切应力公式推导

切应力公式推导第一页，共四十一页，2022年，8月28日3、梁的纯弯曲实验横向线(mn、pq）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为弧线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍保持垂直。由梁变形的连续性可知：在梁中一定有一层上的纤维既不伸长也不缩短，此层称为中性层。中性层与梁横截面的交线称为中性轴。

图6－2(b)(a)mnpqmnpqFFCD第二页，共四十一页，2022年，8月28日4、根据表面变形情况，对纯弯曲变形下作出如下假设：

（1）平面假设梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后的横截面与梁弯曲后的轴线保持垂直。（2）单向受力假设梁的纵向纤维处于单向受力状态，且纵向纤维之间的相互作用可忽略不计。第三页，共四十一页，2022年，8月28日二、正应力公式的推导1、几何方面相应的纵向线应变为：（6－1）弧线O1O2的长度为：

(a)距中性层为y处的纵向纤维ab的伸长为：(b)图6−3(b)中性层中性轴abO1O2mnpq(a)dxmnpqdθρy(c)dxabO2O1第四页，共四十一页，2022年，8月28日2、物理方面将式代入，得（6－2）此式表明，梁横截面上的正应力与其作用点到中性轴的距离成正比，并且在y坐标相同的各点处正应力相等，如图5−4所示。

图6－4梁的各纵向纤维均处于单向受力状态，因此，在弹性范围内正应力与线应变的关系为：(c)第五页，共四十一页，2022年，8月28日3、静力学方面

由图6−4可以看出，梁横截面上各微面积上的微内力dFN=σdA构成了空间平行力系，它们向截面形心简化的结果应为以下三个内力分量，，

由截面法可知，上式中的FN，My均等于零，而MZ就是该截面上的弯矩M，所以有(d)(e)(f)图6－4第六页，共四十一页，2022年，8月28日又因为不等于零，所以有(g)即梁横截面对中性轴（z轴）的静矩等于零。由此可知，中性轴通过横截面的形心，于是就确定了中性轴的位置。(d)(e)(f)由式（e）可得因此(h)即梁横截面对y、z轴的惯性积等于零，说明y、z轴应为横截面的主轴，又y、z轴过横截面的形心，所以其应为横截面的形心主轴。第七页，共四十一页，2022年，8月28日(d)(e)(f)最后由式（f）可得

上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。

将式（6−3）代入式（6−2），可得梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力的计算公式为（6－4）（6－3）即有第八页，共四十一页，2022年，8月28日yzOdAyzhb应用此式时，如果如图中那样取y轴向下为正的坐标系来定义式中y的正负，则在弯矩M按以前的规定确定其正负的情况下，所得正应力的正负自动表示拉应力或压应力。但实际应用中往往直接根据横截面上弯矩的转向及求正应力之点在中性轴的哪一侧来判别弯曲正应力为拉应力还是压应力；在此情况下可以把式中的y看作求应力的点离中性轴z的距离。三、梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力的计算公式为（6－4）第九页，共四十一页，2022年，8月28日四、横截面上的最大应力yc,maxyt,maxyz

bd1

hOd2中性轴z为横截面对称轴的梁其横截面上最大拉应力和最大压应力的值相等；中性轴z不是横截面对称轴的梁(如图)，其横截面上的最大拉应力和最大压应力的值不相等。中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、压应力的值为（6－5）第十页，共四十一页，2022年，8月28日式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数，其单位为m3。横截面上应力分布hbzyoyc,maxyt,maxyz

bd1Od2中性轴z不是横截面的对称轴时，其横截面上最大拉应力值和最大压应力值为第十一页，共四十一页，2022年，8月28日在竖向荷载作用下，通常梁横截面上不仅有弯矩而且有剪力，这种情况下我们称之为横力弯曲。而实际工程中的梁，大多发生的都是横力弯曲。对于工程实际中常用的梁，应用纯弯曲时的正应力计算公式来计算梁在横力弯曲时横截面上的正应力，所得的结果虽略偏低一些，但足以满足工程中的精度要求。五、横力弯曲第十二页，共四十一页，2022年，8月28日解：先求出C截面上弯矩

