结构动力计算

基本要求：熟练掌握熟练掌握单自由度体系的自由振动和简谐荷载作用下的受迫振动、两个自由度体系的自由振动及主振型的正交性。掌握计算频率的近似法、阻尼对振动的影响。了解一般荷载作用下结构的动力反映（杜哈梅积分）、无限自由度体系的自由振动。结构动力计算特点和内容单自由度体系的自由振动单自由度体系的强迫振动多自由度体系的自由振动多自由度体系的强迫振动第10章结构动力计算1、结构动力计算的特点和内容动荷载(dynamicload)与静荷载(staticload)的区别动荷载：大小、方向或位置随时间而变，静荷载：大小、方向或位置不随时间而变，而且变得很快或变得很慢衡量荷载变化快慢的标准还有结构的自振频率。§10-1动力计算概述两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用动静法，建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷载内力都是时间的函数。建立的方程是微分方程。与静力计算的区别研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和方法。涉及到内外两方面的因素：结构本身的动力特性：自振频率、阻尼、振型。（自由振动）荷载的变化规律及其动力反应。（强迫振动）动力计算的内容2、动荷载及其分类动荷载的定义

结构在大小方向和作用点随时间变化的荷载作用下，质量运动加速度所引起的惯性力(innertiaforce)和荷载相比达到不可忽视的程度时的荷载称为动荷载（dynamicload）

动是绝对的；静是相对的。把荷载看成是静荷载还是动荷载应结合结构本身的动特性加以判决。动荷载的分类动荷载确定不确定风荷载地震荷载其他无法确定变化规律的荷载周期非周期简谐荷载非简谐荷载冲击荷载突加荷载其他确定规律的动荷载结构振动分析随机振动分析偏心质量m,偏心距e,匀角速度θ惯性力:P=mθ2e,其竖向分量和水平分量均为简谐荷载.θtP(t)tPt简谐荷载（harmonicload）一般周期荷载(periodicload)1）周期荷载：随时间作周期性变化。（转动电机的偏心力）2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。3）随机荷载：(非确定性荷载)荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。（如地震荷载、风荷载）

P(t)t随即荷载(randomload)PttrP突加荷载(Suddenlyappliedconstantload)P(t)ttrP爆炸荷载3、动力计算中体系的自由度(degree-of-freedom)

确定运动过程中任意时刻全部质量的位置所需独立几何参数的个数称为体系的振动自由度。

实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。计算困难，常作简化如下：

1）集中质量法(methodoflumpedmess)把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。mm>>m梁m+αm梁II2Im+αm柱厂房排架水平振动时的计算简图单自由度体系(singledegree-of-freedomsystem)三个自由度体系水平振动时的计算体系多自由度体系构架式基础顶板简化成刚性块θ(t)v(t)u(t)三个自由度三个自由度复杂体系可通过加支杆限制质量运动的办法确定体系的自由度xy(x)2）广义坐标法(generalizedcoordinate)将无限自由度体系化成有限自由度体系的另一种方法假设震动曲线

为满足位移边界条件已知函数,称为形状函数,a1,a2,…an为待定的参数（广义坐标）。烟囱底部的位移条件:于是近似设变形曲线为:n个自由度体系简支梁的位移条件y(0)=0,y(l)=0于是近似设变形曲线为:n个自由度体系3)有限元法（finiteelement）

将结构划分为有限个单元，通过单元分析得到单元刚度方程，组装成整体刚度矩阵，适当将质量分布于单元结点上，除这些点之外物体是无质量的。这样就将无限自由度系统变成一有限自由度系统。l1）对于具有集中质量的体系，其自由度数并不一定等于集中质量数，可能比它多，也可能比它少。2）体系的自由度与其超静定次数无关。3）体系的自由度决定了结构动力计算的精度。4）在几何构造分析中所说的自由度是刚体系的运动自由度，动力计算中讨论的自由度是变形体系中质量的运动自由度。一个质点两个自由度两个质点一个自由度几点注意自由度数和质量点个数有关，但没有确定关系单自由度体系动力分析的重要性①具有实际应用价值，或进行初步的估算。②多自由度体系动力分析的基础。自由振动(freevibration)：

振动过程中没有干扰力作用，振动是由初始位移或初始速度或两者共同影响下所引起的。mky(t)§10-2单自由度体系的自由振动单自由度结构体系运动方程的一般形式：

mk水平运动模型mk竖向运动模型mkm..一、自由振动微分方程的建立（依据原理：达朗伯原理）mky(t)y(t)1、刚度法(stiffnessmethod)kmymky

