“学海拾珠”系列之一百三十二：共同基金的长周期表现如何

研究报告评级说明研究报告金融工程共同基金的长周期表现如何？——“学海拾珠”系列之一百三十二报告日期：2023-03-15分析师：严佳炜执业证书号：S0010520070001箱：yanjw@执业证书号：S0010522090002箱：qianjx@相关报告“学海拾珠”系列之一百二十四》2.《投机股与止损策略——“学海拾珠”系列之一百二十五》3.《基金持仓集中度究竟如何影响基金业绩？——“学海拾珠”系列之一百二十六》4.《20和21世纪风格因子表现的趋势和周期——“学海拾珠”系列之一百二十七》5.《基金在阶段业绩不佳后会调整激一百二十八》6.《基于盈利公告发布日期的交易策略——“学海拾珠”系列之一百二十九》7.《媒体效应如何影响基金投资者和基金经理的决策？——“学海拾珠”系列之一百三十》8.《股票市场流动性、货币政策与经济周期——“学海拾珠”系列之一百三十一》本篇是“学海拾珠”系列第一百三十二篇，文章基于美国权益基金市场，讨论了基金在长周期下的业绩表现，目前市场上主流的测算基金Alpha的方式多基于短期月频数据，如夏普比率、alpha等。但在长期结构对称的(如正态分布)，长期在复利测算下收益也会存在显著的正偏态，这意味着大部分短期拥有正收益的基金，在长期可能呈现负向收。通过对月度、年度、十年、三十年的样本时间范围研究表明，基金的长期复利收益存在显著的正偏态，模拟的月度收益分布的偏度为-0.39，年度收益的偏度为0.53，十年收益的偏度为2.88，由于复利原与之对应的，表现优于市场基准的基金的百分比随着时间测量时跑年度上跑赢市场，33.5%在终生范围内跑赢市场。lpha长周期内也会产生负的复利超额收益，这种显著正偏态会导致基于月现这种长期业绩不佳是否是费用造成的？当使用费前收益代替费后收益后重新模拟，发现基金在长期内的平均表现优于市场，但收益的中位费用的累积效应很重要，但长周期复利收益分布中的偏度仍然是许多共同基金在长线内表现不如基准的主要原因。敬请参阅末页重要声明及评级说明2/24证券研究报告 金融工程正文目录 4 6 3共同基金在不同时间范围内的表现 9 3.2共同基金的十年期表现 103.3共同基金的全样本期表现 113.4样本与模拟结果的比较 143.5基金规模的影响 153.6基金特征和长线收益 163.7弥补偏度所需的ALPHA 174共同基金的长线表现不佳 17 5共同基金投资和投资者财富 195.1衡量共同基金总体结果的框架 195.2共同基金投资者的总体收益 205.3共同基金投资者的资金加权收益结果 215.4基金费用的影响 22 敬请参阅末页重要声明及评级说明3/24证券研究报告 金融工程 图表2资金流量和收益在排名为10的分界线附近的不连续性测试 5 8不同频度业绩期的模拟基金业绩分布 14图表9基金规模与年度、十年度、终生基金业绩 15图表10终生表现优于几个基准的基金比例——基于基金特征分组 16基金终生表现 18图表12投资权益基金所带来的财富增长 21敬请参阅末页重要声明及评级说明4/24证券研究报告 金融工程1简介多数基金行业关于投资业绩研究的报告都是基于无条件或有条件(如alpha估计)收益的算术平均值，且通常在相对较短的时间内(通常是每月)衡量。然而，内积累的复利收益也应被纳入基金业绩的实证衡量标准中。研究的重点并非收益测量区间本身的影响，而是复利收益和基金经理在其投资组合中保留股票平均时间之间的关系。其余研究股票的文献主要集中在收益测算范围从每天到每年，信息和交易摩擦的相关性较为明显。Gilbert等(2014)估计了股票投资组合在每日到每季的范围内的指数和betas，并认为不同范围的差异是由企业投资者在评估事件价值影响方面的难度所解释。Boguth等(2016)把重点放在缓慢的信息扩散上，以此解释从日度到年度不同的组合收益。Kamara等 (2016)关注了异质性的股价反应，评估了系统性因素在某些月度到半年度的水平与上述研究不同的是，本文关注的是可忽略摩擦的较长期限收益，以强调期限Bessembinder(2018)记录了单个股票的长期复利收益分布中强烈的正偏度，并基于过往研究基础，本文献探讨了在过去的30年里，美国权益共同基金的表现，发现优于SPYETF的基金百分比随着衡量收益的时间跨度增加而大幅下降。