高考微专题求函数值域的14种方法归纳梳理

22求函数值域的14种方法大盘点题型1观察法方法jb通过观察如f(x)ax+b+c，f(x)—ax2+b或f(x)—等函数的定义x2+a域及性质，结合函数的解析式，应用不等式性质，可直接求得函数的值域。步骤第1步：观察函数中的特殊函数；第2步：利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域例题1函数f(x)=1_xj_x)的最大值是()A.B.A.B.4D.解析】第一步，观察函数中的特殊函数f(f(x)=11-x(1-x)第二步，利用二次函数的最值和不等式得到函数的值域：(x—2)2+4—4，所以f(x)的最大值是3，选d.变式1函数f(x)=3+\.：2-3x的值域为()。A、［0,+a)B、［1,+a)C、［2,+8)D、［3,+8)【解析-3x>0，故3+72-3x>3,Af(x)值域为［3,+8)，选D。题型2单调性法方法单调性法是求函数值域的常用方法，就是利用我们所学的基本初等函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域.步骤第1步：确定函数的定义域；第2步：求出函数的单调区间；第3步：确定函数的值域或最值.例题2求函数y」x+1-\；x-1的值域。

【解析】y=.，x—1，x+1八：x—1都是增函数'故y=\：x+1—、；x—1x+1+、：x—1是减函数，因此当x=1时，y=\/2，又Ty>0y上2~|max」变式1求函数f(x)二log丄(x2-3x+5)(0<x<2)的值域.2【解析】第1步，将函数化成基本初等函数f6)=logix的形式:令卩令卩=x2—3x+5(0<x<2)，所以y=log卩2第2步，讨论函数R=x2—3x+5(0<x<2)的单调性:因为卩=x2-3x+5；33第3步，讨论函数flog(x2—3x+5)的单调性:所以卩=x2第3步，讨论函数flog(x2—3x+5)的单调性:12又因为y=log1卩在定义域上是减函数;2—3x+2—3x+5^在c33心0,—2上是增函数，在—,22上是减函数；第四步，根据单调性得出函数的最值，进而得出值域：1111所以f1111所以f=log-r，f.二log5，所以函数的值域为log5,log〒。max一14min122(1、-x2+(1、-x2+2变式2求函数y二-12丿x的值域【解析】第1步，将函数化成基本初等函数f(x)=f1x的形式：(1\令卩=一x2+2x，所以y=—k2丿第2步，讨论函数卩=—x2+2x的单调性：因为卩=—x2+2x；所以卩=—x2+2x在［—8,1］上是增函数，在1,+，上是减函数;(1、(1、一x2+2第3步，讨论函数y=-k2丿的单调性：又因为y=-k2丿(1、卩在定义域上是减函数;TOC\o"1-5"\h\z(1、-x2+2x「［「［所以y二-在Jg,l」上是减函数，在1,+^」上是增函数;12丿第四步,根据单调性得出函数的最值,进而得出值域：\o"CurrentDocument"/1「1_所以f，所以函数的值域为-，+8。min-2变式3求函数f(x)=€5-2x+\x2-4x-12的值域.解析】，解得x<-2，在此定义域内函数是单解析】x>6或x<-2调递减，所以当x=-2时，函数取得最小值，f(-2)=3，所以函数的值域是「3,+8)2x2-x-3变式4已知丄一^<0，且满足x+y=1，则函数z=xy+3x的值域为()。3x2+x+11513A、［-5,］B、［-2,二］C、(-1,1)D、(M，+a)4223【解析】•・•3x2+x+1>。，则原式与2x2-x-3<0同解，解之得-1<x<-又x又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x=-(x-2)2+4且xg［-1,|］3函数z在区间［-1，2］上连续且单调递增，故只需比较边界的大小,当x=-1时，z=-5；当x=2时，z=15…••函数z的值域为［-丐］，选A变式5函数f(x)对于任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时,f(x)>0，f(-1)=一2，求函数f(x)在区间［-2,1］上的值域。【解析】设x<x，x-x>0,・.•当x>0时，f(x)>0,.・.f(x-x)>0122121，f(x)=f(x-x+x)=f(x-x)+f(x).f(x)-f(x)=f(x-x)>02211211。2121・•・f(x2)>f(x1)ay=f(x)为增函数令x=y=0af(0)=0