从力系平衡建立的自由振动微分方程

2、柔度法(flexibilitymethod)从位移协调角度建立的自由振动微分方程取振动体系为研究对象，惯性力：δ=1/k....(D’Alember’sprinciple)mkcmkcFP(t)ysy=ys+yd静平衡位

刚度法质点的位移、速度和加速度是以向下为正。

mkc位移

displacement

速度

velocity

加速度

acceleration

ysyd取质点为研究对象FP(t)FS(t)FI(t)FD(t)W振动与静位移无关，与重量无关（但与质量有关）

柔度法以弹簧端点为研究对象。分析它与质块连接点的位移kFS’(t)y由作用力和反作用力的关系FP(t)FS(t)FI(t)FD(t)W以静平衡位置为起点列平衡方程和位移方程，所得的方程均与重力无关，方程解出的是动位移方程。为书写方便，今后表示位移的符号省去下标d

，但不要忘记，它指的是动位移。（对于水平振动情况，重力并不在运动方向产生静位移，因此动位移即总位移

）与刚度法推出的运动方程相比较可见刚度法思路

利用质点在某一时刻处于动平衡状态列方程每个质点上作用有外力、惯性力和弹性恢复力，利用达朗贝尔原理

ABFP(t)k11y1k21y1ABk12y2k22y2ABABFP(t)FE1(t)FE2(t)其中

以矩阵形式表示

kij--刚度影响系数

矩阵简写为：

柔度法思路由质点在某一时刻位移状态列方程每个质点的位移由外力和惯性力引起

ABFP(t)11FP=12112FP=1221PFP=12P以矩阵形式表示

ij-柔度影响系数矩阵简写为：

可以看到有：

体系的刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵。这一结论对于任意多自由度体系都成立。二、单自由度体系自由振动单自由度体系运动方程单自由度体系自由运动方程无阻尼的自由振动(＝0)可以与考虑阻尼的情况加以对比，以便更好地了解阻尼的作用。

这种理想情况所得到的某些结果，可以相当精确地反映实际结构的一些动力特性；自由振动微分方程的解)(mk=w)sin()(aw+=tatysincos)(00www+=tvtyty)0(020=Þ=yCyycossin)(21ww+=tCtCtyy(t)ty0－y0y(t)tv0/ω－v0/ωTta－aTα/ω)(0akyym=+

..02yy=+Þw..)0(010w=Þ=vCvy

.)sin()(aw+=tatysincos)(00www+=tvtyty001vytgwa-=22020,vyaw+=0cosavαw=0sinaya=sincoscossintatawawa+=振幅:Amplitudeofvibration初始相位角:initialphaseangle无阻尼自由振动是简谐振动结构的自振周期(naturalperiod))sin()(aw+=taty)2(wp+=ty))2(sin(awpw++=ta)2sin(paw++=ta周期函数的条件:y(t+T)=y(t))sin()(aw+=taty是周期函数,且周期是:频率:(frequency)

每秒钟内的振动次数.圆频率:(circular

frequency)

2π秒内的振动次数.由此看到频率只取决于体系的质量和刚度，而与外界因素无关，是体系本身固有的属性，所以又称为固有频率（naturalfrenquency）。

自振周期计算公式的几种形式gstD=p2gW=dp2m=dp2km=p2T=wp2圆频率计算公式的几种形式：stgD=Wg=dmk=wm=d1其中δ——是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。k——使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动方向施加的力。Δst=Wδ——在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质点沿振动方向所产生的位移。计算时可根据体系的具体情况，视δ、k、Δst三则中哪一个最便于计算来选用。一些重要性质：（1）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅

a。（2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越大（频率于小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率于大）；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。（3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。W是质点的重力小阻尼的解确定体系阻尼比的方法发现

1/衰减性振动；

2/非周期性振动；

3/质点两次通过平衡位置的时间间隔相等准周期确定阻尼比的方法：称振幅的对数衰减率（常数）

令当体系由某一时刻tk，经过n个准周期后，其振幅的比值按几何级数递减。通过实测y(tk)

和y(tk+nTd)可计算阻尼比，从而确定阻尼系数c

。工程实际中阻尼比常在0.02~0.2之间，所以

图示三根单跨梁，EI=常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质量，试比较三则者的自振频率。l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm解：1）求δP=13l/165l/32P=1l/2据此可得：ω1:ω2:ω3=1:1.512:2

