一元二次不等式及其解法学案

222222222222222223x－≤22222222222222222223x－≤22

一元二次等式及其解一)自主学习知识梳理．一元一次不等式一元一次不等式经过变形，可以化成ax>a≠的形式．(1)若，解集为；(2)<0，解集为．．一元二次不等式一元二次不等式经过变形，可以化成下列两种标准形式：(1)＋＋>0(；ax＋bx＋<0a>0)．．一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系如下表所示：判别式Δ－ac

Δ>0

Δ＝

Δ<0二次函数y＝ax＋＋(a>0)的图象一元二次方程＋＋＝的根ax＋bx>0(的解集

(－∞x)∪(x，＋){∈且x≠－}1a

Rax＋bx<0(的解集自主探究

{x}12

∅∅一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间存在怎样的关系用这种关系解决下面的问题：已知不等式－－<0的解集{|2<，求a、b的值．对点讲练知点一元次等的法例下列不等式的解集(1)－2x－＋1>0；x－－－＋1)>0.总结一元二次不等式的解法一般“三步曲”第步化二次项的系数为正数第二步求相应的一元二次方程根三步根据根的情况结合图象写出一元二次不等式的解集．变式训练求下列关于x的等式的解集．(1)－x＋x>6；(2)x－(2＋1)＋＋知点解含数一二不式例关于的等：－≥2x－∈)．总结解含参数的一元二次不等式要注意对参数分类讨论论一般分为三个层次一层次是二次项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根的讨论，即判别>0，＝0，<0第三层次是根的大小的讨论．变式训练解关于x的不等式－a)x＋>0.知点一元次等与元次程关例不等式ax＋bx＋c≥解集于的等式cx－bx＋a<0/

22222222222222222222222222222222的解集．总结利用根与系数关系寻找根之的联系此求出方程的根中观察根与系数关系的结构变化是解题的关键．变式训练已知关于x的等式＋＋>0的集为{α<<}其中0<β，a<0，求＋＋a的集．．解一元二次不等式可按“一看，二算，三”的步骤完成，但应注意，当二次系数为负数时一先化为正数求解一二次不等式的解集是一个集合写集合的形式．含参数的一元二不等式的求解往往要分类讨论类标准要明确表达要有层次，讨论结束后要进行总结．．由一元二次不等式＋＋c或ax＋bx<0(a>0))解集{<或x}(12{<<}(x<，可得出x，是程ax＋＋c＝0的两个实数12课时作业一、选择题．不等式－x－＋2≤0解集是)A.≤≤≤－或≥13C.≥≤－．不等式fx)＝ax－x－c的解集{－2<<1}，则函数＝f(－x的图象()．函数y＝lg(x－＋x

＋6的定义域()A(－∞，－2)[0，＋∞B(－∞，6]∪，＋∞)C．－∞，2][0＋)D．－∞，∪，＋)．若不等式＋2－x＋x的集为R，实数的值范围是)A(－2,2)B(2,2]C．－∞，∪，)D．－∞，已是程x－(－x＋k12值为)A．19C．D．不存在二、填空题

＋3＋＝0(∈)的个实数根，则x＋x12/

的最大

222x－<222222222222x<或>x222x－<222222222222x<或>x<或>222222．二次函数y＝ax

2

＋bx＋的部分对应点如下表：x

－3－－

1234y0－－－－4则不等式ax＋＋>0的集．

．不等式－x

＋2－1≤2的解集．．若函数fx)lg(ax

－x＋a)的定义域为R，实数a的值范围_______三、解答题1．已知＋px＋的集不等式＋＋1>0的集．．解关于的等式：－＋一元二次不等式及其解法一)知识梳理bb．(1)(2)<自主探究解一元二次不等式解集的端点值一般是对应的一元二次方程的根．例如本题，方程－－＝0的就和∴

，

对点讲练例(1)由－x

－x＋1>0，得2x

＋x－，因式分解(x＋x－，∴－x<.不等式的解集为<3(2)∵x－＋＝－＋，∴(x

－x－1)(－＋1)>0.即解不等式x

－x－1>0，由求根公式－＋x＝，＝12∴x

－15－x－1>0的集1＋∴原不等式的解集为2变式训练解(1)－x＋7>6∴x＋7－∴x

－7＋6<0，∴－x－∴1<x，即不等式的解集{x<6}．(2)x－(2＋1)＋＋<0，因式分解得－m－＋1)]<0.∵<m＋，∴<＋即不等式的解集为{mm＋1}．例原不等式移项得ax＋－－≥，化简为(x＋1)(ax－2)≥当a＝0时，≤；当时x≥或x≤－；/

{}{}22322222222a22222a222α{}{}22322222222a22222a222αβ2βα当－时≤≤－1；当a－2时x＝－；当a<－2时，－≤x≤.综上所述，2当a>0时解集≥或≤当a＝0时解集为x≤－；2当－时解为≤－当a－2时解集为xx＝－1；2当a<－2时，解集≤≤变式训练解将不等式x－＋a)x＋>0变为(－)(－

2

∵a

－a＝(－．∴当或时<a

，解集为{<x

2

}当0<a<1时，解集{x<或>a}当a＝0或1时，解集为{∈且≠}综上知，当或a>1，不等式的解集为{<a或>a}当0<a<1时不等式的解集{<或x>a}当a＝0或1时，不等式的解集为{xR且x≠a}例由＋＋c≥解集为≤≤知a<0，关x方程＋bx＋c＝0的个根分别为－，，b－＋＝－2∴，b＝，＝a3－×＝所以不等式－bx＋a<0可变形为－ax－－ax＋，即ax－－1又因为a<0，所以2x－－3<0所以所求不等式的解集－<<3变式训练解∵、β为程＋＋＝的根，∴＋＝－，β.，cb∴cx＋＋a>0解变形为＋＋1<0.由根与系数关系将、代，1得α－α＋)x＋1<0.αx－－<0，由0<<，知>.αβ11所以不等式＋bx＋a>0的解集<</

c2222222222232222222c2222222222232222222课时作业．．

＝[由已知＝

y＝(－)＝＋x－c，即＝－x＋＋，其图象为C.]．．．A[已知方程有两实数根得Δ≥，解得－4≤≤－，又＋x＝(＋)－x＝(k＋12

＋，∴当＝－x＋x1

有最大值，最大值为18.]．{<－或．{－≤－或0<x≤1}．a解析fx)＝lg(－x＋a)的定义域为R∴a>0Δ＝－4，∴a>．解＋＋的集－x1∴－，是程＋＋＝0的实数根，3由根与系数的关系得

1－＝p1×－＝

，∴

，∴不等式qx＋＋可为－＋＋1>0，即－－6<0，∴－2<x，∴不等式qx＋＋的集为{－2<<3}．．解当a＝0时不等式即－2x＋，∴解集<②当时Δ＝44，此时不等式为－＋，－－1＋111＋－a由于方程x－＋＝的根分别为、>，aa/

2222＋－ax}∴不等式的解集为

＋－a－1－ax<a

；③当时若0<，则，此时不等式1即－x＋a∵

－

－＋<

－，∴当0<<1时不等式解集为

x<

－－a＋－a或x