令y二—x二0af(0)二f(x)+f(-x)af(x)+f(-x)二0・•・y二f(x)为奇函数，:.f(i)二-f(—i)二2f(-2)二f(-1)+f(-1)二2f(-1)二-4・•・y二f(x)在区间［-2,1］上的值域为［-4,2］题型3奇偶性法方法适用于一些解析式非常复杂，但是经过整理后有一定规律的函数，或是抽象函数；在求函数最值的问题中，可以利用奇偶性直接得出答案；步骤第1步：凑出奇或偶的代数式第2步：根据奇偶性性质解题例题3若申(x),g(x)都是奇函数，f(x)=a叩(x)+b-g(x)+2在(0,+a)上有最大值5,则f(x)在(—8,0)上有()A.最小值-5B.最大值-5C.最小值-1D.最大值-3【解析】申(x)、g(x)为奇函数，・•・/(x)-2=W(x)+bg(x)为奇函数.又f(x)有最大值5,・•・一2在(0,+^)上有最大值3.f(x)一2在(-g,0)上有最小值一3,・.f(x)在(-3,0)上有最小值一1,选C变式1设函数f变式1设函数f(x)=x3+|x|+2x2+x2x2+x的最大值为M,最小值为m，则M+m=【解析】2TOC\o"1-5"\h\z变式2设函数f(x)=(x1sinx的最大值为M,最小值为m,则M+m=.%21【解析】显然函数f(x)的定义域为R,f(x)=3=1+^^,%21尤21设g(x)=M~,则g(-x)=-g(x),・g(x)为奇函数，尤21由奇函数图象的对称性知g(x)+g(x)=0,maxmin・M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]mn=2+g(x)max+g(x)mn=2.maxminmaxminmaxmaxmaxmax变式3已知函数f(x)和g(x)均为奇函数，h(x)=af(x)+bg(x)+2在区间(0,+a)上有最大值5,那么h(x)在(―①0)上的最小值为()A.－5B.－3C.－1D.5【解析】令F(x)=h(x)—2=af(x)+bg(x),所以F(x)为奇函数,(0,+a)(0,+a)时,h(x)<5F(x)=h(x)—2<3，又xe(—o),0)时,(0,+8),F(—x)<3nF(x)\—3，.:h(x)\—3+2=—1，故选c.变式4已知f(x)=ax3+bx9+2在区间(0,皿)上有最大值5,那么f(x)在(一8,0)上的最小值为【解析】因为f(x)=ax3+bx9+2中ax3+bx9为奇函数关于(0,0)对称，故f(x)=ax3+bx9+2关于(0,2)对称，又f(x)在区间(0,申)上有最大值5,故f(x)在(—8,0)上的最小值为2x2—5=—1变式5已知函数f(x)和g(x)均为奇函数，h(x)=a-f3(x)—b-g(x)—2在区间(0,+8)上有最大值5,那么h(x)在(—8,0)上的最小值为【解析】・・•f(x)和g(x)均为奇函数，・・・h(x)h(x)4，•:h(x)在(，0)上的最小+-=--DO值是459，故选B.变式6—已知函数f(x)和g(x)均为奇函数,h(x)=a•(f(x)》一b•g(x)—2?在区间(0,+8)上有最大值5,那么h(x)在(—8,0)上的最小值为【解析】由h(x)=a(f(x)>—bg(x)—2得h(x)+2=a(f(x)>—bg(x)，令p(x)=h(x)+2=a(f(x))—bg(x)，则p(—x)=a(f(—x)}—bg(—x)=—a(f(x)}—bg(x)]=—p(x)，.・.p(x)为奇函数.・.•h(x)=a•(f(x)>—b•g(x)—2在区间(0,+上有最大值5，.・.h(x)=a•f3(x)—b•g(x)—2=5，.・.h(x)+2=7，即申(x)=7.

