合运算函数复合过程就是代入的过程，复合函数又称为函数的函数定义3设有两函数与，且满足，函数定义为：对任意，有称h

为f

与g

的复合函数，记作：输入输出复合运算3.函数的求逆运算引例(1)用y表示x(2)用y表示x定义4设函数作为映射是双射，那么对任何B中的y存在且唯一存在一个A中的x使得称这个对应法则给出的从B

到A

的函数为f的反函数，记为函数与互为反函数.习惯上，将函数的反函数记作性质设为的反函数，则几何上，函数与它的反函数的图形关于直线对称.但与的图形是同一个.1.有界性定义5设函数的定义域为D

，数集.如果存在，使得对于任意的，有则称函数在I上有上界.如果存在，使得对于任意的，有则称函数在I上有下界.如果存在，使得对于任意的，有则称函数在I上有界.性质函数在区间I上有界的充分必要条件是它在I上既有上界又有下界.函数有界与无界的几何特点有界函数的图形介于某两条水平直线之间.无界函数的图形不能介于任何两条水平直线之间.例8

研究函数在定义域上的有界性.函数f(x)在上无界对于任意的正数M，存在，使得2.单调性定义6设函数f(x)

在区间

上有定义，若对I中任意两点当时，恒有则称在区间I上单调增加（严格单调增加）.单调减少（严格单调减少）.单调增加或单调减少的函数统称为单调函数

.单调函数的几何特征y的值随x

增大而增大y的值随x

增大反而减少严格单调增加严格单调减少性质严格单调增加（减少）的函数一定存反函数，且其反函数也是严格单调增加(减少).3.奇偶性定义7

设函数在区间（或）上有定义，若对于I中的任意x，恒有则称为区间I上的偶函数（奇函数）.（）例9

证明狄利克雷函数y=D(x)为偶函数.奇函数的代数和为奇函数偶函数与奇函数的乘积为奇函数4.周期性定义8

设函数在区间内有定义，若存在正常数T使得对于任意x，恒有则称为以T为周期的周期函数.如果T

是的周期，