函数的奇偶性与周期性

偶函数的图象关 对称 对于函数f(x)如果存在一个 使得当x取定义域内的 那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期． ，恒有

f(x)(x∈D)x＝a，x＝b(a<b)f(x)T＝2(b－f(x)，x∈Dx＝aB(b，0)(a≠b)f(x)是周期函T＝4|b－a|. 2．y轴3．原点对称原点对 必要不充4．(1)非零常数每一 (2)最 6．奇偶 (2015·福建)下列函数为奇函数的是( A．y＝x (2017·卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝( )f(x)Ra＝－flog1，b＝f(log4.1)，c＝f(208)a，b，c 小关系为

)f(x)R20<x<1时，f(x)＝4 解：f(x)2f(x)＝f(x＋2)f(x)f(x)＝－f(－x) ＝－f(－1)f(1)＝0f＝f＝－f＝－42＝－2f＋f(1)＝－2.

类型一；xf(x)＝|x＋3|3f(x)＝9－x2＋f(x)＝loga(x＋x2＋1)(a>0解：(1)定义域要 f(x)不具有奇偶性．(2)解法一(定义法)x＞0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1，－x＞0，f(x)为奇函数．由

得－2≤x≤2xx所以f(x)＝（x＋3）－ 3x

f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0.f(－x)＋f(x)＝loga[－x＋（－x）2＋1]＋loga(x＋＝loga(x2＋1－x)＋loga(＝loga[(x2＋1－x)(函数，也不是偶函数；②f(－x)是否等于±f(x)f(x)±f(－x)＝0f（x）x的对数式或指数式的函数常用“f(－x)±f(x)＝0”来判断．(1)(2015·模拟)若函数f(x)＝

解：f(－x)＝1＋k·2－x＝2x＋k （1＋k·2）（2f(－x)＋f(x)＝0xk2＝1k＝±1.故填

..

解：由1＞0，得－1＜x＜1f(x)＝ln1的定义域为(－1，1)

—

f(x)＝ln(1＋9x2－3x)＋1.解：令1＋9x2－3x＞0x∈Rf(x)f(x)＋f(－x)＝ln(1＋9x2－3x)＋1＋ln(1＋9x2＋3x)＋1＝2f(x)f(x)－f(－x)＝ln(1＋9x2－3x)＋1－ln(1＋9x2＋3x)－1＝ln(1＋9x2－3x)20f(x)不是偶函数．f(x)不具有奇偶性．

.解：由

lg（4－x2） 22

＝－x＋x＋4＝6lg(4－x所以 已知函数

x＞0时，f(x)＝－x2＋x，－x＜0，类型二f(x)f(x)·f(x＋2)＝13. 13.用x＋2代替x得f(x＋4) 4f(x)

若f(1)＝2，则f(99)＝f(24×4＋3)＝f(3)＝13 >>

＝2x∈[4，6]时，x－4∈[0，2]f(x－4)＝x－44f(x)＝f(x－4)＝x－4.x∈(6，8]时，x－6∈(0，2]f(x－6)＝x－64f(x＋2)＝f(x－6)＝x－6.f(x)·f(x＋2)＝13，＝所以 13.＝f（x＋2）f(x)＝

【点拨】f(x＋a)·f(x)＝b(常数)2af(x)的周期(a＞0)；同理，f(x＋a)＝－f(x) a)＝ 1 2af(x)的周期 f(x)Rx＝1对称．(1)求证：f(x)4(2)f(x)＝x(0<x≤1)x∈[－5，－4]f(x)解：(1)f(x)x＝1对称，f(x＋1)＝f(1－x)f(－x)＝f(x＋2)．f(x)Rf(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，f(x)4(2)f(x)Rf(0)＝0.x∈[－1，0)时，－x∈(0，1]，f(x)＝－f(－x)＝－－x.x∈[－1，0]时，f(x)＝－－x.f(x)＝f(x＋4)＝－－x－4.从而，x∈[－5，－4]f(x)＝－－类型三(2016·七校联考)已知f(x)是奇函数，并且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是(

2x2＋1＝x－λ2x2－x＋1＋λ＝0Δ＝1－8(1＋λ)＝0

设定义在[－2，2]f(x)在区间[0，2]f(1－m)＜f(m)m的取值范围 f(1－m)＜f(m)⇔f(|1－m|)＜f(|m|)． 所以

解得－1≤m＜.故 ，

类型四 【点拨】函数f(x)在(0，2)上是增函数，根据图象的对称性及周期性，将待比较的函数值的自变量全部转(2016·重点中学二联)已知f(x＋1)是周期为2的奇函数，当－1≤x≤0时，f(x)＝－2x(x＋1)，则

