信号与系统教程45讲北邮第四章

第四章连续时间信号与系统的复(s)频域分析频域分析法的局限性2）有些函数FT不存在[如f(t)=et(t)>0时]1）只能求yzs(t)3）某些简单函数的FT形式复杂[如(t)()+1/j]频域分析法中基本变量为，ejt为基本信号。

连续系统的复(S)频域分析(拉普拉斯变换)s(复频)域分析中基本变量为s=+j，

est为基本信号1)2)很多傅里叶变换不存在的函数f(t)，存在拉普拉斯变换。3）很多函数的LT的形式简单[如(t)

1/s]4.1连续时间信号的复频域分析拉普拉斯变换4.1.1从傅里叶变换(FT)到拉普拉斯变换(LT)FT存在的充分条件当函数f(t)

[如f(t)=et(t)>0时]不满足绝对可积条件时其FT不存在[特殊函数如1、(t)、Sgn(t)等除外]

。

双边拉普拉斯变换对ℱ[f(t)et

]存在

F(s)称为f(t)的双边拉普拉斯(正)变换[

或称f(t)的象函数]时间函数f(t)称为F(s)的双边拉普拉斯逆变换[或称F(s)原函数]双边拉普拉斯变换对单边拉普拉斯变换对简写为F(s)=ℒ[f(t)]

f(t)

=

ℒ1[F(s)]

简记为f(t)

F(s)4.1.2双边拉普拉斯变换的收敛域

收敛域的概念：例1：求因果信号f1(t)=et(t)的拉斯变换(为实数)因果信号收敛域应满足>=0(即收敛轴的右边区域)或写为Re[s]=

>=0收敛坐标0=收敛轴j例2：求反因果信号f2(t)=et

(t)的拉斯变换(为实数)反因果信号收敛域应满足<=

0（即收敛轴的左边区域）收敛轴收敛坐标0=或写为Re[s]

=

<=0例3：求双边信号f(t)=et(t)+et

(–t)的拉斯变换F(s)=F1(s)+F2(s)已知：因果信号收敛域满足>反因果信号收敛域满足<双边信号当<时其拉斯变换存在，其收敛域为<Re[s]<

双边信号当时没有公共的收敛域，其拉斯变换不存在。当时

可见双边拉斯变换收敛条件比较苛刻，限制了应用。当<时4.1.3单边拉普拉斯变换的收敛域说明2：为便于研究t=0时刻发生跳变的现象,规定积分下限从0–开始。说明1：本书主要讨论单边拉斯变换，没有特殊说明均指单边拉斯变换。t01(a)t01(b)t01(c)4.1.4常用信号的单边拉普拉斯变换4.2单边拉普拉斯变换的性质信号的两种描述方法1）时域描述f(t)

2）复频域(s)域描述F(s)

本节研究在某一域中对信号进行某种运算时在另一域中所引起的效应。说明：有时应用线性性质后，收敛域不满足上述条件，其收敛域可能扩大。如ℒ[g(t–

/2)]=ℒ[(t)-

(t–

)]1、线性性质（常用）例1：求

ℒ[1–

e–t]2、时移性质（常用）注意：延时信号f(t–t0)(t–t0)是指因果信号f(t)(t)延时

t0后的信号（即延时前后信号的波形形状不变）例2：求

ℒ[e–t(t–2)

]t010t12t012例3：求ℒ[sint(t–1)

]例4：求ℒ[f(t)]t011应用线性性质和时移性质求单边周期信号的拉斯变换收敛条件|e-TS|<1(即

Re[s]

>0）等比级数，公比q=e–TS例5：求ℒ[fT(t)]…t012313、复频移(s域平移)性质（常用）例6：求

ℒ[e–tsin0t

(t)

],ℒ[e–tcos

0t

(t)

]4、尺度变换性质例7：f(t)=e–t求

ℒ[f(2t)]同时含有几种运算5、时域卷积性质(定理)[常用]例9：求ℒ[fT(t)]…t02431*=t021…t(1)8406、频域卷积性质则7、时域微分性质（常用）(时域微分和积分特性主要用于研究具有初始状态的微分方程)1)若f(t)是因果信号f(i)(0–)=0,f(n)(t)snF(s)2)ℒ[f

(n)(t)]的收敛域至少与ℒ[f

(t)]的相同，但有时可能扩大。说明常用记住8、时域积分性质说明1）ℒ[f(-n)(t)]的收敛域是Re[s]

>0与Re[s]

>0的重叠的部分t021t021t011t0(2)t0(2)(2)t0(2)(2)应用时域积分特性时注意的问题拉斯逆变换时要用例10：已知ℒ[(t)]=1/s,求ℒ例11：求图所示三角脉冲信号的LTt0t0t0

若f(t)导数的LT容易求,则可利用积分性质求f(t)的频谱9、复频域微分性质例12：求ℒ[

tet(t)]11、初值定理和终值定理1）初值定理：由F(s)直接求[

f(0+)，f(0+)，

f（n)(0+)]条件：f(t)不含(t)及其各阶导数(n)(t)[即F(s)是真分式]2）终值定理[f()是否存在可由F(s)判断]

∵终值定理取s→0的极限，∴s=0

必须在s

F(s)的收敛域内（即0<0）

常用信号的单边拉普拉斯变换4.3单边拉普拉斯反变换信号的两种描述方法1）时域描述f(t)

2）复频域(s)域描述F(s)求拉普拉斯逆变换的方法[当F(s)为s的有理分式时]2）部分分式展开法(常用,要求重点掌握的内容)1）由逆变换的公式。所谓反变换是由F(s)求原函数f(t)的过程。

常用信号的单边拉普拉斯变换信号的象函数F(s)为s的n次幂或s的有理分式一般象函数F(s)的形式为4.3.2部分分式展开法当an…a0,bm…b0均为实数，m、n

为非负整数，且m<n时令A(s)=0可求得n个根si(i=1,2,…,n)一般象函数F(s)的形式为a）si可以是单根[单实(数)根，单复(数)根]b）si可以是重根[重实根，重复根]si称为F(s)的极点1)F(s)仅含有单极点[即n个根为互不相等的单根时]求ki的方法f(t)

=ℒ1[F(s)]=ℒ1

2)F(s)含有共轭单复根(若有单复根一定共轭成对出现)时不作要求若F(s)只含一对共轭单极点,可用配平法直接利用变换对求反变换A(s)只含一对共轭复根

说明：F(s)中mn，F(s)为假分式不能直接进行分解若F(s)中m