£)=h(x)+2是奇函数，.•・w(x)=h(x)+2=—7h(x)=—9.故选bminminminx2+cosx—sinx+1变式7函数f(x)=(xeR)最大值为M,最小值为m,M+m=x2+cosx+1【解析】f(x)=1—ssnx,,y=—ssnx.为奇函数，・•・f(x)图象关于点(0,1)X2+COSx+1x2+COSx+1对称，最大值对应点与最小值对应点关于点(0,1)对称，・•・MI“=1，即M+m=2题型4配方法方法型如f(x)=ax2+bx+c(a丰0)型或可转化为一次型的函数，用此种方法，注意自变量x的范围。步骤第1步：配方；第2步：借助图像或利用二次函数的顶点坐标公式，确定函数的最值或边界点的函数值；第3步：结合二次函数的图像与性质，求得值域.小结若二次函数图像的顶点在定义域对应的区间内，则顶点的纵坐标一定是函数的一个最值，此外，若定义域为开区间，则函数可能没有最值.变式1定义在R上的函数f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)的值域是【解析】第一步，将函数配方成y=a(x—b)2+c由f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)=Cx2+5x+4)(x2+5x+6)=Cx2+5x>+10C+5x)+24=Cx2+5x+5)一1第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域：因为x2+5因为x2+5x+5=—4-—I，儿+5x+5所以)2—1>—1即函数f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)的值域是「1，+a)25变式2函数y=x2-3x-4的定义域是［0,m］，值域为［-—,—4］，求m的范围33【解析】因二次函数y=x2-3x-4的对称轴为x二㊁，且x二0时,函数值y=-4,当x二-253时,y二-N，因此当X二3时，y=—4.故当-<m<3变式3已知函数f(X)=d+x+、'：］-x.求函数f(x)的定义域和值域；a设F(x)=-•/-(x)-2+/(x)(a为实数)，求F(x)在a<0时的最大值g(a)；-对(2)中g(a)，若-m2+2tm+、：'-<g(a)对a<0所有的实数a及te［-1,1］恒成立，求实数m的取值范围.【解析】(1)由1+x>0且1-x>0，得-31,所以定义域为［-1,1］又f(x)2=2+2jl-x2e[2,4],由f(x)>0得值域为[J2,2]a(2a(2)因为F(x)=_•f2(x)-2+2f(x)=a1—x2+1+x+、：1—x令t=f(x)=、；1+x+*1—x,贝y人；1—x2=12—12F(x)=m(t)=a(—t2—1)+t=at2+1—a,te[t2,2]22由题意知g(a)即为函数m(t)=-at2+1-a,te[J2,2]的最大值注意到直线t=--是抛物线m(t)=-at2+1-a的对称轴a2因为a<0时，函数y=m(t),te［\22］的图象是开口向下的抛物线的一段若t=-丄若t=-丄e(0,迈],a若t=--eS'2,2],a若t=-—e(2,+w),a综上有g(a)=<a+2,1-a-——2a迥,#贝9g(a)=mG'2)=、辽2111即-<a<—则g(a)=m(-)=-a--22a2a即一1<a<0则g(a)=m(2)=a+221a>-—2迈1,—<a<——,22a<--2(3)易得g(a)=\Q，由-m2+2tm+f'2<g(a)对a<0恒成立，min即要使-m2+2tm+迈<g(a)=空2恒成立，min

