合作对策的公平分配

合作对策的公平分配第一页，共十五页，2022年，8月28日一.背景与问题

1.背景：两个实际问题：

A.沿河有三个城镇A、B、C依次从上游向下游排列。城镇的污水需经处理后方可排入河内。三镇可以单独建厂处理污水，也可以联合建厂，用管道送水（从上游向下游）集中处理。A、B的距离为20km，B、C的距离为38km。

第二页，共十五页，2022年，8月28日如果用Q表示污水的流量，L表示管道的长度，按照经验，建污水处理厂的费用为CF=73Q0.712(万元),铺设管道的费用为GF=0.66Q0.51L(万元)。已知QA=5，QB=3，QC=5，

LAB=20，LBC=38第三页，共十五页，2022年，8月28日10.从节约投资的角度出发，请给出一种最优的污水处理方案。20.如果联合建厂，各镇所分担的污水处理费用将按下述原则分摊：联合建厂时的建厂费用按每个镇处理的污水量分担；管道的费用谁用谁投资，联合使用时按污水量之比分担。计算分析上面的分摊原则是否合理？30.试给出一个合理分担污水处理费用的方案。第四页，共十五页，2022年，8月28日

解：10.污水处理费用与投资一镇单建：PA=73×50.712=230，PB=160，PC=230

二镇合建：PAB=73×80.712+0.66×50.51×20=350PAC=463，PBC=365

三镇合建：PABC=556

投资：

I.单独建厂：PI=PA+PB+PC=620IIA、B合建：PII=PAB+PC=580IIIA、C合建：PIII=PAC+PB=623

IVB、C合建：PIV=PBC+PA=595V三镇合建：PV=PABC=556

三镇合建总投资最少，较单独建厂节省64（万元）第五页，共十五页，2022年，8月28日20.费用分担建厂费PABC=556，分摊CPA=556×5/13=174,CPB=105,CPC=174.管道费GFAB=0.66×50.51×20=30,GFBC=73.分摊CGA=30+73×5/8=76,CGB=73×3/8=27总合分担

CA=CPA+CGA=174+76=250CB=CPB+CGB=105+27=132CC=CPC=174-230=20-160=-28-230=-56分摊方案中A镇吃亏,C镇占便宜,方案不公平!

第六页，共十五页，2022年，8月28日

B.A、B、C三人合作经商。单干每人可收入100元，A、B合作二人可收入700元，A、C合作二人收入500元，B、C合作收入400元，三人合作可收入1000元。问三人合作时如何合理地分配1000元的收入？

第七页，共十五页，2022年，8月28日设.三人各得x1,x2,x3(百元).则应有x1+x2+x3=10,且满足xi>1,x1+x2>7,x1+x3>5,x2+x3>4.可以有解

(5,3,2),(4,3.5,2.5),(4.5,3.5,2),(5.5,3,1.5)哪一个更合理?

2.问题：在n人合作对策中如何合理地分配效益值？第八页，共十五页，2022年，8月28日二.模型和收益分配的Shapley值

1.假设:10.N人从事某项活动.20.其中若干人的每一种合作(包括单人)都有收益.30.合作是非对抗性的(平均收益不会随合作人数的增加而降低).第九页，共十五页，2022年，8月28日

2.建模:

成员:I={1,2,…,n},

合作:I的子集SI,

收益:定义在子集类{S}上的函数v(S),满足v(Ø)=0,对于S1∩S2=Ø,有v(S1∪S2)≥v(S1)+v(S2)我们称v(S)为I上的特征函数.

分配:X={x1,…,xn},满足

第十页，共十五页，2022年，8月28日

3.收益分配的Shapley值10.Shapley公式其中|S|:S中元素的个数

20.[v(S)-v(S\i)]:在合作组S中成员{i}的作用.第十一页，共十五页，2022年，8月28日

30.φi(v)是成员{i}在各种合作组中所做的贡献的加权平均,权量为w(|S|).

令Θ表示全体成员I的一个排序,Si

为Θ的一个子集,表示Θ中以成员{i}为排尾的前面一部分成员的集合.(n-|Si|)!(|Si|-1)!则表示Θ中令{i}排在第|Si|位,Si–{i}排在前面,然后{i},然后其它成员的不同的排列数.n!表示全体成员I全部的排列数.

因此,w(|S|)表示在的所有排列Θ中选定Si后成员{i}排与第|Si|位的概率.第十二页，共十五页，2022年，8月28日合作对策4.例.三人经商

v(i)=100,i=1,2,3;v(1,2)=700,v(1,3)=500,v(2,3)=400;v(1,2,3)=1000.求φ1(v),φ2(v),φ3(v).S1(1)(1,2)(1,3)(1,2,3)v(S)1007005001000v(S\{1})0100100400v(S)-v(S\{1})100600400600|S|1223w(S)1/31/61/61/3w[v(S)-v(S\{1})]100/3100200/3200

φ1(v)=400,φ2(v)=350,φ3(v)=250第十三页，共十五页，2022年，8月28日4.例.三镇排污

v(i)=0,i=1,2,3;v(1,2)=40,v(1,3)=0,v(2,3)=25;v(1,2,3)=64.求φ1(v),φ2(v),φ3(v).S1(1)(1,2)(1,3)(1,2,3)v(S)040064v(S\{1})00025v(S)-v(S\{1}040039|S|1223w(S)1/31/61/61/3w[v(S)-v(S\{1})]040/6039/3φ1(v)=19.7,φ2(v)=32.2,φ3(v)=12.1CA=230-19.7=210.3,CB=160-32.2=127.8,CC=230-12.2=217.8第十四页，共十五页，2022年，8月28日三.公平的收益分配

I.对称性.一个分配方案应与成员的编号无关.II.有效性.对于每次合作中均无贡献者,不应从合作的效益中得到好处.III.合理性.合作收益全