结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。例l/2l/2ml/2l/2k1ACBQCAQCB求图示刚架的自振频率。不计柱的质量。EIEIEI1=∞mlh13EI/h26EI/h26EI/h2k12EI/h33EI/h3例11l/32l/3ml/2lm1例例h1θ解法1：求kθ=1/hMBA=kh=MBCk1hmI=∞EIBAC1解法2：求δ例lEImk1k11k11k解：求k对于静定结构一般计算柔度系数方便。如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点都不能发生转动（如横梁刚度为无穷大的刚架)计算刚度系数方便。一端铰结的杆的侧移刚度为：两端刚结的杆的侧移刚度为：例

单层建筑结构计算简图做振动试验。在横梁处加一水平力FP=98kN，门架发生侧向位移A0=0.5厘米，然后突然释放，结构开始自由振动。测得周期Td=0.5秒，5周后测得振幅A5=0.164厘米。求阻尼系数c,并确定几周后振幅小于0.05厘米。

FP例FP(1)由于阻尼对周期影响很小，所以

FP(2)设经过na周，振幅将降到0.05厘米以下，由

强迫振动(forcedvibration)结构在荷载作用下的振动。ky(t)ymkymP(t)P(t)P(t)m弹性力－ky、惯性力和荷载P(t)之间的平衡方程为:1、简谐荷载(harmonicload)：tmFtAtAqqwqqsinsinsin22=+-tAyqsin=tytmFystqwqqwqwsin)1(1sin)1(22222-=-=单自由度体系强迫振动的微分方程特解：........mtFyyqwsin2=+..§10-3单自由度体系的强迫振动最大静位移yst（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生的位移）。特解可写为：通解可写为：设t=0时的初始位移和初始速度均为零，则：过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段；平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）按自振频率振动按荷载频率振动平稳阶段：最大动位移（振幅）为：动力系数(magnificationfactor)1023123wqb

重要的特性：当θ/ω→0时,β→1，荷载变化得很慢，可当作静荷载处理。当0<θ/ω<1时,β>1，并且随

θ/ω的增大而增大。当θ/ω→1时,β→∞。即当荷载频率接近于自振频率时，振幅会无限增大。称为“共振”。通常把0.75<θ/ω<1.25称为共振区。共振(resonance)当θ/ω>1时,β的绝对值随θ/ω的增大而减小。当θ很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。当动荷载与惯性力共线时,还有

已知m=300kg，EI=90×105N.m2,k=48EI/l3,P=20kN,θ=80s-1

求梁中点的动位移幅值及最大动力弯矩。2mEImkPsinθt2m解：1)求ω2)求β3)求ydmaxMdmax例

有一简支梁（I28b），惯性矩I=7480cm4，截面系数W=534cm3，E=2.1×104kN/cm2。在跨度中点有电动机重量Q=35kN，转速n=500r/min。由于具有偏心，转动时产生离心力P=10kN，P的竖向分量为Psinθt。忽略梁的质量，试求强迫振动的动力系数和最大挠度和最大正应力。梁长l=4m.

解：1）求自振频率和荷载频率

2）求动力系数β175.6MPaI22b3570cm4357039.739.71.35可见，对于本例，采用较小的截面的梁既可避免共振，又能获得较好的经济效益。52.3/57.4=0.91325149.2

必须特别注意，这种处理方法（比例算法）只适用于单自由度体系当动荷载作用在质点且与质点运动方向一致时的情况。对于动荷载不作用于质点的单自由度体系，以及多自由度体系，均不能采用这一方法。例2、一般荷载一般荷载作用下的动力反应可利用瞬时冲量的动力反应来推导1、瞬时冲量的动力反应设体系在t=0时静止，然后有瞬时冲量S作用。P(t)tP瞬时冲量S引起的振动可视为由初始条件引起的自由振动。由动量定理：Δtτtt't'sincos)(00www+=tvtyty2、任意荷载P(t)的动力反应P(t)tττ时刻的微分冲量对t瞬时(t>τ)引起的动力反应:初始静止状态的单自由度体系在任意荷载作用下的位移公式:(Duhamel积分)……（15-29）初始位移y0和初始速度v0不为零在任意荷载作用下的位移公式:t3、几种荷载的动力反应1）突加荷载

P(t)tPyst=P0δ=P0/mω2ysty(t)ωt0π2π3π质点围绕静力平衡位置作简谐振动ystyst2）短时荷载

P(t)tPu阶段Ⅰ(0<t<u)：与突加荷载相同：阶段Ⅱ(t>u)：无荷载，体系以t=u时刻的位移

和速度为初始条件作自由振动。sincos)(00www+=tvtyty或者直接由Duhamel积分作另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。P(t)tPP(t)tPuP(t)tPu当0<ｔ<u当ｔ>uysty(t)ωt0π2π3πωT最大动反应1）当u>T/2