例题6−1长为l的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F，已知h=0.18m，b=0.12m，y=0.06m，a=2m，F=1.5kN，求C截面上K点的正应力。例题6－1图截面对中性轴的惯性矩将MC、Iz、y代入正应力计算公式，则有K点的正应力为正值，表明其应为拉应力。

第十三页，共四十一页，2022年，8月28日§6－2梁的正应力强度条件及其应用一、梁的正应力强度条件对梁的某一横截面来讲，最大正应力发生在距中性轴最远的位置，此时而对整个等截面梁来讲，最大正应力应发生在弯矩最大的横截面上，距中性轴最远的位置，即（6－5）式中的Wz称为弯曲截面系数，它与梁的截面形状和尺寸有关。

第十四页，共四十一页，2022年，8月28日对矩形截面对圆形截面各种型钢的截面惯性矩Iz和弯曲截面系数Wz的数值，可以在型钢表中查得。为了保证梁能安全的工作，必须使梁横截面上的最大正应力不超过材料的许用应力，所以梁的正应力强度条件为（6－6）式中的Wz称为弯曲截面系数，它与梁的截面形状和尺寸有关。第十五页，共四十一页，2022年，8月28日二、三种强度问题的计算根据式（6−6）可以求解与梁强度有关的三种问题。（2）选择截面（3）确定许用荷载

（1）强度校核

第十六页，共四十一页，2022年，8月28日

由梁的弯矩图可以看出，梁中最大弯矩应发生在跨中截面上，其值为弯曲截面系数为由于最大正应力应发生在最大弯矩所在截面上，所以有所以满足正应力强度要求。

例题6-2

一矩形截面简支木梁如图所示，已知l=4m，b=140mm，h=210mm，q=2kN/m，弯曲时木材的许用正应力[σ]=10Mpa，校核该梁的强度。例题5－2图

解：先画梁的弯矩图（图b）。例题6－2图第十七页，共四十一页，2022年，8月28日例题5－3图

例题6−3一⊥形截面的外伸梁如图所示。已知：l=600mm，a=110mm，b=30mm，c=80mm，F1=24kN，F2=9kN，材料的许用拉应力[σt]=30MPa，许用压应力[σc]=90Mpa,试校核梁的强度。（2）确定截面形心C的位置（3）截面对中性轴的惯性矩

解：（1）先画出弯矩图（图b）

例题6－3图第十八页，共四十一页，2022年，8月28日（4）强度校核

因材料的抗拉与抗压强度不同，而且截面关于中性轴不对称，所以需对最大拉应力与最大压应力分别进行校核。①校核最大拉压力。由于截面对中性轴不对称，而正、负弯矩又都存在，因此，最大拉应力不一定发生在弯矩绝对值最大的截面上。应该对最大正弯矩和最大负弯矩两个截面上的拉应力进行分析比较。在最大正弯矩的C截面上，最大拉应力发生在截面的下边缘，其值为在最大负弯矩的B截面上，最大拉应力发生在截面的上边缘，其值为第十九页，共四十一页，2022年，8月28日②校核最大压应力。首先确定最大压应力发生在哪里。与分析最大拉应力一样，要比较C、B两个截面。C截面上最大压应力发生在上边缘，B截面上的最大压应力发生在下边缘。因MC和y1分别大于MB与y2，所以最大压应力应发生在C截面上，即由以上分析知该梁满足强度要求。

第二十页，共四十一页，2022年，8月28日

例题6−4如图所示的简支梁由工字钢制成，钢的许用应力[σ]=152MPa，试选择工字钢的型号。

例题6－4图解：先画出弯矩图如图b所示。例题6－4图梁的最大弯矩值为由梁的正应力强度条件可得梁所必需的弯曲截面系数由型钢规格表查得56b号工字钢的Wz为此时最大正应力

超过许用应力值152MPa不到1%，故可选用56b号工字钢。(b)M图375kN.m281kN.m281kN.m第二十一页，共四十一页，2022年，8月28日§6－3梁横截面上的切应力·梁的切应力强度条件1、两点假设（1）横截面上各点处的切应力均与侧边平行。

