实验数据分析方法(00002)课件

实验数据处理方法

第三部分：统计学方法第十二章最大似然法(MaximumLikelihoodmethod)第十二章最大似然法

(MaximumLikelihoodMethod)点估计的方法之一，是参数估计中常用的方法，具有以下的特点：在一定的条件下，ML估计式满足一致性、无偏性、有效性等要求；当样本容量n时，ML估计式满足正态分布方差容易计算；用ML方法可较容易地得到参数的估计式；本章内容：最大似然原理；用ML方法求解参数估计问题的步骤；ML估计式的特性；如何计算ML估计值的方差；利用似然函数进行区间估计第十二章最大似然法

(MaximumLikelyhoodMethod)12.1最大似然原理12.1最大似然原理(三)估计值的求法似然方程：极大值条件：因为lnL是L的单调上升函数，lnL和L具有相同的极大值点，所以，LlnL，求和运算比乘积运算容易处理似然方程：极大值条件：如果有k个位置参数，={1,2,…,k}k阶似然方程估计值：12.1最大似然原理极大值条件：二次矩阵是负定的(Negativedefinite)第十二章最大似然法

(MaximumLikelyhoodMethod)12.2用ML方法进行参数估计的步骤12.2用ML方法进行参数估计的步骤（一）构造概率密度函数物理系统的特性：某些量的理论概率分布函数实验的条件：分辨率、探测效率ML方法中所需的p.d.f例：不变质量谱分析：e+e-J/K+K-通过测量K+K-的动量，可得到K+K-的不变质量分布，对该分布进行统计分析，可得到衰变过程中产生的共振态的信息；描述不变质量m的分布的p.d.f应包含对该分布有贡献的物理过程12.2用ML方法进行参数估计的步骤1.信号事例：在不变质量为m0处出现共振态X的弹性散射振幅可用Breit-Wigner公式描述：：X的宽度，m0：X的静质量，m：K+K-的不变质量（1）如果较小实验结果包含质量分辨率和探测效率的影响，~，故必须对理论公式进行修正12.2用ML方法进行参数估计的步骤(m)：效率函数，因(m)随m的变化较小，故(m)~常数R(m,m´)：分辨率函数，真值为m时，获得测量值m´的概率其中：：质量分辨率因此，窄共振峰的p.d.f为12.2用ML方法进行参数估计的步骤2.本底事例：相空间本底、粒子误判本底、其它衰变道本底等fps(m,)：相空间函数Pi(x)：i阶Legendre多项式bi：未知参数12.2用ML方法进行参数估计的步骤如果衰变过程中：NBW个窄共振峰、Namp个相干共振峰，则m的pdf其中：CBW、Camp、Cback为归一化常数，保证：第k个窄共振峰事例数/总事例数：Namp个相干共振峰事例数/总事例数BES分析软件BWFIT程序中使用的p.d.f（二）构造似然函数12.2用ML方法进行参数估计的步骤设对某物理系统进行了n次测量，x1、x2、…xn根据需要可对在实验条件一定的条件下，事例的产生率为常数，在时间t内获得n个事例的概率为泊松分布。观测到n个事例，且测量量为x1、x2、…xn的联合概率为条件：ν必须能够精确确定进行变化：1.广义似然函数（GeneralizedLikelihoodFunction）总事例数n也是随机变量，服从平均值为υ的泊松分布：广义似然函数，优点：n对θ增加了附加的限制12.2用ML方法进行参数估计的步骤：间隔的宽度取对数并只保留与θ有关的项分间隔的似然函数（BinnedLikelihoodFunction）(1)N很大，很小，(2)如果在某一间隔内的变化不是很大，则用得到的θ的精度是可接受的12.2用ML方法进行参数估计的步骤例：估计粒子的平均寿命（三）求似然函数的极大值1.求解似然方程：一般情况下无解析解，只能用数值解法。2.用CERN程序MINUIT求解函数的极小值，得θ的估计式及其误差探测K0粒子的产生和衰变。假定探测器无限大，则K0粒子在t时刻衰变的p.d.f12.2用ML方法进行参数估计的步骤τ：粒子的平均寿命，为未知参数。K0的飞行时间tiL：飞行距离，p：动量，E：能量，c：光速对于n个观测事例：当时，LF取极大值。1.参数变换不变性12.3ML估计式的特性设是参数的ML估计值，是θ的函数。如果用作为参量来求LF的极大值，则所得θ的估计值亦为如果，则有2.一致性（consistency）在一般条件下，ML估计值满足一致性条件，即，当时。3.无偏性（unbiassedness）在某些特殊情况下，ML估计式是无偏的，即在一般条件下，ML估计式不满足无偏性：故当样本容量时，ML估计式总是无偏的。,但其偏差12.3ML估计式的特性如果θ的充分估计式t存在，则用ML方法一定能得到该估计式。4.充分性（sufficiency）充分必要条件即θ只依赖于t5.有效性（Efficiency）如果θ的有效估计式t存在，则用ML方法一定能得到该估计式。充分必要条件6.渐近正态性（Asympototicnormality）在样本容量很大时，θ的ML估计值满足渐近正态分布，其平均值为θ的真值θ0，方差为最小方差限（MVB）。第十二章最大似然法

(MaximumLikelyhoodMethod)12.4ML估计式的方差12.3ML估计式的方差1.此式与上式等价。如果p.d.f和估计式的方差。2.由

是分母为归一化因子。和的协方差的表达式已知，则无需任何数据就可求出可导出的概率分布：雅可比行列式3.在给定的样本下，可认为的概率分布函数，而12.3ML估计式的方差时，ML估计值服从正态分布N(θ,MVB)如果b(θ）:偏差由有效性条件样本容量的方差由MVB给出：如果是θ的无偏估计，b(θ）=0（二）充分ML估计式的方差是参数θ的充分估计式（从而也是有效估计式）。则（三）大样本的ML估计式的方差正态分布中变量和平均值是对称的参数θ服从N(θ,MVB)12.5利用似然函数进行区间估计不同的公式给出的方差不同，因此，在给出实验结果在一般情况下，将式中的L用p.d.f代替可得到方差的平均值用此式可以估计：欲达到一定的误差，需进行的实验次数n。指明误差是如何计算的时，应由（一）中的公式求解，但很难得到的解析解，只能用数值方法。ML估计式的误差可用区间估计方法来估计12.5利用似然函数进行区间估计其中γ为θ的真值落入[θa,θb]间的概率，取相对对称的区间在一般情况下，当测量次数无限大时，似然函数L将与样本变量无关且呈正态分布θ的真值落入[θa,θb]间的可信度，有12.5利用似然函数进行区间估计是抛物线lnL(θ)与直线例：的两个交点求解出这两个交点即可得到的误差实验结果误差MINUIT程序中误差定义量ML方法如果测量次数n为有限数，则LF将不是正态型12.5利用似然函数进行区间估计用上述