二面角平面角求法综合

二面角的求法(总结)

第一页，共39页。第一页，共39页。二面角的平面角二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.O复习：第二页，共39页。第二页，共39页。(1)定义法——直接在二面角的棱上取一点（特殊点）分别在两个半平面内作棱的垂线，得到平面角.二面角的求法二面角的求法第三页，共39页。第三页，共39页。(2)三垂线法——利用三垂线定理或逆定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小.第四页，共39页。第四页，共39页。(3)垂面法——通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角.第五页，共39页。第五页，共39页。ABDO(4)射影面积法——若多边形的面积是S，它在一个平面上的射影图形面积是S’，则二面角的大小为COS＝S’÷SCE第六页，共39页。第六页，共39页。2、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？探究准备：答：相等或互补αβm互补αβ相等m第七页，共39页。第七页，共39页。1、如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为:A.∠ABPB.∠ACPC.都不是

练习2、已知P为二面角内一点，且P到两个半平面的距离都等于P到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？pαβιABOABCP60º二面角第八页，共39页。第八页，共39页。例1.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别在α、β内引射线PM、PN，且∠MPN=60º∠BPM=∠BPN=45º

，求此二面角的度数。βαABPMNCDO解：在PB上取不同于P的一点O，在α内过O作OC⊥AB交PM于C，在β内作OD⊥AB交PN于D，连CD，可得∠COD是二面角α-AB-β的平面角设PO=a

，∵∠BPM=∠BPN=45º∴CO=a，

DO=a，

PCa，

PDa又∵∠MPN=60º

∴CD=PCa∴∠COD=90º因此，二面角的度数为90ºaOPC二面角第九页，共39页。第九页，共39页。例2．如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α,PB⊥β,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。

过PA、PB的平面PAB与棱ι

交于O点∵PA⊥α∴PA⊥ι

∵PB⊥β∴PB⊥ι

∴ι⊥平面PAB∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角又∵PA=5，PB=8，AB=7由余弦定理得∴∠P=60º∴∠AOB=120º

∴这二面角的度数为120º解：βαABPιO二面角第十页，共39页。第十页，共39页。OABPC取AB的中点为E，连PE，OE∵O为AC中点，∠ABC=90º∴OE∥BC且

OEBC在Rt△POE中，OE

，PO∴∴所求的二面角P-AB-C的正切值为例3．如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC=，求二面角P-AB-C的正切值。∴∠PEO为二面角P-AB-C的平面角在Rt△PBE中，BE，PB=1，PEOE⊥AB，因此PE⊥ABE解：EOP二面角第十一页，共39页。第十一页，共39页。练习1：已知Rt△ABC在平面α内，斜边AB在30º的二面角α-AB-β的棱上，若AC=5，BC=12，求点C到平面β的距离CO。βαACBOD练习2：在平面四边形ABCD中，AB=BC=2，AD=CD=,∠B=120º；将三角形ABC沿四边形ABCD的对角线AC折起来，使DB′=，求△AB′C所在平面与△ADC所在平面所成二面角的平面角的度数。ABCB’DO二面角第十二页，共39页。第十二页，共39页。探究一：试一试：例1、如图：在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC,DE垂直平分SC,分别交AC、SC于D、E，且SA=AB=a,BC=a.求：平面BDE和平面BDC所成的二面角的大小。SAECBD第十三页，共39页。第十三页，共39页。分析：1、根据已知条件提供的数量关系通过计算证明有关线线垂直；2、利用已得的垂直关系找出二面角的平面角。解：如图：

∵SA⊥平面ABC,∴SA⊥AB，SA⊥AC，SA⊥BD;于是SB==a又BC=a，∴SB=BC;∵E为SC的中点，∴BE⊥SC

又DE⊥SC故SC⊥平面BDE可得BD⊥SC又BD⊥SA∴BD⊥平面SAC∴∠CDE为平面BDE和平面BDC所成二面角的平面角。∵AB⊥BC，∴AC==

=a

在直角三角形SAC中，tan∠SCA==∴∠SCA=300

，∴∠CDE=900--∠SCA=600

解毕。议一议：刚才的证明过程中，是用什么方法找到二面角的平面角的？请各小组讨论交流一下。SECABD第十四页，共39页。第十四页，共39页。探究二：试一试例二：如图：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是菱形，AD=AA1，∠DAB=600,F为棱AA1的中点。求：平面BFD1与平面ABCD所成的二面角的大小。A1D1C1B1ADCBF要求：1、各人思考；2、小组讨论；

3、小组交流展示；4、总结。第十五页，共39页。第十五页，共39页。A1D1C1CB1BDAPF如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线。

∵

F是AA1的中点，∴可得A也是PD的中点，∴AP=AB,

又∵∠

DAB=600,且底面ABCD是菱形，∴可得正三角形ABD,故∠DBA=600,∵∠P=∠ABP=300,∴∠DBP=900,即PB⊥DB；又因为是直棱柱，∴DD1⊥

PB,∴PB⊥面DD1B,

故∠DBD1就是二面角D1-PB-D的平面角。显然BD=AD=DD1,∴∠DBD1=450。即为所求.