最大动位移发生在阶段Ⅰ2）当u<T/2

最大动位移发生在阶段Ⅱβ=2β1/611/22动力系数反应谱(β与T和μ之间的关系曲线)3）线性渐增荷载

P(t)tP0tr这种荷载引起的动力反应同样可由Duhamel积分来求:

对于这种线性渐增荷载,其动力反应与升载时间的长短有很大的关系。其动力系数的反应谱如下：01.02.03.04.0βtrP0动力系数反应谱(spectrumofmagnificationfactor)动力系数β介乎1与2之间。如果升载很短，tr<T/4,则β接近于2,即相当于突加荷载情况。如果升载很长，tr>4T,则β接近于1,即相当于静荷载情况。常取外包虚线作为设计的依据。ty

钢筋混凝土楼板自由振动试验曲线

因为在振幅位置结构的变形速度为零（动能=0），故在振幅位置的变形势能就代表体系全部机械能。振幅随时间减小，这表明在振动过程中要产生能量的损耗。

振动过程中引起能量损耗的因素称为阻尼。阻尼(damping)对振动的影响忽略阻尼影响时所得结果能不能反映实际结构的振动规律。大体上忽略阻尼的振动规律考虑阻尼的振动规律结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。简谐荷载作用下有可能出现共振。自由振动的振幅永不衰减。自由振动的振幅逐渐衰减。共振时的振幅趋于无穷大。共振时的振幅较大但为有限值。产生阻尼的原因：结构与支承之间的外摩擦；材料之间的内摩擦；周围介质的阻力。阻尼力的确定：总与质点速度反向;大小与质点速度有如下关系：①与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。②与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。③与质点速度无关（如摩擦力）。粘滞阻尼力的分析比较简单，(因为R(t)=－Cy).其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。考虑阻尼的振动模型ykykmP(t)P(t)y动平衡方程：1、有阻尼的自由振动(阻尼比dampingratio

）)1(2-±-=xxwl0222=++wxwll)(=ltCety设解为：特征方程为：(characteristicequation)1)ξ<1（低阻尼）情况.........cae-ξωttyty低阻尼y-t曲线无阻尼y-t曲线①阻尼对自振频率的影响.

当ξ<0.2,则0.96<ωr/ω<1在工程结构问题中0.01<ξ<0.1可近似取.②阻尼对振幅的影响.振幅ae-ξωt随时间衰减.相邻两个振幅的比振幅按等比级数递减.称为振幅的对数递减率.(logarithmicdecrement)

设yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅则:经过一个周期后,相邻两振幅yk和yk+1的比值的对数为:2)ξ=1（临界阻尼）情况)1(2-±-=xxwl=-wltyy0θ0这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。工程中常用此方法测定阻尼EI=∞m

图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共计为m9.8kN

，加一水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm，然后突然卸载使结构发生水平自由振动。再测得周期T=1.5s及一个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。解：==wxk2=wxmc2=wwxm22返回例临界阻尼常数cr是ξ=1时的阻尼常数。（振与不振的分界点）(criticaldampingcoefficient)阻尼比。反映阻尼情况的基本参数。3)ξ>1强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。2、有阻尼的强迫振动①单独由v0引起的自由振动：（低阻尼体系，ξ<1）②瞬时冲量dS=Pdt=v0m所引起的振动，可视为以v0=Pdt/m，

y0=0为初始条件的自由振动：③将荷载P(t)的加载过程看作一系列瞬时冲量④总反应P(t)tτt1=cr（1）突加荷载P0低阻尼y-t曲线无阻尼y-t曲线ysty(t)ωt0π2π3π4π5πy(t)ωt0π2π3π4π5π静力平衡位置具有阻尼的体系在突加荷载作用下，最初所引起的最大位移接近于静位移yst=P0/mω2的两倍，然后逐渐衰减，最后停留在静力平衡位置。（2）简谐荷载P(t)=Fsinθt设特解为：y=Asinθt+Bcosθt代入上式得：+{Asinθt+Bcosθt}齐次解加特解得到通解：自由振动，因阻尼作用，逐渐衰减、消失。纯强迫振动，平稳振动，振幅和周期不随时间而变.结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。y=Asinθt+Bcosθt=yPsin(θt－α)振幅:yp，最大静力位移yst=F/k=F/mω2...β与频率比θ/ω和阻尼比ξ有关4.03.02.01.001.02.03.0βθ/ωξ=0ξ=0.1ξ=0.2ξ=0.3ξ=0.5ξ=1.0几点讨论：①随ξ增大β曲线渐趋平缓，特别是在θ/ω=1附近β的峰值下降的最为显著。②当θ接近ω时，β增加的

