差分方程模型

差分方程模型第一页，共四十一页，2022年，8月28日9.1市场经济中的蛛网模型问题供大于求现象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应求描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡第二页，共四十一页，2022年，8月28日蛛网模型gx0y0P0fxy0xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格消费者的需求关系生产者的供应关系减函数增函数供应函数需求函数f与g的交点P0(x0,y0)~平衡点一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0

第三页，共四十一页，2022年，8月28日xy0fgy0x0P0设x1偏离x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点xy0y0x0P0fg曲线斜率蛛网模型第四页，共四十一页，2022年，8月28日在P0点附近用直线近似曲线P0稳定P0不稳定方程模型方程模型与蛛网模型的一致第五页，共四十一页，2022年，8月28日~商品数量减少1单位,价格上涨幅度~价格上涨1单位,(下时段)供应的增量考察,的含义~消费者对需求的敏感程度~生产者对价格的敏感程度小,有利于经济稳定小,有利于经济稳定结果解释xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格经济稳定结果解释第六页，共四十一页，2022年，8月28日经济不稳定时政府的干预办法1.使尽量小，如=0

以行政手段控制价格不变2.使尽量小，如=0靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0x0gf结果解释需求曲线变为水平供应曲线变为竖直第七页，共四十一页，2022年，8月28日模型的推广生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。生产者管理水平提高设供应函数为需求函数不变二阶线性常系数差分方程x0为平衡点研究平衡点稳定，即k,xkx0的条件第八页，共四十一页，2022年，8月28日方程通解(c1,c2由初始条件确定)1,2~特征根，即方程的根平衡点稳定，即k,xkx0的条件:平衡点稳定条件比原来的条件放宽了模型的推广第九页，共四十一页，2022年，8月28日9.2减肥计划——节食与运动背景多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标分析体重变化由体内能量守恒破坏引起饮食（吸收热量）引起体重增加代谢和运动（消耗热量）引起体重减少体重指数BMI=w(kg)/l2(m2).18.5<BMI<25~正常；BMI>25~超重;BMI>30~肥胖.第十页，共四十一页，2022年，8月28日模型假设1）体重增加正比于吸收的热量——每8000千卡增加体重1千克；2）代谢引起的体重减少正比于体重——每周每公斤体重消耗200千卡~320千卡(因人而异),

相当于70千克的人每天消耗2000千卡~3200千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。第十一页，共四十一页，2022年，8月28日某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克。第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。减肥计划3）给出达到目标后维持体重的方案。第十二页，共四十一页，2022年，8月28日确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗20000/100=200千卡基本模型w(k)~第k周(末)体重c(k)~第k周吸收热量~代谢消耗系数(因人而异)1）不运动情况的两阶段减肥计划每周吸收20000千卡w=100千克不变第十三页，共四十一页，2022年，8月28日第一阶段:w(k)每周减1千克,c(k)减至下限10000千卡第一阶段10周,每周减1千克，第10周末体重90千克吸收热量为1）不运动情况的两阶段减肥计划第十四页，共四十一页，2022年，8月28日第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克1）不运动情况的两阶段减肥计划基本模型第十五页，共四十一页，2022年，8月28日第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克第二阶段19周,每周吸收热量保持10000千卡,体重按减少至75千克。第十六页，共四十一页，2022年，8月28日运动t=24(每周跳舞8小时或自行车10小时),14周即可。2）第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每千克体重消耗的热量(千卡):

跑步跳舞乒乓自行车(中速)游泳(50米/分)7.03.04.42.57.9t~每周运动时间(小时)基本模型第十七页，共四十一页，2022年，8月28日3）达到目标体重75千克后维持不变的方案每周吸收热量c(k)保持某常数C，使体重w不变不运动运动(内容同前)第十八页，共四十一页，2022年，8月28日9.3差分形式的阻滞增长模型连续形式的阻滞增长模型(Logistic模型)t,xN,x=N是稳定平衡点(与r大小无关)离散形式x(t)~某种群t时刻的数量(人口)yk~某种群第k代的数量(人口)若yk=N,则yk+1,yk+2,…=N讨论平衡点的稳定性，即k,

ykN？y*=N是平衡点第十九页，共四十一页，2022年，8月28日离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性一阶(非线性)差分方程(1)的平衡点y*=N讨论x*的稳定性变量代换(2)的平衡点第二十页，共四十一页，2022年，8月28日(1)的平衡点x*——代数方程x=f(x)的根稳定性判断(1)的近似线性方程x*也是(2)的平衡点x*是(2)和(1)的稳定平衡点x*是(2)和(1)的不稳定平衡点补充知识一阶非线性差分方程的平衡点及稳定性第二十一页，共四十一页，2022年，8月28日01的平衡点及其稳定性平衡点稳定性x*