解毕。解法一：第十六页，共39页。第十六页，共39页。A1D1C1B1FADCBPE解法二：如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线；因为是直棱柱，所以AA1⊥

底面ABCD,过A做AE⊥PB,垂足为E,连接EF,由三垂线定理可知，EF⊥PB,∴∠AEF即为二面角D1-PB-D的平面角；同解法一可知，等腰△APB,∠P=300，Rt△APB中，可求得AE=1，（设四棱柱的棱长为2）又AF=1,∴∠AEF=450，即为所求。思考：这种解法同解法一有什么异同？第十七页，共39页。第十七页，共39页。解法三：法向量法：建系如图：设这个四棱柱各棱长均为2.则D(0，0，0）D1（0，0，2）B（1，，0）F（-1，，1）∴=（-2，0，1）=（1，，-2）显然，就是平面ABCD的法向量，再设平面BDD1的一个法向量为向量=(x0,y0,z0)。则⊥且⊥

∴2x0+0y0-z0=0且x0+

y0-2z0=0令x0=1可得z0=2,

y0=

,即=（1，，2）设所求二面角的平面角为θ，则COSθ==,所以所求二面角大小为450解毕A1D1C1B1ABCDxyzF第十八页，共39页。第十八页，共39页。解法四：A1D1C1B1FCBDA如图：由题意可知，这是一个直四棱柱，△

BFD1在底面上的射影三角形就是△ABD,故由射影面积关系可得COSθ=ＳABD／ＳBＦＤ1

（θ是所求二面角的平面角）以下求面积略。点评：这种解法叫做“射影面积法”在选择和填空题中有时候用起来会很好第十九页，共39页。第十九页，共39页。第二十页，共39页。第二十页，共39页。河堤斜三垂线法第二十一页，共39页。第二十一页，共39页。NMAP三垂线法BACDP第二十二页，共39页。第二十二页，共39页。点O在二面角内—垂面法第二十三页，共39页。第二十三页，共39页。第二十四页，共39页。第二十四页，共39页。第二十五页，共39页。第二十五页，共39页。ABCDA1B1C1D1MABCDA1B1C1D1M第二十六页，共39页。第二十六页，共39页。例题选讲M例1.（06年江西卷）如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形，求二面角B－AC－D的大小.ABCDN第二十七页，共39页。第二十七页，共39页。

第二十八页，共39页。第二十八页，共39页。PEDACBD1A1C1B1F例2.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P是AD的中点,求二面角A－BD1－P的大小.第二十九页，共39页。第二十九页，共39页。例3、(高考题)⊿ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，又SA＝AB＝ａ，SB＝BC,（1）求证：SC⊥平面BDE,（2）求二面角E－BD－C的大小?SABCED第三十页，共39页。第三十页，共39页。SABCED第三十一页，共39页。第三十一页，共39页。ABDCA1B1D1C1在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角D1—AC—D的大小？O练习第三十二页，共39页。第三十二页，共39页。总一总：求二面角的方法你都学会了哪些？每一种方法在使用上要注意什么问题？请同学们先自己思考，然后小组内交流学习一下。第三十三页，共39页。第三十三页，共39页。二面角的几种主要常用的求法：1、垂面法。见例一和例二的解法一；2、三垂线法。见例二的解法二；3、射影面积法。见例二的解法三；4、法向量夹角法。见例二的解法四。

其中垂面法和三垂线法也是直接找平面角的方法，也称为直接法；射影面积法和法向量法是没有找出平面角而求之的方法，也称之为间接法。第三十四页，共39页。第三十四页，共39页。这几种方法是现在求二面角的常用的方法，在高考中经常被考查；尤其是向量法，更有着广泛的被考查性，在应用的时候主要注意以下两点：1、合理建系。本着“左右对称就地取材”的建系原则。2、视图取角。由于法向量的取定有人为的因素，其夹角不一定正好是二面角的平面交的大小，我们要视原图形的情况和题意条件进行正确的选择大小，即要么是这个角，要么是它的补角。点评第三十五页，共39页。第三十五页，共39页。试一试：例1、如图：在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC,DE垂直平分SC,分别交AC、SC于D、E，且SA=AB=a,BC=a.求：平面BDE和平面