xb21=共振时

很快，ξ对β的数值影响也很大。在0.75<θ/ω<1.25(共振区)内，阻尼大大地减小了受迫振动的位移，因此,

为了研究共振时的动力反映,

阻尼的影响是不容忽略。在共振区之外阻尼对β的影响较小，可按无阻尼计算。③βmax并不发生在共振θ/ω=1时，而发生在，④由y=yPsin(θt－α)

可见，只要有阻尼位移总滞后荷载

P=Fsinθt一个相位角α，

但因ξ很小，可近似地认为：当θ<<ω时,α→0°体系振动得很慢，FI、R较小，动荷主要由

S平衡，(即P与S反向)，S与y反向，y与P基本上同步；荷载可作静荷载处理。当θ>>ω时,α→180°体系振动得很快，FI很大，S、R相对说来较小，动荷主要由FI平衡，FI与y同向，y与P反向；位移y、弹性力S，惯性力FI，阻尼力R分别为：...tqsinx21mFw2tFqsin-=kmwx22-=tymPqwqxsin2)-=tymFPI90）qqsin(2-=tkySPq),90sin(--=o当θ=ω时,α→90°由此可见：共振时（θ=ω），S与FI刚好互相平衡，βyst

有无阻尼均如此。动荷恰与阻尼力平衡，故运动呈现稳态故不会出现位移为无穷大的情况。而在无阻尼受迫振动时，因不存在阻尼力来平衡动荷载，才出现位移为无限大的现象。k=mω2=mθ2...tycycRPqq90cos(--=-=o.=－P(t)⑤强迫振动时的能量转换

振动荷载Fsinθt在振动一个周期所输入的能量.在时间段dt内在一个周期内.在时间段dt内在一个周期内.粘滞阻尼力－cy

在振动一个周期所消耗的能量....

当体系有阻尼时,振动过程中总有能量的损耗,为使振动不衰减,就必须经常补充以能量.当稳态振动时,UR=UP⑥弹性动内力幅值的计算

一般方法:由于结构的弹性内力与位移成正比，所以位移达到幅值，内力也达到幅值。将位移达到幅值时刻的荷载值和惯性力值加在结构上，按一般静力学方法求解。惯性力与位移同时达到幅值。荷载与位移无阻尼时同时达到幅值。有阻尼时位移总滞后荷载一个相位角α

。

比例算法:无阻尼单自由度体系且荷载作用在振动质点上(动荷载与惯性力共线)时，产生振幅yd的外力P为:

这意味着，在位移达到幅值时，可用βF代替惯性力和荷载的共同作用（有无阻尼均如此）。βF产生的动内力和动位移是F产生的静内力和静位移β倍。

注意：位移达幅值时，速度为零，故阻尼力为零，计算时不必考虑阻尼力。例：图示机器与基础总重量W=60kN，基础下土壤的抗压刚度系数为cz=0.6N/cm3=0.6×103kN/m3，基础底面积A=20m2。试求机器连同基础作竖向振动时