nm2-2tm>0，令h(t)=—2mt+m2，对所有的th(t)>0成立,\h(-1)=2m+m2>0宀卡c卡c只需\,求出m的取值范围是m<-2,或m=0,或m>2[h(1)=-2m+m2>0例题4题型5分离常数法例题4方法1、型如f(x)=cx±d时，可化简成f(x)=k+-^的格式ax+bax+b2、型如f(x)=ax2+bx+c的函数，可化简成f(x)=k+—-格式dx2+ex+fdx2+ex+f步骤第1步：将函数关系式分子中含x的项分离，即使分子不含x项；第2步：确定分离后的函数关系式的单调性；第3步：借助函数的单调性，求的函数的值域.小结若分离较为困难，则可将分子或分母设为一个整体，用一个字母代替及换兀再分离常数.2x-3(1)求函数y=冇的值域•(2)已知函数f(x)=口1，求f(x)的值域.x+2【解析】由题函数的定义域为{xIx丰3}272x-3

—3x+12x-3

—3x+13-3x+133-3x+12故函数的值域为{yIy丰一j}(2)【分析】f(x)=少=1--—，化简后求值域.x+2x+2【解析】f(x)==1—，又丰0,1-丰1，即f(x)丰1.x+2x+2x+2x+2则f(x)的.值域为{yIy丰1}•变式1(1)求下列函数的值域：y=亠3(x>1).x+1(2)求函数y=3-x的值域.2x-1【解析】丁=込=2丄，Vx>1,2V2丄<2丄=5,x1x1x122・・・尸管(x>l)的值域为(2,44444变式2⑴求下列函数的值域：y=記(2)求函数y=5x2(2)求函数y=5x2+9x+4X2-1的值域．【解析】Ty=2x13x2畑2)——33x27-3-，3x273~3x273~3x2乂x2-1^0,即xt±l,・：y*5且yH1；2・•・函数的值域是｛加5且叱｝.工0,故yH2,故函数y=的值域为：｛ylyH2｝,33x23=5(咒21)9咒9=59尤21%1变式3(1)求函数y=X2-2X的值域.x2-2x+3(2)求函数f(x)=2x2二1的值域.x2+3【解析】y=迄趣【解析】y=迄趣%22%33%22%33(%1)22V(x-1)2+2>2,A一1—G(0,1],・・・yG[1,1),所以函数的值域为[1，1).(%1)22222【解析】T/'(x)=—=2J，又x2+3>3,尤23尤23.•.亠G(0,!],即/(%)£[1,2).・・・函数的值域是[1,2).尤23333题型6换元法方法此种方法适用于求根式形函数或形式较为复杂的函数的值域步骤第1步：将函数关系式中的部分项视为一个整体用新兀表示；第2步：换元转化为基本函数，如二次函数，一次函数等，第3步：借助基本函数的单调性，求得函数的值域小结换兀后要注意新兀的取值范围，换兀法求函数值域，其实质是等价转换的思想方法例题5求y=2x-、、：x-1函数的值域：【分析】利用换元法，需要注意x的取值范围.【解析】换元法：令t=\：x-1,(t>0),则y=2x-、x-1=2t2+2-1=2(t-)2+>15，当t=时取等号，故其值域为［口,+»),48848