a收益分布中的正偏态。此外，当考虑费用、因子载荷与基金特征等影响因素时，发现该正偏态仍然显足以抵消费用和投资者资金流的综合影响，基于费用后收益的财富增值结果总体上是负的。2数据和方法2.1数据描述TNA平均值为11.77亿美元，中位数为1.49亿美元。度基金收益的分布没有强烈的偏斜；样本的偏度系数为-0.425，1.16%的收益中值A敬请参阅末页重要声明及评级说明5/24证券研究报告 金融工程图表1样本描述性统计zonsTNA量从1991增图表2资金流量和收益在排名为10的分界线附近的不连续性测试zons以相当于月末资产净值的价格再投资于基金份额。(在第5节份少于日历区间包含的月份；例如，若样本中只包含某只基金在日历年12个月中敬请参阅末页重要声明及评级说明6/24证券研究报告 金融工程实的结果。计算一个月的美国国库券、市值加权市场(从KennethFrenc的网站上获得)和SPYETF的买入和持有收益作为基准。计算基准收益的时期需与基金收益相匹基金的买入并持有收益率在特定时间段内超过基准时，46.3%的基金月收益率超过了同月的市值加权市场收益率，而47.2%的基金月收益LoughranRitter方法，计算每只基金2.2复利收益模拟根据观察到的收益历史，研究共同基金业绩指标和时间范围之间的关系。现有的大部分实证文献都关注基于月度收益构建的业绩衡量指标，如夏普比率、alpha有提供精确的预测，即从特定样本中观察到的基于复利收益构建的业绩指标与基于短线收益的业绩指标会有什么不同。参考Farago和Hjalmarsson(2022)的研究，假设短跨度收益为独立同分布(i.i.d)，为复利收益的偏度制定了一个封闭式的表达式。但是该研究结果并没有建的T个周期内的复利收益，而非集合样本(不同基金的复利收益周期数有很大差异)。其次，该研究评估的参数是基于事前的收益分布，允许未来存在潜在的长期因此，文章进行了一系列模拟，以预测收益测量区间对观察到的样本中基金业绩指标的影响。模拟包含一系列简化的假设，包括：某只基金有收益数据的月数是随机的，因此与基金业绩或经济状况等因素无关；适用单因子市场模型；每期的收益是正态分布，均值和波动率不变，且随时间变化而独立；基金的真实alpha、这些简化的假设在实际数据中都有不同程度的不准确。因此，模拟提供的预测将实际数据与模拟中获得的业绩衡量标准进行比较，可以在一定程度上说明各种现s金的平均beta设为1.024，每月平均(收费后)alpha设为-0.131%，每月平均管敬请参阅末页重要声明及评级说明7/24证券研究报告 金融工程t间内均匀分布的随机变量)小于0.035/ln(1+t)，则基金在第t个月失败，并且该基金的所有后续收益都被排除在模拟之外。这个简单的函数提供了一个与实际数据相当接近的基金寿命分布。基金收益的分布部分取决于超额(超过国库券)市场收益的分布，通过市场beta的影响。试图对可以根据样本数据评估的单个基金业绩指标属性做出预测。(该样本只包含了单一时间序列的超额市场收益历史)事实上，由于有收益数据的库券收益来进行模拟。数集中在模拟开始后的月数t，目的是捕捉360个月样本中不同时间点由基金成立和清盘所导致的不同基金寿命。为了将基金存在的第一个月与第一个样实际收益(和对应月国库券收益)的顺序。虽然360个月内SPY的收益率没有因之间排除了时际联系。图表3模拟参数与结果zons在每一轮模拟中，产生了t=1到360个月的500个基金的收益。模拟重复了S证券研究报告 金融工程卜.基金收益的偏度随着收益测量时间的增加而增加。模拟得出的具体收益偏S中位数都小于基金收益的平均值，而减少。具体的模拟结果为：卜8.卜\的基金在月线上跑赢市场，卜S.8\在年线上跑赢市场，c卜.S\在十年线上跑赢市场，cc.己\在终生范围内跑赢市场。(即使短期收益是对称的)。直观而言，相似百分比幅度的反转会导致损失，导致似百分比幅度的延续会导致更大的收益，但损失幅度则相对较小(例如，己\的延样的广泛影响也适用于共同基金的收益。