解：f(x＋1)2f(x)2f(x)＝－f(2－x)， 故 22函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件f－xfx的关系，从而确定函数的奇偶性．或应用定义的等价形式

f（x）＝±1(f(x)≠0)图象法：函数的图象能够直观地反映函数的奇偶性，f(x)f(x)的图象关于原点对称；f(x)f(x)y轴对称． T已知奇(偶)函数或周期函数在定义域的某一区间内的解析式，求函数在另一区间或整体定义域内的解析式时，x0x＜1＜x3＜x＜4对奇偶函数而言或某一周期内对周期函数而言f(x)x＝0f(x)x A．y＝

解：A，CB中的函数是奇函数． )已知函数f(x)＝3－3，则 ARBRCRDR

1

1＝＝

－减函数＝增函数，函数是增函数．

4．(2016·石家庄模拟)f(x)R3

a范围为

＝ f(log14)，c＝f(log25)，则a，b，c的大小关系是 2 6．g(x)Rx<0时，g(x)＝－ln(1－x)

实数x的取值范围是(

7．若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则

f(x)R 1＋8．(2017·海口市第三次月考)设函数f(x)＝ f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围1＋＝解：f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数，且x>0时，f(x)＝x 1，故f(x)单调递增，又f(0)＝0，从而f(x＝ Rf(x)>f(2x－1)⇔x>2x－1x<1.故填

＝1＋x2 所以f(0)＝0，即b＝0.所以f(x) ax

又因为

2 2.

＋f(x)＝x＋ ＝证明：设－1＜x＜x＜1，则f(x)－f(x x1－x2＝

xx＜1xx

1＋x2＝（1＋x2）（1＋x2），1 1

得 t的取值范围为

10．f(x)R2f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤01≤x≤2f(x)＝x，x∈（0，1）， 1

的取值范围 解：因为

1

ex＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，因为2ex·e－x＝3x2≥0f(x)Rf(a－1)＋f(2a2)≤0f(2a2)≤f(1－a) 即2a＋a－1≤0，解得－1≤a≤2，故实数a的取值范围为 1．(2017·肇庆三模)在函数y＝xcosx，y＝ex＋x2，y＝lgx2－2，y＝xsinx中，偶函数的个数是 解：y＝xcosx为奇函数，y＝ex＋x2为非奇非偶函数，y＝lgx2－2与y＝xsinx为偶函数．故选B. 解：y＝sinxy＝sin(x＋1)T＝2π，y＝|sinx|T＝π，Cy＝sin|x|y＝sinx去yy轴右侧图象对折到左侧得到，故不是周期函数．C.f(2016)＋f(2 解：f(2016)＝f(3×672)＝f(0)＝0，f(2017)＝f(3×672＋1)＝f(1)＝1f(2016)＋f(2017)＝1.若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则实数 xln(x＋a＋x2)＝－xln(－x＋a＋x2)，x＋a＋x2＝1a＝1.－x＋2已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－ 2＋1)，则f(－2017)＋f(2019)的值为 解：当x≥0时，f(x＋2)＝－ 2＝f(1)＝log2＝1，f(2019)＝f(3)＝－ ＝－1f(－2017)＋f(2019)＝0.26．(2016·广西五市二联)Rf(x)x∈Rf(x)＝f(2－x)x∈(0，1] ＝.若 ，则 3 5 7 解：f(x)f(x)＝f(－x)＝f(2＋x)f(x)2

≥0f(x)在(0，1]a＝f

＋3＝f3＝f3，b＝f

f5，c＝f

7．函数f(x)＝ax2＋bsinx是定义在[a，a＋2]上的偶函数，则 解：－a＝a＋2⇒a＝－1.f(x)＝－x2＋bsinxf(x)＝f(－x)⇒2bsinx＝0x∈[－1，1]b＝0.故8(2017·合肥质检若函数f(x)(x∈R是周期为4的奇函数，且在[02上的解析式为f(x

则f4＋f6

3 π解：f(x)4f4＋f6＝f－4＋f－6＝－f4－f6＝－16＋sin6 y＝f(x)(x≠0)x∈(0，＋∞)f(1)＝0fx－2<0

所以①0＜x－2＜1或1－解①

1＋ ＜x＜0或

.解②得1－ 1＋