二重积分概念

关于二重积分概念第一页，共三十五页，编辑于2023年，星期日例第二页，共三十五页，编辑于2023年，星期日掌握1.每一种积分的实际意义4.每一种积分的计算方法（常规，技巧）3.每一种积分的性质2.每一种积分的特定和式极限写法第三页，共三十五页，编辑于2023年，星期日一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分第四页，共三十五页，编辑于2023年，星期日第六章重积分二重积分三重积分第五页，共三十五页，编辑于2023年，星期日三、二重积分的性质第一节一、引例二、二重积分的定义与可积性二重积分的概念与性质

第八章第六页，共三十五页，编辑于2023年，星期日解法:

类似定积分解决问题的思想:一、引例1.曲顶柱体的体积

给定曲顶柱体:底：

xoy

面上的闭区域D顶:

连续曲面侧面：以D

的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“分割,代替,作和,取极限”以直代曲第七页，共三十五页，编辑于2023年，星期日1)“分割”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n

个2)“代替”在每个3)“作和”则中任取一点小曲顶柱体第八页，共三十五页，编辑于2023年，星期日4)“取极限”令第九页，共三十五页，编辑于2023年，星期日2.平面薄片的质量

有一个平面薄片,在xoy

平面上占有区域

D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则若非常数,仍可用其面密解决.1)“分割”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小区域.“分割,代替,作和,取极限”第十页，共三十五页，编辑于2023年，星期日2)“代替”中任取一点3)“作和”4)“取极限”则第

k小块的质量第十一页，共三十五页，编辑于2023年，星期日两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同曲顶柱体体积:平面薄片的质量:“分割,代替,作和,取极限”第十二页，共三十五页，编辑于2023年，星期日二、二重积分的定义及可积性定义:将区域D

任意分成n

个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,第十三页，共三十五页，编辑于2023年，星期日积分和思考1：与哪些因素有关#2013050201第十四页，共三十五页，编辑于2023年，星期日二重积分与哪些因素有关#2013050202思考2：第十五页，共三十五页，编辑于2023年，星期日注:（1）（2）第十六页，共三十五页，编辑于2023年，星期日如果在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作（3）第十七页，共三十五页，编辑于2023年，星期日二重积分存在定理:若函数(证明略)定理1.在D上可积.在有界闭区域D上连续,则第十八页，共三十五页，编辑于2023年，星期日思考1写出二重积分的值，其中#2013050206第十九页，共三十五页，编辑于2023年，星期日解该立体是一个半径为1的半球体，

由二重积分的几何意义知，要求的二重积分是一个以曲面为顶、以为底的曲顶柱体的体积例1写出二重积分的值，其中

半球体的体积为第二十页，共三十五页，编辑于2023年，星期日三、二重积分的性质(k

为常数)为D的面积,则线性性第二十一页，共三十五页，编辑于2023年，星期日特别,由于则4.若在D上5.设D的面积为,则有保序性绝对可积性估值定理第二十二页，共三十五页，编辑于2023年，星期日6.(二重积分的中值定理)证:

由性质5可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此f(x,y)在D上平均值第二十三页，共三十五页，编辑于2023年，星期日7（对称性）-----不仅要考虑被积函数的奇偶性，而且要考虑积分区域的对称性第二十四页，共三十五页，编辑于2023年，星期日7（对称性）-----不仅要考虑被积函数的奇偶性，而且要考虑积分区域的对称性第二十五页，共三十五页，编辑于2023年，星期日7（对称性）-----不仅要考虑被积函数的奇偶性，而且要考虑积分区域的对称性第二十六页，共三十五页，编辑于2023年，星期日7（对称性）-----不仅要考虑被积函数的奇偶性，而且要考虑积分区域的对称性第二十七页，共三十五页，编辑于2023年，星期日7（对称性）-----不仅要考虑被积函数的奇偶性，而且要考虑积分区域的对称性第二十八页，共三十五页，编辑于2023年，星期日解第二十九页，共三十五页，编辑于2023年，星期日其中比较下列积分的大小:#2013050203第三十页，共三十五页，编辑于2023年，星期日比较下列积分的大小:其中解:

积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而域D位从而于直线的上方,故在D上第三十一页，共三十五页，编辑于2023年，星期日