（2）横截面上距中性轴等距离各点的切应力相等。2、切应力公式的推导一、矩形截面梁的切应力图6－5微段梁上的应力情况如图10−6b所示。

从图5－5所示的梁中取出长为dx的微段，如图5-6a所示。图6－6FSMFSM+dMdx(a)第二十二页，共四十一页，2022年，8月28日现假设用一水平截面将微段梁截开，并保留下部脱离体，由于脱离体侧面上存在竖向切应力τ，根据切应力互等定理可知，在脱离体的顶面上一定存在切应力τ'，且τ'=τ,如图10−6c所示。微段梁上的应力情况如图6−6b所示。(b)dxdx(c)yττ′yz第二十三页，共四十一页，2022年，8月28日得（a）由以FN1、FN2分别代表作用在脱离体左侧面、右侧面上法向内力的总和，dFS代表水平截面上切应力的总和，如图6−6d。dx(d)FN2FN1dFS其中（b）式中的A1是横截面上距中性轴为y的横线以外部分的面积（图6−6e），是A1对中性轴的静矩。bhzyA1(e)y第二十四页，共四十一页，2022年，8月28日同样有

（c）由于微段的长度很小，脱离体水平截面上的切应力可认为是均匀分布的，所以有（d）将FN1、FN2、dFS代入式（a），得经整理得

（6－8）第二十五页，共四十一页，2022年，8月28日式（6−8）即为矩形截面梁横截面任一点的切应力计算公式。式中：FS为横截面上的剪力；S

z*为面积A1对中性轴的静矩；Iz横截面对中性轴的惯性矩；b为截面的宽度。（6－8）对于矩形截面梁，由图6−7a可知图6−7τmax(b)bhzyA1(a)y将其代入式（6−8），可得第二十六页，共四十一页，2022年，8月28日式中的A=bh是横截面的面积。由此可见，矩形截面梁横截面上的最大切应力是截面上平均切应力的1.5倍。此式表明矩形截面梁横截面上切应力沿梁高按二次抛物线形规律分布。在截面上、下边缘（）处，τ=0，而在中性轴上（y=0）的切应力有最大值，如图5−7b。即τmax(b)bhzyA1(a)y第二十七页，共四十一页，2022年，8月28日

例题6−5一矩形截面的简支梁如图所示。已知：l=3m，h=160mm，b=100mm，y=40mm，F=3kN，求m−m截面上K点的切应力。

解：先求出m−m截面上的剪力为3kN，截面对中性轴的惯性矩为

面积A*对中性轴的静矩为

则K点的切应力为习题6−5图Fl/3l/3FAl/3Bl/6mmzbKyhy*A*第二十八页，共四十一页，2022年，8月28日二、工字形截面梁的切应力

工字型截面是由上、下翼缘及中间腹板组成的。1、腹板上的切应力

由于腹板是狭长矩形，完全可以采用前述两个假设，因此上节推导的切应力的计算公式，对于工字型截面的腹板来讲也是适用的，即式中：FS为横截面上的剪力；Sz*为欲求应力点到截面边缘间的面积对中性轴的静矩；Iz为横截面对中性轴的惯性矩；b1为腹板的厚度。

切应力沿腹板高度的分布规律如图5−8a所示，仍是按抛物线规律分布，最大切应力τmax仍发生在截面的中性轴上。

图6－8第二十九页，共四十一页，2022年，8月28日翼缘上的切应力的情况比较复杂，既有平行于y轴的切应力分量（竖向分量），也有与翼缘长边平行的切应力分量（水平分量）。当翼缘的厚度很小时，竖向切应力很小，一般不予考虑。翼缘上的水平切应力可认为沿翼缘厚度是均匀分布的，其计算公式仍与矩形截面的切应力的形式相同，即式中FS为横截面上的剪力；Sz*为欲求应力点到翼缘边缘间的面积对中性轴的静矩；Iz横截面对中性轴的惯性矩；δ为翼缘的厚度。2、翼缘上的切应力

图6－8第三十页，共四十一页，2022年，8月28日

水平切应力沿水平方向的分布如图5−8b所示。实践和理论推导已经证明，在整个工字型截面上切应力的方向可用图5−8c表示。从图中表示切应力方向的许多小箭头来看，它们好象是两股沿截面流动的水流，从上（或下）翼缘的两端开始，共同朝向中间流动，到腹板处汇合成一股，沿着腹板向下（或上）到下（或上）翼缘处再分为两股向两侧流动。对所有的薄壁杆，其横截面上切应力的方向，都有这个特点。这种现象称为切应力流。掌握了切应力流的特性，则不难由剪力的方向确定薄壁杆横截面上切应力的方向。