(1)自振频率；

(2)机器运转产生P0sinθt，P0=20kN，转速为400r/min。求振幅及地基最大压力。

(3)如考虑阻尼，阻尼比ξ=0.5，求振幅及地基最大压力。WP0sinθt解:(1)让振动质量向下单位位移需施加的力为：

k=czA=0.6×103×20

=12×103kN/m(2)求荷载频率求动力系数竖向振动振幅地基最大压力

(3)：求动力系数竖向振动振幅地基最大压力单自由度体系简谐荷载作用下的强迫振动(无阻尼)运动方程：mtFyyqwsin2=+..荷载幅值引起的静位移β动力系数位移稳态反应为与动荷载同频率的简谐振动。两者同时达到幅值。惯性力与位移同方向同时达到幅值。动内力计算：当动荷载作用在质点且与质点运动方向一致时，内力动力系数与位移动力系数相同。动内力幅值为：Md=βMstMst是动荷载幅值引起的静内力。当动荷载不作用在质点或与质点运动方向不一致时，内力动力系数与位移动力系数不相同。可用以下三种方法计算。稳态反应：振幅A：⑴将荷载化成作用在质点且与质点运动方向一致的荷载m(b)m()ty(c)=+(b)中质点无位移，无惯性力，按静力法计算反力。(c)所示是力作用于质点上的情况。内力及其它处位移为(b)(c)之和mlEI()ty(a)A内力动力系数与位移动力系数不相同11l⑵利用幅值方程求解位移稳态反应为与动荷载同频率的简谐振动。两者同时达到幅值。惯性力与位移同方向同时达到幅值。线弹性体系，位移达幅值时内力也达幅值稳态反应：振幅A：mlEIA振幅方程为：⑶直接建立运动方程求解。mlEI()ty柔度方程：或：mEI()ty11l动内力计算22qa82qa例：求质点稳态振幅及梁跨中动弯矩。l/2l/2al/2l/2aEICq振幅方程为：22qa4l求质点稳态振幅及梁跨中动弯矩。l/2l/2aEIC§10-4多自由度体系的自由振动

很多结构的振动问题不能按单自由度体系计算，如多层房屋的侧向振动，不等高排架的振动，柔性较大的高耸的结构在地震作用下的振动等，都应按多自由度体系计算。一、振动微分方程的建立及自振频率和主振型计算柔度法、刚度法1、柔度法y1(t)y2(t)建立振动微分方程：（建立位移协调方程）

m1、m2的位移y1(t)、

y2(t)应等于体系在当时惯性力作用下所产生的静力位移。................柔度法建立的振动微分方程δ11δ21P1=1δ12δ22P2=1频率方程：为一关于λ的二次方程。解出λ的两个根：振型方程：其中：λ=1/ω2Y1，Y2不能全为零。求得频率：频率方程和自振频率：设各质点按相同频率和初相角作简谐振动Y1，Y2是质点位移幅值........（15-40）振动微分方程体系频率的数目总等于其自由度数目主振型(normalmodeshape)频率方程：为一关于λ的二次方程。解出λ的两个根：振型方程：其中：λ=1/ω2Y1，Y2不能全为零。不能有振型方程求出Y1，Y2的解，只能求出它们的比值。第一主振型

第二主振型

频率的数目总等于其自由度数目主振型是体系由此主振型惯性力幅值所引起的静力位移。Y11Y21Y12Y22例求简支梁的自振频率和主振型。l/3l/3l/3解：1）求柔度系数P=1P=1求得频率：求得主振型：mm例求简支梁的自振频率和主振型。l/3l/3l/3mml/3另解：如果结构本身和质量分布都是对称的，则主振型不是对称就是反对称。故可取半边结构计算：1对称情况：l/91反对称情况：例：求图示体系对称振动情况下的频率。mmmEIEIEI3m3m3m3mm/2m1210.5110.8750.2511332111

Yij为正时表示质量mi的运动方向与计算柔度系数时置于其上的单位力方向相同，为负时，表示与单位力方向相反。2、刚度法：（建立力的平衡方程）两个自由度的体系y1(t)r2r1y2(t)y1(t)y2(t)r2r1r1=k11y1+k12y2r2=k21y1+k22y2质点动平衡方程:即:设:特点:1)两质点具有相同的频率和相同的相位角.2)两质点的位移在数值上随时间变化,但两者的比值始终保持不变y1(t)/y2(t)=Y1/Y2=常数.

............结构位移形状保持不变的振动形式称为主振型或振型.y1(t)y2(t)r2r1乘y1(t)k11k21乘y2(t)k12k2211r1=k11y1+k12y2r2=k21y1+k22y2kij表示使j点产生单位位移(其它点位移=0)时,在i点需施加的力(称为刚度系数).振型计算公式频率计算公式频率方程....振型方程为了得到Y1、Y2的非零解，应使系数行列式=0展开是ω2的二次方程，解得ω2

两个根为：可以证明这两个根都是正根。与ω2相应的第二振型：因为D=0，两个振型方程式线性相关的，不能求出振幅的值，只能求出其比值求与ω1相应的第一振型：

ω2的两个根均为实根；矩阵[k]为正定矩阵的充分必要条件是：它的行列式的顺序主子式全部大于零。故矩阵[k]为正定矩阵。k11k22-k12k21>0ω2的两个根均为正根；与ω2相应的第二振型：求与ω1相应的第一振型：多自由度体系能够按某个主振型自由振动的条件是：初始位移和初始速度应当与此主振型相对应。几点注意：（P26）①ρ1ρ2必具有相反的符号。②多自由度体系自振频率的个数=其自由度数，自振频率由特征方程求出。③每个自振频率相应一个主振型。主振型是多自由度体系能够按单自由度体系振动时所具有的特定形式。④自振频率和主振型是体系本身的固有特性。一般解：