前文分析显示：大多数基金的表现将低于市场，而且随着收益测量区间的增加，首先考虑累积费用的作用。为此，只需关注之前时期相同的模拟收益，但在复qnl一阶重要性，并支持以下预测：在基金终生范围内，复利前的基金收益率平均超过相同范围内2qY复利收益率。然而，即使在收费前的基础上，也只有少数基金在其生涯中的收益率超过了2qY。模拟结果预测，费用在长期范围内有很大的影响；横截面平均模拟基金收益率且大多数基金即使在收费前的基础上，预测也会低于2qY的表现。这种预测的结下降并不仅仅是由于基金费用的累积比重。模拟，以便对数据中的长期业绩进行预测。6lqn6反映了费用、管理技能和交易成敬请参阅末页重要声明及评级说明9/24证券研究报告 金融工程进行明确预测；后者是通过模拟超额(超过国库券)基金收益对超额SPY收益的回归，估计每轮模拟中每个基金的月度alpha，然后从同一轮模拟中的每个月度基金收益中减去所得的基金alpha估计值来实现计算。由于相应的方法可以在样本数据。49%真实alpha为零的基金表现优于SPY；而43.4%估计alpha为零的基金表现优aalEbeta调整后的超额复利收益平均为负值，只有不到一半的基金会超过零。果，这些子样本根据月度范围市场模型回归中得到的alpha估计值是正负划分。不言而喻，平均复利基金收益率和财富比率在月度alpha为正数的基金中较高，但也。2.部分基金(在模拟中占9.6%)从月度收益中获得了正的alpha估计值，但为正的基金很少有极端的左尾复利收益结果。结论强调了从短频收益中估算出的alpha者的业绩衡量标准的一个基本缺陷。alpha是每月超额收益的3共同基金在不同时间范围内的表现本节报告股票共同基金在三个层面的表现：年度、十年和"终生"(基金包含在3.1共同基金的年度表现据，样本集合(跨基金和年份)的平均年收益率为9.47%。相比之下，SPY在相同敬请参阅末页重要声明及评级说明10/24证券研究报告 金融工程年份相同月份的平均(跨基金和年份)收益率为10.12%，市值加权的市场收益率图表4年度基金收益zonsF年的表现超过了一个月的美国国库券。每种表现的大多数基金在大多数年份(但不是所有年份)的表现低于市场基准。其中，超过一3.2共同基金的十年期表现年的收益结果。平均而言，每十年有71个月的收益数据，不同基金十年的平均复利收益率为86.90%。相比之下，SPY在同十市值加权市场收益率度系数为2.64(而年度收益率为0.57)，十年期基金收益率的中位数仅为39.38%，远低于86.90%的平均值。正偏态在十年期共同基金收益的频率分布中很明显，显敬请参阅末页重要声明及评级说明11/24证券研究报告 金融工程图表5十年期基金收益zons与年度相比，股票型共同基金在十年范围内超越市场基准的情况较少。34.1%市场，38.3%的基金在十年期的表现优于SPY的事实则反映了累积费用和收益分布中的偏度的影响。3.3共同基金的全样本期表现数据。平均而言，各基金有133个月的收益数据(中位数为112个月)。股票基金的平均终生买入并持有收益率为294.35%。相比之下，同期SPY指数的平均买入和持有收益率为图表8PanelD上显示的频率分布中可以观察到。共同基金的终生收益率中位数为市场收益率，而30.3%的基金的收益率超过了SPYETF，虽然大在正偏度，意味着许多基金表现不佳，但也反映出一些基金表现出非常强劲的业绩。的表现超过了一个月的国库券。相比之下，几乎所有寿命超过15年的基金(97.7%)的表现都超过了国库券。即使在寿命最长的组别中(这一特征只能在事后观察)，也有不到一半(43.3%)的基金跑赢了SPY，不到三分之一(32.6%)跑赢了市值敬请参阅末页重要声明及评级说明12/24证券研究报告 金融工程zons周期中表现不如国库券。这部分反映了一些基金不幸在市场高峰期或接近高峰期时量：敬请参阅末页重要声明及评级说明13/24证券研究报告 金融工程命基金表现不佳的比率高，部分源于其推出于整体市场表现不佳的时期之前。特别是，在基金存续期间，SPY表现优于国库券的基金比例随着基金存续期的增加而增年、5-10年、10-15年和15年以上的基金，分别为于68.3%、80.4%、92.0%和100%。