图6－8第三十一页，共四十一页，2022年，8月28日三、T字型截面梁的切应力

T字型截面可以看成是由两个矩形组成，下面的狭长矩形与工字形截面的腹板相似，该部分上的切应力仍用下式计算：

最大切应力仍然发生在截面的中性轴上。四、圆形及环形截面梁的切应力

圆形截面

圆形及薄壁环形截面其最大竖向切应力也都发生在中性轴上，并沿中性轴均匀分布，计算公式分别为式中FS为横截面上的剪力，A为圆形截面的面积。

薄壁环型截面

式中FS为横截面上的剪力，A为薄壁环型截面的面积。第三十二页，共四十一页，2022年，8月28日五、梁的切应力强度条件

整个等截面梁来说，最大切应力应发生在剪力最大的横截面的中性轴上，即

（6－9）

为了保证梁的安全工作，梁在荷载作用下产生的最大切应力不能超过材料的许用切应力，即此式即为切应力的强度条件。第三十三页，共四十一页，2022年，8月28日在进行梁的强度计算时，必须同时满足正应力强度条件和切应力强度条件。一般情况下，梁的强度计算由正应力强度条件控制。因此，按正应力强度条件设计的截面常可使切应力远小于许用切应力。所以一般情况下，总是根据梁横截面上的最大正应力来设计截面，然后再按切应力强度条件进行校核。但在少数情况下，梁的切应力强度条件也可能起到控制作用。例如梁的跨度较短，或在支座附近作用有较大的荷载，因而使梁中出现的弯矩较小而剪力很大时；在铆接或焊接的组合截面钢梁中，其横截面的腹板厚度与高度之比小于一般型钢截面的相应比值时。第三十四页，共四十一页，2022年，8月28日解：（1）校核最大正应力

弯矩图如图c所示，最大正应力应发生在最大弯矩的截面上。查型钢表可知例题6−6

一外伸工字型钢梁如图a所示。工字钢的型号为22a，已知：l=6m，F=30kN，q=6kN/m，材料的许用应力[σ]=170MPa，[τ]=100MPa,试校核梁的强度。

(a)BDCl/3qAFl/2l/212kN17kN13kN(b)FS图12kN.m39kN.m(c)M图例题6－6图则最大正应力（2）校核最大切应力

剪力图如图b所示，最大切应力应发生在最大剪力的截面上。查型钢表可知

则最大切应力所以此梁安全。

第三十五页，共四十一页，2022年，8月28日例题6−7图a所示为一起重设备简图。已知起重量（包含电葫芦自重）F=30KN，跨长l=5m。AB梁是由20a号的工字钢组成，其许用应[σ]=170Mpa，[τ]=100Mpa。试校核梁的强度。

lABF(a)ABF(b)37.5kN.m(c)ABF(d)FRAFRBFS,max(e)例题6－7图解：（1）校核最大正应力

在荷载处于最不利位置时，梁的弯矩图如图c，最大弯矩值为由型钢规格表查得20a号工字钢的Wz为则梁的最大正应力（2）校核最大切应力

校核切应力时的最不利荷载位置如图d所示，相应的剪力图如图e。对于20a号工字钢，利用型钢表规格表查得于是梁的最大切应力梁的正应力和切应力强度条件均能满足，所以梁是安全的。第三十六页，共四十一页，2022年，8月28日§6－4梁的合理截面形状及变截面梁一、梁的合理截面形式梁的合理截面形式是在截面面积相同的条件下具有较大的弯曲截面系数。矩形截面、正方形截面和圆形截面在截面面积相同条件下其合理性的比较。

dabhbh(a)(b)(c)(d)图6－9

矩形和正方形的比较

说明此时矩形截面比同样面积的正方形截面合理。当时（图5−9a）由hb=a2知从而即，，，，当时（图5−9b），可得，即，说明此时矩形截面不如同样面积的正方形截面合理。第三十七页，共四十一页，2022年，8月28日正方形和圆形的比较

由，得，于是这说明正方形截面比同样面积圆形截面合