变式1求下列函数的值域．(1)y=2x-2+、；4x-13(2)y=x+5+t—x2-2x+4(3)y=x+4\1-x.(1)【分析】函数y=2x-2+V4x—13可得函数的定义域为严,+8).令~4x—13=t>0，4解得％=¥.转化为关于t的二次函数的单调性即可得出.4【解析】函数y=2x-2+^4%—13可得函数的定义域为严,+8).4令“4%—13=t>0，解得％=以十13.4.・.y=f(t)=12±13—2+t=1(t+1)2+4>f(0)=9,222.•函数y=2x-2+V4x—13的值域为[9,+8).2[解析】由y=x+5+V—X2—2%+4得:y-x-5=V—%2—2%+4,故x2+y2+25-2xy+10x-10y=-x2-2x+4,即2x2+(12-2y)x+y2-10y+21=0,由厶=(12-2y)2-8(y2-10y+21)>0得：y2-8y+6<0，解得：yW[4—V10,4+V10],故函数y=x+5+V—X2—2%+4的值域为[4—V10,4+V10].(3)换元法(代数换元法)：设r=V1—%>0,则x=1-t2,••原函数可化为y=1-t2+4t=-(t-2)2+5(t>0),.・.y<5,.・.原函数值域为(-<»,5].变式2求函数f(x)=4x-2x+1-3,xe[-1,1]的值域..【解析】第1步,变化函数为二次函数的形式f(x)=4x-2x+1-3:.f(x)=(2x)-2•2x-3，设t=2x，:.f(t)=12-2t-3=(t-1)2-4第2步，求出换元后函数的定义域：•・•xG[-l,l],・・.tg[0,2]第3步，结合二次函数的性质得出函数的值域：可得f(t)e[-4,-3],综上所述：函数的值域为[-4,-3].变式3已知函数f(变式3已知函数f(x)=(¥

logxI4丿-logx+5,4x±4],求f(x)的最大值及最小值.【解析】令t=log丄x4・・・x±4],t=log^x在定义域递减有log丄4<log丄x<log丄2

・・・te-1'-2,••f()=t2-1+5=(1\・・・te-1'-2,••f()=t2-1+5=(1\21911t-+，te-1,——2J42f(x)取最大值7.例题6利用判别式求函数y=xX2一3f(x)取最大值7.例题6利用判别式求函数y=xX2一3x+1的值域．解析】函数y=xX2一3x+1当x=0时，y=0；方法ax2斗bx斗c|'型如f(x)——11(a1>a2不冋时为零)及f(x)—ax+b土乜cx2+dx+eax2+bx+c12222的函数求值域，通常把其转化成关于x的一元二次方程F(x,y)—0，由判别式A>0，求得y的取值范围，即为原函数的值域。步骤第1步：将含x的式子用y表示，第2步：借助含x的式子得出关于y的不等式，第3步：解关于y的不等式既得函数的值域小结判别式法常借助含x的式子的有界性得到关于y的不等式.当y丰0时，原函数化为yx2-(3y+1)x+y=0,••判别式厶=(3y+1)2-4y2>0,即5y2+6y+1>0；解得y<-1,或y>--,综上，函数y的值域是{yly<-1,或y>-5}.变式1求函数的值域：y—2x2-x+2.x2+x+1【解析】判别式法：•••x2+x+1>0恒成立，.•.函数的定义域为R.由y=2Qx2_得：(y-2)x2+(y+1)x+y-2=0①%2%1当y-2=0即y=2时，①即3x+0=0,・.x=0WR当y-2^0即y工2时，xWR时方程(y-2)x2+(y+1)x+y-2=0恒有实根,△=(y+1)2-4x(y-2)2>0,.・l<y<5且y工2,•原函数的值域为[1，5].变式变式2求函数的值域：y=(x2-x+3)一(x2-x+1).变式变式2求函数的值域：y=(x2-x+3)一(x2-x+1).【解析】(1)°・°函数y=—，定义域为R,・：当y=1时，3=1不成立;%2%1当y^l时，原函数化为(y-1)x2-(y-1)x+y-3=0,•°•判别式厶=(y-1)2-4(y-1)(y-3)>0,即(y-1)(3y-11)<0，解得lWy^11，但y^l,3综上，函数y的值域是{ylKyY11}3题型8分段函数法方法此种方法适合用与含绝对值符号的函数.步骤第1步：在数轴上标出零点(使各个绝对值为0的取值)；第2步：分类讨论去掉绝对值符号；第3步：在每一段上依据单调性求出函数的值域，取并集得函数的值域.小结绝对值符号去对是关键.例题7求函数的值域：y=1x-11+1x+41.—2x一3(x屋-—)【解析】数形结合法：y=1x-11+1x+4I=<5(——4qx<1)1)2x+3(xx壬)1)y>5,.••函数值域为［5，+8)变式1已知函数心=〔：-::倉囂；)，求心的值域•,、(X24x=(x【解析】f(x)={x26兀=1240<%<3292<x<0；••・0<x<3时，f(x)曰-4,0]；-2<x<0时，f(x)曰-8,O]；・\f(x)的值域为[-8,0].变式2求函数y=2x-4IxI-3(-3<x<3)的值域.【解析】0<xV3时，y=2x-4x-3=-2x-3,-3VxV0时，y=2x+4x-3=6x-3,.°.函数的值域是：(-21,-3].变式3函数f(x)=Ix+1I+f(x-2)2的值域为()。A、[0,+8A、[0,+8)B、[1,+8)C、[2,+8)D、[3,+8)—2x+1,x<—1【解析】原函数化为f(x)=<3,-1<x<2，其图像如图，原函数值域为［3,+8)，选Do2x一1,x>2题型9反函数法方法1、直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。2、直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。步骤第1步：求已知函数的反函数；第2步：求反函数的定义域；第3步：利用反函数的定义域是原函数的值域的关系即可求出原函数值域3x+4例题8函数f(x)=-——-值域为5x+6【解析】设y=，贝y5xy+6y=3x+-nx=，分母不等于0,即y丰35x+63—5y5即函数f即函数f(x)的值域为(—8,335)(尹8)。ex—1变式1函数f(x)=-的值域为ex+1【解析】设y=竺二1，由原式得ex=M>0,・•・—1<y<1，即函数f(x)的值域为(-1,1)ex+11—y变式2设f-1(x)为f(x)=2x-2+2，xe［0,2］反函数，y=f(x)+f-1(x)最大值为【解析】第一步，先判定函数f。)=2x-2+1在区间b,2〕上是单调递增的；第二步，求出函数fC)=2x-2+2的值域］-，2］第三步，根据反函数的性质得出反函数y=f-1(x)在扌，为增函数；