同时，结果表明，SPY的表现并不是表现不佳基金寿命较短的唯一原因。表现不佳的基金与SPY表现不佳的基金的百分比之差(或者说，即使SPY在其生命期内表现优于国库券，但表现不佳的基金的百分比)益率。这些基金中只有15%的基金本身表现优于国库券，而这些基金中表现优于一个类别表现低于市场基准。这里的结果显示，表现不佳的比率在较长的收益范围平均值的现象。显然，对于每一个波动率为正的时间序列，几何平均收益率都低于益率算术平均数的广泛的基金文献中，还没有讨论月平均收益率对投资者长期结果的潜在误导程度的研究，本文弥补了这一空白。图表7表现超过几个基准的基金比例zons敬请参阅末页重要声明及评级说明14/24证券研究报告 金融工程图表8不同频度业绩期的模拟基金业绩分布zons3.4样本与模拟结果的比较随着收益测量时间段的增加而增加。在月度以上的所有期限中，基金收益的中位数向一致，而且样本参数估计值与模拟参数大致相似。例如，实际数据中基金收益率0，生范围内，样模拟结果是建立在许多过度简化的基础上的，包括基金寿命与市场条件或过去机分布，等等。因此，模拟结果说明了随机基金寿命中随机收益的纯复利效应。基于样本的结果与基于模拟的结果有广泛的相似性，这表明基金成立和清盘的内生决敬请参阅末页重要声明及评级说明15/24证券研究报告 金融工程信息的主要原因。3.5基金规模的影响为1.49亿美元。存在可能：记录的高业绩不佳率主要是由较小的基金造成的。接下来将评估基金规模与长期投资业绩之间的关系。然而，许多研究(例如，见Cremers等人(2019))已经记录了投资流量对先前基金业绩的反应，这意味着收很大的影响。为评估基金规模的作用，同时避免因内生资金流动而产生的偏差，采取以下程的百分位数。然后，确定某只基金的规模是否超过了样本中任何一个月规模分布的构建三个子样本：第一个子样本排除了规模从未第三个子样本排除了规模从未达到第75百分位的基金。在这些子样本中，只研究基金规模大于阈值的第一个月后的收益。排除此日期之前的收益，可以避免因内生图表9报告了上述各规模组的基金的月度、年度、十年和终生收益。对于只包PY大基金的子样本中也成立。图表9基金规模与年度、十年度、终生基金业绩zons敬请参阅末页重要声明及评级说明16/24证券研究报告 金融工程3.6基金特征和长线收益在图表10中，显示了根据各种基金特征对基金进行分类后，在其生命周期内PanelABC权1.每月基金收益与每月SPY收益的回归中的R平方统计(衡量基金简单跟踪的程度)一回归中的斜率系数(beta估计值)。3.终生平均基金费用和开支(基于CRSP"费用率"变量)占TNA的百分比。4.月度基金收益的波动性(特别是标准差)。5.月度基金收益的偏度单或线性关系。虽然从这些指标来看，处于第一个十分位数的基金往往表现不佳，但不同十分位数的基金表现不佳率通常不是单调的。以估计的基金beta值为例，beta最低的十分位数(平均beta值=0.523)的基金表现优于SPY的比率仅为15.7%，而第八个十分位数(平均beta值=1.134)为40.6%，但第十个十分位数(平均beta值=1.576)仅为22.1%。收费和超额收益率之间的关系也不是单调的。虽然费用最高的十等分基金(每月平均费用率为0.187%)相对于SPY的业绩表现较低(20.5%)，但费用和开支最低的十等分基金(每月平均费用率为0.018%)相对于SPY的业绩表现也相对较低(33.6%)，因为这类基金主要是指数基金。相对于SPY的最高表现率(33.3%)是在费用和开支的第六个十分位数的基金(平均每通过基金特征和业绩之间的简单单变量关系来解释。图表10终生表现优于几个基准的基金比例——基于基金特征分组zons敬请参阅末页重要声明及评级说明17/24证券研究报告 金融工程复利收益分布中的正偏度意味着，当收益以长线衡量时，大多数基金将倾向于跑输市场基准。Bessembinder(2018)以及Farago和Hjalmarsson(2022)表明，长线收益的偏度主要由短线收益的波动性决定，在共同基金的环境中，这部分取决于基金组合的分散程度。