稳定x*不稳定另一平衡点为x=0不稳定第二十二页，共四十一页，2022年，8月28日01/2101的平衡点及其稳定性第二十三页，共四十一页，2022年，8月28日初值x0=0.2数值计算结果b<3,xb=3.3,x两个极限点b=3.45,x4个极限点b=3.55,x8个极限点0.41181000.4118990.4118980.4118970.4118960.4118950.4118940.4118930.4118920.4118910.379630.336620.272010.20000b=1.7k0.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.60490.63170.41600.2000b=2.60.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.48200.82240.52800.2000b=3.30.84690.43270.85300.44740.84690.43270.85300.44740.84690.43270.43220.85320.55200.2000b=3.450.81270.35480.88740.50600.82780.37030.88170.54050.81270.35480.39870.87110.56800.2000b=3.55第二十四页，共四十一页，2022年，8月28日倍周期收敛——x*不稳定情况的进一步讨论单周期不收敛2倍周期收敛(*)的平衡点x*不稳定，研究x1*,x2*的稳定性第二十五页，共四十一页，2022年，8月28日倍周期收敛的稳定性x1*x2*x*b=3.4y=f(2)(x)y=xx0第二十六页，共四十一页，2022年，8月28日倍周期收敛的进一步讨论出现4个收敛子序列x4k,x4k+1,x4k+2,x4k+3平衡点及其稳定性需研究时有4个稳定平衡点2n倍周期收敛,n=1,2,…bn~2n倍周期收敛的上界b0=3,b1=3.449,b2=3.544,…n,bn3.57x1*,x2*(及x*)不稳定b>3.57,不存在任何收敛子序列混沌现象4倍周期收敛第二十七页，共四十一页，2022年，8月28日的收敛、分岔及混沌现象b第二十八页，共四十一页，2022年，8月28日9.4

按年龄分组的种群增长不同年龄组的繁殖率和死亡率不同建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律假设与建模种群按年龄大小等分为n个年龄组，记i=1,2,…,n时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,…以雌性个体数量为对象第i年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi第i年龄组在1时段内的死亡率为di,存活率为si=1-di第二十九页，共四十一页，2022年，8月28日假设与建模xi(k)~时段k第i年龄组的种群数量~按年龄组的分布向量预测任意时段种群按年龄组的分布~Leslie矩阵(L矩阵)(设至少1个bi>0)第三十页，共四十一页，2022年，8月28日稳定状态分析的数学知识

L矩阵存在正单特征根1，若L矩阵存在bi,bi+1>0,则P的第1列是x*特征向量,c是由bi,si,x(0)决定的常数且解释L对角化第三十一页，共四十一页，2022年，8月28日稳态分析——k充分大种群按年龄组的分布~种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布,与初始分布无关。~各年龄组种群数量按同一倍数增减，

称固有增长率与基本模型比较3）=1时~各年龄组种群数量不变第三十二页，共四十一页，2022年，8月28日

~1个个体在整个存活期内的繁殖数量为1稳态分析~存活率si是同一时段的xi+1与xi之比（与si的定义比较）3）=1时第三十三页，共四十一页，2022年，8月28日9.5差分方程模型

对于k阶差分方程F(n;xn,xn+1,…,xn+k)=0(6-6)若有xn=x(n),满足F(n;x(n),x(n+1),…,x(n+k))=0,则称xn=x(n)是差分方程(6-6)的解,包含n个任意常数的解称为(6-6)的通解,x0,x1,…,xk-1为已知时称为(6-6)的初始条件,通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为(6-6)的特解.若x0,x1,…

xn+k-1,已知,则形如xn+k=g(n;xn,xn+1,…,xn+k-1)的差分方程的解可以在计算机上实现.第三十四页，共四十一页，2022年，8月28日若有常数a是差分方程(6-6)的解,即F(n;a,a,…,a)=0,则称

a是差分方程(6-6)的平衡点.

又对差分方程(6-6)的任意由初始条件确定的解

xn=x(n)都有xn→a(n→∞),则称这个平衡点a是稳定的.

一阶常系数线性差分方程

xn+1+axn=b,(其中a,b为常数,且a≠-1,0)的通解为xn=C(-

a)n+b/(a+1)

易知b/(a+1)是其平衡点,由上式知,当且仅当|a|＜1时,b/(a+1)是稳定的平衡点.第三十五页，共四十一页，2022年，8月28日二阶常系数线性差分方程xn+2+axn+1+bxn=r,其中a,b,r为常数.

当r=0时,它有一特解x*=0；

当r≠0,且a+b+1≠0时,它有一特解x*=r/(a+b+1).

不管是哪种情形,x*是其平衡点.设其特征方程2+a+b=0的两个根分别为=1,=