・•・y=f(x)+f-1(x)在4,为增函数；y=f(x)+f-1(x)最大为f(2)+f-i(2)=4题型10不等式法方法b1、型如f(x)=时，直接应用不等式性质。x2+k2、⑴型如f(x)=x+—x若x〉0，则f(x)>2(当且仅当x=1即当x=1时取“=”)，x若x<0，则f(x)<-2(当且仅当x=丄即x=-1时取“=”)；xb(2)型如f(x)=ax+—(a〉0，b〉0):x若x〉0，则f(x)>2JO—(仅当ax=-即x=J—时取“=")x\ai——ib若x<0，则f(x)<-2&b(仅当ax=-即x=-i-时取“二”)x\a3、型如f(x)—i时，应先应用分离常数法化简成f(x)—a(x+b)++dx+bx+b的格式，再利用均值不等式求值域。4、型如f(x)——bx一时，应讨论x—0时f(x)的值域，再讨论x丰0化简成x2+mx+nbf(x)—一b一型，最后利用均值不等式求值域。nx++mx步骤ex+fax2+bx+c第i步：观察函数解析式的形式，型如y-—或y—的函数；ax2+bx+cex+fb第2步：对函数进行配凑成y—ax+—形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而x得到函数的值域.例题9已知x>5，求函数f(x)=X丁打5的最小值.22x-4解析】第rH解析】第rH步，将函数解析式化成f6)=x+纟的形式:5小门r()x2一4x+5(x一2》+1(x一2)12x-4因为x>，所以x一2>0，所以f(x)=2x-4=2(x-2)=~^+盂一2)；

