离散型随机变量的分布列

第一章概率与统计1.1离散型随机变量的分布列第一课时2006年4月12日1．随机变量的意义

先看下面的问题．（1）某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，……，命中10环等结果，即可能出现的结果可以由0，1，……，10这11个数表示．（2）某次产品检验，在可能含有次品的100件产品中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件，即可能出现的结果可以由0，1，2，3，4这5个数表示．1.1离散型随机变量的分布列

特征：在上面射击的随机试验中，可能出现的结果都可以用一个数即“环数”来表示，这个数在随机试验前是无法预先确定的，在不同的随机试验中，结果可能有变化，就是说，这种随机试验的结果可以用一个变量来表示．在产品检验的随机试验中，结果也可以用“次品数”这个变量来表示．

如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．

例如，上面射击的命中环数ξ是一个随机变量：

ξ=0，表示命中0环；

ξ=1，表示命中1环；

…………

ξ=10，表示命中10环．1.1离散型随机变量的分布列随机变量的意义

上面产品检验所取4件产品中含有的次品数η也是一个随机变量：

η=0，表示含有0个次品；

η=1，表示含有1个次品；

η=2，表示含有2个次品；

η=3，表示含有3个次品；

η=4，表示含有4个次品．1.1离散型随机变量的分布列

再看下面的例子：任意掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上这两种结果，虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但仍可以用数量来表示它．我们用变量ξ来表示这个随机试验的结果：

ξ=0，表示正面向上

ξ=1，表示反面向上．

此外，若ξ是随机变量，η=aξ+b，其中a，b是常数，则η也是随机变量．（1）离散型随机变量的结果可以用数值来表示；（2）离散型随机变量可能取的值可以按一定次序一一列出。

在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量的特征注：一一列出意指每一个取值后继者可以列出例1．袋中有2个黑球6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是（

）（A）取到的球的个数（B）取到红球的个数（C）至少取到一个红球（D）至少取到一个红球的概率B

提示：（A）的取值不具有随机性，（C）是一个事件而非随机变量，（D）是概率值而非随机变量，而（B）满足要求．1.1离散型随机变量的分布列

例2．抛掷两颗骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ=4表示的随机试验结果是（

）（A）一颗是3点，一颗是1点（B）两颗都是2点（C）两颗都是4点（D）一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点D

提示（1）对（A）、（B）中表示的随机试验的结果，随机变量均取值4，只是ξ=4表示的随机试验的结果的一种情况；而（D）是ξ=4代表的所有试验结果.（2）掌握随机变量的取值与它刻划的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量概念的关键．1.1离散型随机变量的分布列例3（课本P5练习）．写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果：（1）从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张，被取出的卡片的号数ξ；（2）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ；（3）抛掷两个骰子，所得点数之和ξ；（4）接连不断地射击，首次命中目标需要的射击次数η；1.1离散型随机变量的分布列

如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．1.1离散型随机变量的分布列随机变量的意义

特征：在随机试验中，可能出现的结果都是一个数，或者可以用一个数来表示，而这个数的取值在随机试验前是无法预先确定的，也就是说，在不同的随机试验中，结果可能有变化。这种随机试验的结果就可以用一个变量来表示．这个变量就叫做随机变量（1）离散型随机变量的结果可以用数值来表示；（2）离散型随机变量可能取的值可以按一定次序一一列出。

对于随机变量可能取的数值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量的特征练习课本P9习题1.1中12．离散型随机变量的分布列

抛掷一个骰子，设得到的点数为ξ，则ξ可能取的值有1，2，3，4，5，6.虽然在抛掷骰子之前，我们不能确定随机变量ξ会取哪一个值，但是却知道ξ取各值的概率（见下表）．表中指出了随机变量ξ可能取的值，以及ξ取这些值的概率．此表从概率的角度指出了随机变量在随机试验中取值的分布状况，称为随机变量ξ的概率分布．1.1离散型随机变量的分布列随机变量ξ的概率分布随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为x1,x2,…,xi,…，ξ取每一个值xi（i=1，2，……）的概率P（ξ=xi）＝Pi，则称下表为随机变量ξ的概率分布，简称为ξ的分布列．由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：（1）Pi≥0，i＝1，2，……随机变量的分布列的性质1.1离散型随机变量的分布列（2）P1＋P2＋……=1．例1：某一射手射击所得环数ξ的分布列如下，求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．

分析：“射击一次命中环数≥7”是指互斥事件“ξ=7”，“ξ=8”，“ξ=9”，“ξ=10”的和，根据互斥事件的概率加法公式，可以求得此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．

解：根据射手射击所得环数ξ的分布列，有

P(ξ=7)＝0.09，P(ξ=8)＝0.28，P(ξ=9)＝0.29，P(ξ=10)=0.22．所求的概率为P(ξ≥7)＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88．

注：一般地，离散型随机变量在某一范围（互斥）内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．1.1离散型随机变量的分布列应用

在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．我们知道，如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n

次独立重复试验中这个事件恰好发生k

次的概率是P(ξ＝k)=

，其中k=0，1，…，n．

q=1－p，于是得到随机变量ξ的概率分布如下：1.1离散型随机变量的分布列二项分布所以，称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ~B（n，p），其中n，p为参数，并记=b(k；n，p).其中P(ξ＝k)=恰好是二项展开式中的第k十l项（这里k可取0，1，…，n）。

例如，抛掷一个骰子，得到任一确定点数（比如2点）的概率是．重复抛掷骰子n次，得到此确定点数的次数ξ服从二项分布，ξ~B(n，).

又如，重复抛掷一枚硬币n次，得到正面向上的次数ξ服从二项分布，ξ～B(n，)

二项分布是一种常见的离散型随机变量的分布．1.1离散型随机变量的分布列例子

解：设ξ=x1为“取到的球为白色的球”，ξ=x2为“取到的球为红色的球”，ξ=x3为“取到的球为黑色的球”．则ξ是一个随机变量，它的自变量x的取值是集合M中的一个元素，即x∈M，而随机变量ξ本身的取值则为1，2，3．ξ分别取1，2，3三个值的概率为P(ξ=1)=，P(ξ=2)=，P(ξ=3)=

.

ξ的分布列为

1.1离散型随机变量的分布列

例2．袋中有1个白球，2个红球，4个黑球．现从中任取一球观察其颜色，确定这个随机试验中的随机变量，并指出在这个随机试验中随机变量可能取的值及分布列．求随机变量ξ的分布列的步骤：（1）明确题中的随机变量ξ指的是什么（含义）（2）明确题中的随机变量ξ可能取的值;(3)求出随机变量ξ可能取的值的概率；（4）列表，写出分布列例3．若离散型随机变量ξ的分布列为：

试求出常数c．

解：由离散型随机变量分布列的基本性质知

9c2－c+3－8c=l，0≤9c2－c≤1,0≤3－8c≤1,解得常数c=，即ξ的分布列为1.1离散型随机变量的分布列例4．一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量ξ的分布列．解：随机变量ξ的可能取值为1，2，3．当ξ=1时，即取出的三只球中最小号码为1，则其他两只球只能在编号为2，3，4，5的四只球中任取两只，故有P(ξ=1)=；1.1离散型随机变量的分布列

当ξ=2时，即取出的三只球中最小号码为2，则其他两只球只能