在这种特定的初始条件下出现的振动，在数学上称为微分方程组的特解，其线性组合即一般解。<0>0例m2m1k2k1质量集中在楼层上m1、m2

，层间侧移刚度为k1、k2k21k111解：求刚度系数：k11=k1+k2,k21=－k2,k22k121k22=k2,k12=－k21)当m1=m2=m,k1=k2=kmkmk61803.225322=+=wmkmk38197.025321=-=w()()kmkmk02222=---ww

代入频率方程：+1)当m1=m2=m,k11=2k，k12=－ｋmkmk61803.225322=+=wmkmk38197.025321=-=w求振型：12k12111mkw--2111YY=ω1→第一主振型：Y21=1.618Y11=1第一主振型12k12211mkw--2212YY=ω2→第二主振型：Y22=－0.618Y11=1第二主振型

2)当m1=nm2,k1=nk2k11=（1+n）k2，k12=－k2求频率：求振型：如n=90时当上部质量和刚度很小时，顶部位移很大。（鞭梢效应）第一振型：第二振型：特征方程：+++y1yiynri动平衡方程：riy1yiynri应满足刚度方程kij是结构的刚度系数，使点j产生单位位移（其它点位移为零）时在点i所需施加的力。..........或：设解为：{y}={Y}sin(ωt+α)得振幅方程：([K]－ω2[M]){Y}=｛0｝得频率方程：┃[K]－ω2[M]┃＝0可求出ｎ个频率与ωｉ相应的主振型向量由([K]－ω2ｉ

[M]){Y（ｉ）}=｛0｝不过只能确定主振型的形状，而不能唯一地确定它的振幅。标准化主振型：令Y1i=1，或最大元素=1等。............例：质量集中在楼层上，层间侧移刚度如图。k11=4k/3解：1）求刚度系数：m2mmkk21=-k/3k31=0k12=-k/3k22=8k/15k32=-k/51k13=0k23=-k/5k33=k/5

刚度矩阵[K]和质量矩阵[M]：11展开得：2η3－42η2＋225η－225＝0解得：η1=1.293，η2=6.680，η3=13.0272）求频率：代入频率方程：┃[K]－ω2[M]┃＝03）求主振型：振型方程：（[K]－ω2[M]）{Y}＝0的后两式：（令Y3i=1）（a）10.5690.16311.2270.92413.3422.76

Yij为正时表示质量mi的运动方向与单位位移方向相同，为负时，表示与单位位移方向相反。利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：由刚度法振幅方程：([K]－ω2[M]){Y}=｛0｝前乘[K]－1=[δ]后得：([I]－ω2[δ]

[M]){Y}=｛0｝令λ=1/ω2([δ]

[M]－λ[I]){Y}=｛0｝得频率方程：┃[δ]

[M]－λ[I]┃=0其展开式:是关于λ的n次代数方程,先求出λi再求出频率ωi将λi代入([δ]

[M]－λi[I]){Y(i)}=｛0｝可求出n个主振型.

可见刚度法、柔度法实质上是相同的，可以互相导出。当计算体系的柔度系数方便时用柔度法（如梁）；当计算体系的刚度系数方便时用刚度法（如横梁刚度为无穷大的多层刚架）。例：质量集中在楼层上，层间侧移刚度如图。δ=1/kδ11=δ解：1）求柔度系数：m2mmk

柔度矩阵[δ]和质量矩阵[M]：P=1δ21δ31P=1δ32=4δδ22=4δP=1δ13=δδ23=4δδ33=9δδ12=δ展开得:解之:ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151三个频率为：3）求主振型：（令Y3i=1）将λ1代入振型方程：（[δ][M]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：

2）求频率：解得：同理可得第二、第三振型m1m2Y11Y21m1m2Y12Y22主振型的位移幅值恰好为相应惯性力幅值产生的静力位移。对这两种静力平衡状态应用功的互等定理：因为：ω1≠ω2主振型之间的第一正交关系一般说来，设ωi≠ωj相应的振型分别为：{y（i）}，{y（j）}由振幅方程：([K]－ω2[M]){Y}=｛0｝得：[K]{Y}=ω2[M]{Y}[K]{Y（i）}=ω2[M]{Y（i）}{Y（j）}T[K]{Y（i）}=ω2i