当然，与市场基准相比，长期表现不佳的比率也取决于短资组合在长期内最容易表现不佳；如果短线收益波动较小，且指数为正数，则表现对于分析性评估，假设主动型基金和市场基准的价格演变由几何布朗运动描述，平均值与瞬时基准收益的平均值相差一个瞬时aF，而瞬时非市场(残差)收益的方差则表示为。如果aF=/2，主动基金的复利收益率中值等于复利市场基准收由于任何给定投资组合的剩余波动率将随着投资组合中股票数量的增加而趋于差效应)，那么依靠标准投资组合理论，前面的分析是基于市场基准和假设基金的事前概率分布，同时假设连续的收益周这一结果。这个数字在经济意义上非常可观；相比之下，样本的平均费用率是每月复利的特性保证了短线收益的高波动性，意味着长线收益的高偏度。这种较高的偏度反过来意味着相对于市场基准而言，表现不佳的可能性更大。这种表现不佳的趋势可以被非市场收益的平均值(即alpha)所抵消。正如前文所展示的，提供50%概率所需的alpha取决于残差收益波动率。4共同基金的长线表现不佳研究共同基金收益的文献记载，共同基金收益平均落后于市场基准。这种经验上的规律性往往归因于基金收取管理费和交易成本。一些基金经理可能比较优秀，但不足以完全克服费用和其他成本。此外，基金的系统性风险暴露也很重要。如果任何事后市场超额收益为正的时期都可能表现不佳。敬请参阅末页重要声明及评级说明18/24证券研究报告 金融工程4.1费用和管理技能告收益率加上基金的B图表11费前收益衡量的基金终生表现zons值得注意的是，费前的买入并持有共同基金的平均复利收益率为393.6%，超(2010)的结论。当计算费前收益复利时，平均财富比率为1.011。也就是说，如然而，收费前基金收益的中位数远远低于平均值，即只有少数基金的表现超过超过了(收费后)SPY买入并持有收益。后者的结果与基于模拟的预测(图表3)除了费用之外，共同基金的收益还受到交易成本和管理技能的影响。接下来关股票基金样本中，平均每月的alpha估计值(图表11的PanelA)为-0.131%。然后从基金每个收费后月度收益中减去基金的alpha估计值(平均为负)。从结构上a敬请参阅末页重要声明及评级说明19/24证券研究报告 金融工程SPY收益率。这种结果上的分歧可能部分反映了alpha法估计值的分布是负偏斜。4.2因子载荷基金相对于这些基准的不佳表现，可能部分归因于因子风险。特别是现金比例：假设基金投资于风险资产的部分获得了与整体市场相同的收益，但也保留了一些现金收益上。在每月超额基金收益对超额SPY收益的回归中得到的每只基金估计月度betasT基金收益超额部分，∏=1(1+R)相对于的复利收益率为负值，相当于-11.1%。然而，超额beta调整复利收益的分布是强烈的正偏态，偏度系数为8.6。不到三分之一(31.7%)的基金有正的超额beta调PanelC还报告了基于估计月度alpha符号的基金子样本的结果。这些结果也整超额复利收益的偏度是显著的正数，而对于alpha估计值为负的基金，偏度是负的，但月度alpha估计值为正的基金的超额beta调整复利收益的符号不一定是正率却为负。这个结果加强了一个观点，即短收益期的alpha，作为一个条件性的算时期的复利表现。5共同基金投资和投资者财富实践中，投资者可能在某些基金或某些时期将分红完全再投资，但在其他时期并非如此。此外，投资者总的来说可能会投资或提取额外的资金(资金"流动")，其影响既没有体现在本文所研究的复利买入并持有的收益中，也没有体现在更广泛的文5.1衡量共同基金总体结果的框架构造以下框架来量化共同基金投资者的情况，同时考虑基金规模、基金寿命、敬请参阅末页重要声明及评级说明20/24证券研究报告 金融工程期内研究收益。投资者每期将财富分配给收益率为Rt=Rct+Rdt的共同基金，其Rct是第t期收益率中的资本收益部分，Rdt是股息部分，而另一项投资的收益率则表示为Rat。替代投资的收益包括投资于共同基金资金的机会成本。投资者有可能在t时间内对基金进行投资(或流动)，金额为Ft(用Ft<0表示资金的撤回)。让tAtMtt替代资产的头寸价值根据At=At−1(1+Rat)+Mt−1∗Rdt−Ft演变，因为投资者获得了替代资产的收益，收取了任一共同基金的分红，并可能增加或减少共同基金的投资。