刚体的定轴转动简

刚体的定轴转动简第一页，共二十五页，2022年，8月28日第五章刚体的定轴转动§5.1

刚体转动运动学§5.2

转动定律

§5.3转动惯量§5.5力矩的功转动动能定理§5.6角动量定理角动量守恒定律

#§5.7进动

§5.4转动定律的应用第二页，共二十五页，2022年，8月28日

§5.5力矩的功转动动能定理1.外力（矩）的元功dA条件:力F作用在P点，P点对应半径为r，刚体可绕oz轴转动且在力

作用下角位移为。证明:一、力矩的功(wokedonebyatorque)。(wokedonebyatorque,

rotationalkineticenergyofrigidbody)第三页，共二十五页，2022年，8月28日1.外力（矩）的元功3.恒力矩的功4.单位J

或Nm2.变力矩的功则一、力矩的功(wokedonebyatorque)二、功率(power)引入：单位：

w

即Nms-1

证：(由

P=Fv猜想)第四页，共二十五页，2022年，8月28日J引入：证明：将刚体分为质元系m1、

m2、

…

mi…

mn，说明：三、刚体的转动动能刚体的动能不是一种新的动能，它只是刚体内各质元作线运动的动能的总和。由猜想(rotationalkineticenergyofrigidbody)第五页，共二十五页，2022年，8月28日J引入：证明：表式：表述：合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。四、转动动能定理

(theoremofkineticenergyaboutaffixedaxis)第六页，共二十五页，2022年，8月28日式中hc为刚体质心的高度。当合外力矩和非保守内力（矩）作功之和为零时，系统的机械能守恒。一个不太大的刚体的重力势能和它的全部质量集中在质心所具有重力势能一样。五、刚体的重力势能六、刚体的机械能(mechanicalenergyofrigidbody)七、机械能守恒定律若A外+A非保内=0，则E=EK+EP=恒量。(lawofconservationofmechanicalenergy)第七页，共二十五页，2022年，8月28日例5.8(P268)冲床可利用飞轮的转动动能通过曲柄连杆机构的传动带动冲头在铁板上穿孔。已知飞轮半径r

=

0.4

m

,质量m

=

600kg（可以看成均匀圆盘）。飞轮的正常转速是n1=

240r/min

,冲一次孔转速减低20%。求冲一次孔，冲头所作的功A。解：因

ω1=2πn1/60

ω2=(1-0.2)ω1=0.8ω1

所以=-5.45103(J)式中负号表示冲头对外所作的功。第八页，共二十五页，2022年，8月28日例5.9(P269)R0M一质量为M

、半径为R的定滑轮上绕有细绳。绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处磨擦，求物体m

由静止下落高度h

时的速度v

和此时滑轮的角速度ω

。hω(用机械能守恒定律解例5.6)解：取m

初始位置为势能零点，则将

、代入前式整理得：解得：第九页，共二十五页，2022年，8月28日方法1——用机械能守恒定律取初始位置为势能零点，则例5.10(P270)一均匀细棒（，m），可绕过其一端的光滑轴转动，开始时棒静止于水平位置，求其下摆角为θ

时的角速度ω

。（用机械能守恒定律（或转动动能定理）解例5.7）解：l/2mgθ第十页，共二十五页，2022年，8月28日§5.6

刚体的角动量角动量守恒定律1.定义标量式：引入：——又称动量矩。Pm

J角动量对比质点的动量(猜想）对质点：2.单位ωL=r

m

vsin标量式：(angularmomentumofrigidbody,angularmomentumconservationlaw)一、刚体（绕固定轴）的角动量第十一页，共二十五页，2022年，8月28日一、刚体（绕固定轴）的角动量推证：由质点的角动量故质点系的角动量刚体的角动量因为对刚体来说又因知：ω第十二页，共二十五页，2022年，8月28日三、刚体（绕固定轴）的角动量定理1.微分式2.积分式证：3.表述相对于给定的转轴，作用在刚体上的角冲量等于刚体的角动量的增量。二、角冲量(angularimpulse)（冲量矩(momentofimpulse)）1.定义2.单位由转动定律(angularmomentumtheoremofrigidbodyaboutaffixedaxis)第十三页，共二十五页，2022年，8月28日四、对定轴的角动量守恒定律当作用在刚体上的合外力矩为零时，刚体的角动量保持不变。表述：1.

普适。自然界中三大守恒定律之一。说明：3.由角动量守恒定律可知当M=0时，若

J

不变，则ω不变。当M=0时，2.定律也适用于绕定轴转动的非刚体或由几个物体组成的系统。当时，(angularmomentumconservationlawaboutaffixedaxis)第十四页，共二十五页，2022年，8月28日角动量守恒定律应用实例应用实例（1）人站在转台上的角动量守恒演示第十五页，共二十五页，2022年，8月28日角动量守恒定律应用实例应用实例（3）直升机的螺旋浆直升机的螺旋浆旋转时，根据角动量守恒定律可知，机身将会产生反向旋转。为此，直升机一般均采用加装尾浆或双螺旋浆结构。第十六页，共二十五页，2022年，8月28日角动量守恒定律应用实例——直升机的双浆第十七页，共二十五页，2022年，8月28日用于轮船导航、控制导弹飞行。角动量守恒定律应用实例应用实例（3）悬在常平架上的回转仪第十八页，共二十五页，2022年，8月28日长为L、质量为M的均匀杆，一端挂在一个水平光滑轴上而静止在竖直位置。一质量为m的子弹以水平速度v0

，射入杆的下端并嵌于其中。求杆和子弹开始一起运动时的角速度。例5.11(P273)L解：因子弹射入杆并和杆一起运动所经历的时间极短，故杆的位置基本不变。选子弹和杆为系统，则碰撞过程中解得因子弹嵌入杆中和杆一起运动的速度v=ωl，故有——系统所受合外力矩为零，系统角动量守恒。（系统在水平方向动量是否守恒？为什么？）第十九页，共二十五页，2022年，8月28日*§5.7

陀螺的进动(precessionofatop)陀螺在绕自身对称高速旋转时，在重力矩作用下，其对称轴还将绕竖直轴OZ回转，这种现象称为进动。一、进动(precession)2.进动角速度1.定义(precessionangularvelocity)第二十页，共二十五页，2022年，8月28日二、进动应用实例2.弹筒的来复线的作用炮弹的引爆需要弹头击中目标，炮弹前进过程所受空气阻力一般不通过质心，所以炮弹有可能翻转。1.炮弹的运动使炮弹绕自己的对称轴迅速旋转，空气阻力对炮弹产生一个阻力矩，使炮弹的自转轴绕阻力的作用线即弹道产生进动，从而使自转轴与前进方向不会有太大的偏离。第二十一页，共二十五页，2022年，8月28日三、回转仪的进动回转仪绕其自转轴转动的角动量为L0，当平衡重物在杠杆上左、右移动时，回转仪将受到外力矩的作用，方向垂直与L0

，回转仪的角动量将改变ΔL

，方向与外力矩相同，也垂直与L0

，因而杆将在水平面内绕竖直轴转动起来。回转效应。第二十二页，共二十五页，2022年，8月28日小结一、力矩的功3.恒力矩的功2.变力矩的功4.功率2.刚体的转动动能1.刚体的重力势能二、刚体的机械能3.机械能守恒定律1.力矩的元功若A外+A非保内=0，则E=EK+EP=恒量。第二十三页，共二十五