多元函数微积分学

多元函数微积分学第一页，共四十八页，2022年，8月28日8.5多元函数的极值与最值8.6二重积分8.4复合函数与隐函数微分法第二页，共四十八页，2022年，8月28日区域（1）邻域连通的开集称为区域或开区域．（2）区域8.1预备知识第三页，共四十八页，2022年，8月28日平面方程一般式：截距式：球面方程标准式：一般式：第四页，共四十八页，2022年，8月28日练习一例1：已知平面与轴、轴、轴的截距依次为3，4，5，则平面方程为————。例2:球心为（3，4，5）半径为6的球面方程为————。第五页，共四十八页，2022年，8月28日8.2

多元函数的概念一、多元函数的定义二、二元函数的极限三、二元函数的连续性第六页，共四十八页，2022年，8月28日一、多元函数的定义定义类似地可定义三元及三元以上函数．第七页，共四十八页，2022年，8月28日1.求下列函数的定义域练习二,则2.设_______.第八页，共四十八页，2022年，8月28日二、二元函数的极限第九页，共四十八页，2022年，8月28日说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．第十页，共四十八页，2022年，8月28日定义.

设二元函数定义在D上,如果函数在D上各点处都连续,则称此函数在

D

上如果存在否则称为不连续,此时称为间断点.则称二元函数连续.连续,

三、二元函数的连续性第十一页，共四十八页，2022年，8月28日

8.3偏导数与全微分一、偏导数二、全微分第十二页，共四十八页，2022年，8月28日一、偏导数（重点）1、第十三页，共四十八页，2022年，8月28日第十四页，共四十八页，2022年，8月28日解例1求

在点处的偏导数.

例2求函数的偏导数.解第十五页，共四十八页，2022年，8月28日2、高阶偏导数纯偏导混合偏导定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.第十六页，共四十八页，2022年，8月28日解例3设求第十七页，共四十八页，2022年，8月28日例4.

求函数解

:的二阶偏导数.第十八页，共四十八页，2022年，8月28日二、全微分概念第十九页，共四十八页，2022年，8月28日例5.

计算函数在点(2,1)处的全微分.解:例6.

计算函数的全微分.解:

第二十页，共四十八页，2022年，8月28日练习三求1、设2、已知求3、求设第二十一页，共四十八页，2022年，8月28日思考：多元函数连续、可导、可微三者之间的关系？第二十二页，共四十八页，2022年，8月28日多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导第二十三页，共四十八页，2022年，8月28日

8.4复合函数与隐函数微分法一、链锁法则二、隐函数求导法则第二十四页，共四十八页，2022年，8月28日一、复合函数求导法则（链式法则）（重点）以上公式中的导数称为全导数.第二十五页，共四十八页，2022年，8月28日解第二十六页，共四十八页，2022年，8月28日第二十七页，共四十八页，2022年，8月28日解第二十八页，共四十八页，2022年，8月28日例9.设求全导数解:第二十九页，共四十八页，2022年，8月28日练习四第三十页，共四十八页，2022年，8月28日练习四答案第三十一页，共四十八页，2022年，8月28日隐函数的求导公式二、隐函数的求导法则（重点）第三十二页，共四十八页，2022年，8月28日解令则第三十三页，共四十八页，2022年，8月28日第三十四页，共四十八页，2022年，8月28日解令则第三十五页，共四十八页，2022年，8月28日1、设,求练习四2、求由方程

确定的隐函数的偏导数第三十六页，共四十八页，2022年，8月28日

8.5多元函数的极值与最值一、多元函数的极值与最值二、无条件极值（重点）

第三十七页，共四十八页，2022年，8月28日1、二元函数极值的定义一、多元函数的极值与最值第三十八页，共四十八页，2022年，8月28日(1)(2)(3)例1例２例３第三十九页，共四十八页，2022年，8月28日2、多元函数取得极值的条件第四十页，共四十八页，2022年，8月28日仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：第四十一页，共四十八页，2022年，8月28日第四十二页，共四十八页，2022年，8月28日练习五1、第四十三页，共四十八页，2022年，8月28日3、最值应用问题函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值最值可疑点驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,为极小值为最小值(大)(大)依据第四十四页，共四十八页，2022年，8月28日二、条件极值极值问题无条件极值:条件极值:对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制第四十五页，共四十八页，2022年，8月28日第四十六页，共四十八页，2022年，8月28日练习六例1、设某厂生产两产品，产量为总利润为已知这两种产品每千件均消耗原料2000公斤，现有原料12000公斤，问两种产品各生产多少时，总利润达最大？（3.