投资者在共同基金中的持仓价值根据Mt=Mt−1∗(1+Rct)+Ft演变，基于资本收益收益和任何流向基金的净投资。投资者在时间t的财富可以表示为wt=At−1(1+Rat)+Mt−1(1+Rct)。因此，自上期以来，由于将一些资金投资于共同基wt−wt−1∗(1+Rat)=Mt−1(Rt−Rat)(1)设FVt,T=(1+Rat+1)∗(1+Rat+2)∗(1+Rat+3)∗…∗(1+RaT)，表示由备选wT−w0∗FV0,T=M0(R1−Ra1)FV1,TFVTMT(RT−RaT)(2)表达式(2)的第一行是投资者在样本结束时的实际财富，超过了在所有资本仍然投资于替代资产时所能获得的财富。表达式(2)的第二行显示，这一金额可以计算为表达式(1)右侧所规定的逐期财富差异的未来值(使用替代资产收益进行复利)之和。量化投资者总体收益的另一种方法是"资金加权收益"，它是投资者总体现金流的时间序列的内部收益率。期末投资者财富的增加与大多数金融学入门课本中讨论预期再投资(贴现率)，而前者是事后价值，取决于替代投资的已实现现金流和已讨论表达式(2)的另一个版本，其中简单的差分RT−RaT在每个时期t被当月alphat残差之和，用a+et表示。在考虑到基金对另类资产收益的风险(beta)后，乘积MT−1(a+et)可以被解释为基金投资者的美元超额收益。当基于收费前的基金收益时，t在概念上类似于Berk和vanBinsbergen(2015)在其表达式(5)中定义的"实现增值(RVA)"指标。然而，货膨胀调整后的Mt−1，并研究每个基金RVA的跨月平均值。因此，他们没有捕捉多个时期随机收益的复利效应。5.2共同基金投资者的总体收益公式(2)衡量了投资者总财富的增加，既取决于收益率差，即表达式(2)中的RT−RaT，也取决于每期的投资数量，即Mt项，以CRSP报告的基金总净资产(TNA)来衡量。投资数量随着时间的推移而变化，不仅基于先前的收益，而且基于投资者的净追加投资或撤资，即"资金流量"。因此，执行公式(2)的结果既取敬请参阅末页重要声明及评级说明21/24证券研究报告 金融工程决于管理者提供超过替代资产收益的技能，也取决于投资者资金流动相对于这些收然后将其与几何平均收益率(复利后即为买入并持有的收益率)进行比较，由于几何平均收益率不受投资者资金流动的影响，因此两者差异可以说明投资者资金流动对收益的影响。如果较大的收益往往发生在基金资产较小的时期(例如，如果一期显著高收益带来了资金流，但随后的收益正常)，那么资金加权收益将小于几何平基金平均值(中位数)为0.466%(0.642%)，而跨基金的资金加权收益平均值 (中位数)为0.376%(0.574%)。也就是说，反映资金流动的资金加权收益往往异与基金费用影响的程度相当。60.8%的样本基金的资5.3共同基金投资者的资金加权收益结果图表12的PanelB报告了对全部样本实施公式(2)时得到的结果。如果机会投资者的期末财富增加了8.66万亿美元。这个数字可以解释为共同基金投资者因承担基金投资风险而获得的事后美元风险溢价，并验证了共同基金投资使投资者能够财富增长。74.4%的样本基金的事后美元风险溢价为图表12投资权益基金所带来的财富增长zons图表12PanelB第二行报告了SPYETF作为替代资产时的结果。这个基准具敬请参阅末页重要声明及评级说明22/24证券研究报告 金融工程有重要意义，因为投资者原则上可以通过简单的买入并持有以及分红再投资策略来SPY的收益，而且股票共同基金投资与股票指数基金投资的风险大致相似。据我们统计，在三十年的样本期内，共同基金投资者的总财富相对于SPY的基准值(2)在每个时期都依赖于基金收益和替代资产收益之间的简单差异，这个差额可能包含了基金和替代资产系统性风险差异的成分。考虑到这一点，用当月“非市场”收益取代对应的RT−RaT，再执行表达式(2)，(隐含假设：替代资产包的适当代理)，得到SPY收益市场模型回归中估计的alpha与该回归的时间t富增值提高了0.28万亿美元(从-1.31万亿美元到-1.02万