{Y（j）}T

[M]{Y（i）}（a）[K]{Y（j）}=ω2[M]{Y（j）}{Y（i）}T[K]{Y（j）}=ω2j

{Y（i）}T

[M]{Y（j）}（b）§10-5主振型的正交性{Y（j）}T[K]T{Y（i）}=ω2j{Y（j）}T[M]T{Y（i）}{Y（j）}T[K]{Y（i）}=ω2i

{Y（j）}T

[M]{Y（i）}（a）{Y（i）}T[K]{Y（j）}=ω2j

{Y（i）}T

[M]{Y（j）}（b）（c）=（b）转置（a）－（c）

第一正交关系：相对于质量矩阵(massmatrix)[M]来说，不同频率相应的主振型彼此是正交的;

第二正交关系：相对于刚度矩阵(stiffnessmatrix)[K]来说，不同频率相应的主振型彼此是正交的;如同一主振型定义：Mj广义质量Kj广义刚度所以：由广义刚度和广义质量求频率的公式。是单自由度体系频率公式的推广。注：①主振型的正交性是体系本身的固有特性，与外荷载无关。②利用正交性来检查主振型是否正确、来判断主振型的形状特征。用{Y（j）}T[M]前乘位移按主振型分解,可将n个耦联运动方程化成n个独立的一元方程求解④主振型正交性的物理意义：体系按某一主振型振动时，在振动过程中，其惯性力不会在其它振型上作功。因此它的能量便不会转移到别的振型上去，从而激起其它振型的振动。即各主振型可以单独出现。③利用正交关系确定位移展开公式中的系数。例：图示体系的刚度矩阵[K]和质量矩阵[M]为：解：（1）演算第一正交性。m2mmk三个主振型分别如下，演算正交性。（2）演算第二正交性。同理：同理：返回1、柔度法（忽略阻尼）因为在简谐荷载作用下，荷载频率在共振区之外，阻尼影响很小；在共振区之内时，计不计阻尼，虽对振幅影响很大，但都能反映共振现象。tPqsintPqsiny1y2....P（2）动位移的解答及讨论通解包含两部分：齐次解对应按自振频率振动的自由振动，由于阻尼而很快消失；特解对应按荷载频率振动的简谐振动是平稳阶段的纯强迫振动。

§10-6两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动（1）建立振动微分方程各简谐荷载频率相同相位相同，否则用其他方法n各自由度体系，存在n个可能的共振点设纯强迫振动解答为：代入：（3）动内力幅值的计算....

荷载、位移、惯性力同频、同相、同时达到最大。位移达到最大时，内力也达到最大。求内力时可将动荷载和惯性力的幅值作为静荷载作用于结构，用静力法求出内力，即为动内力幅值。或用叠加公式求：由Y1，Y2值可求得位移和惯性力。惯性力的幅值为：代入位移幅值方程可得求惯性力幅值的方程（直接求惯性力幅值）tPqsinl/4l/4l/2mmP1=1P2=1例：图示简支梁EI=常数,θ=0.75ω1求动位移幅值和动弯矩幅值。解：1)求柔度系数P2)作MP图，求Δ1PΔ2PP1=1P2=1P5)计算动内力I1=0.6808PPI2=0.6051P1.4119P1.4119P0.2689P0.8740PQd图1.4119P1.6808P0.6051P0.8740P0.3530Pl0.2180PlMd图6)比较动力系数

因此，多自由度体系没有统一的动力系数。2、刚度法y1(t)y2(t)在平稳阶段,各质点也作简谐振动:Y1=D1/D0Y2=D2/D0求得位移幅值Y1、Y2,计算惯性力幅值I1=m1θ2Y1I2=m2θ2Y2

。将惯性力幅值连同荷载幅值加在体系上，按静力计算方法求得动内力幅值。

....P1(t)P2(t)求图示刚架楼面处的侧移幅值，惯性力幅值和柱底截面弯矩幅值。hPsinθtmEI=∞mEI=∞EIEIEIEIh1k11k211k12k22解：1）求刚度系数2)求位移幅值3)求惯性力幅值0.10.075位移幅值P1.6P1.2P0.9P0.9PA例：m2m1k2k1质量集中在楼层上m1、m2

，层间侧移刚度为k1、k2解：荷载幅值：P1=P，P2=0，求刚度系数：k11=k1+k2,k21=－k2,k22=k2,k12=－k2当m1=m2=m,k1=k2=kmkmk61803.22532