第二步，利用基本不等式求函数最小值：2x-4f(xW+加2严1-(f(xW+加2严2XE=1'当且仅当丁=E'即x二3时等号成立。因为X=3在定义域内，所以最小值为1.9变式1已知函数f(x)二x+(0<x<3)，求f(x)的值域.X+1【解析】第一步，将函数解析式化成fC)=x+a的形式：x因为0<x<3，所以x+1>0；所以f(JC)-x+9-(JC+x+1x+1第二步，利用基本不等式求函数最小值：f(x)-(x+1)+岛-122Z1)x岛-1-5，仅当x+1-岛，即x-2等号成立。因为x-2在定义域内，所以最小值为5.x2+5变式2求y-的最小值；x2+4x2+4+1I~1【解析】由题意得，y-.-'、：x2+4x2+4v；x2+4令t-丫x2+4(t22)，则y-1+1，t15又当122时，函数y-1+单调递增，.•.当t-2时，y有最小值，且最小值为a，t2x2+55故y-的最小值是恳vx2+4211变式3已知m>2，n>0，m+n-3，贝y+—变式3m-2nA．3BA．3B．4C．5D．6【解析】因为m>2，n>0，m+n-3，所以m-2+n-1，1m-2(1m-2(m-2+n)-2+n+

m-2m-222+2-4，即m-2,即m-2,n-2时取等号，故选：B.且m+n-3，n题型11有界性法方法asinx+bacosx+by=.』（或y=』）型，解出sinx（或cosx）,利用csinx+dcosx+dsinx<1或cosx<1去解；或用分离常数的方法去解决。asinx+bacosx+b.z、zxy=丿（或y=.』）型，可化归为sin（x+9）=g（y）ccosx+dcsinx+d去处理；或用万能公式换兀后用判别式去处理；当a=c时，还可利用数形结合的方法去处理上。步骤第1步：反解出有界性表达式第2步：解不等式2cosx+1例题io求函数y二的值域2cosx—1acosx+b【解析】此为y=型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同ccosx—d角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解.或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解.法一：原函数变形为y二1+盘吕，丁lcosx'1，可直接得到：y'3或y'1•/|cosx|<法二：原函数变形为cos•/|cosx|<法二：原函数变形为cosx=1<i,.yn3或y<3-sinx—1

变式1求函数y=的最大值和最小值.cosx—2【分析】函数式为分数形式，转化为以函数y为主元的不等式，在利用正（余）弦有界性。解析】由已知得ycosx—2y=sinx—1，即sinx—ycosx=1—2y那么，得\：y2+1-sin(x+p)=1—2y(其中®角的正切值tan9=y)所以，sin(x+9)=，因为|sin(x+9)|<1，因而有<1“2+1|v'y2+1|44将其化简得到3y2―4y<0，解得0<y<，因此，y=，y.=0.3max3min-1-1-1-1题型12数形结合法方法利用函数所表示的几何意义，借助于图象的直观性来求函数的值域，是一种常见的方法，如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键。步骤第1步：作出函数在定义域范围内的图像；第2步：利用函数的图像求出函数的值域.3一sinx例题11求函数y=的值域.2一cosx【解析】第1步，将函数解析式转化成两点间的直线的斜率由题意可得：函数可看成定点6，）到动点Cosx,sinx）的斜率又动点（cosx,sinx）在单位圆上，所以问题转化为求定点（2,3）到单位圆连线斜率的问题。第2步，根据直线与圆相切得出函数的值域设直线的方程为y一3=k（x一2）,所以kx—y—2k+3=0-2k+3|因为直线与圆相切，所以1=占所以函数的值域为：变式1求函数f(x)=ln(\：X2+X+1-7X2—X+1)的值域.ZN-3-2-1P【解析】第1步：求函数的定义壤，对数式应满足真数大于0：所以由£x2+x+1一订x2—x+1>0得x>0，所以函数/（x）的定义域是（0,+3）,第2步:求真数的取值范围,进而求出函数的值域:设点第2步:求真数的取值范围,进而求出函数的值域:设点P(x,0),M-［，芈,N2，£=PM|—|PN|<|