北理上课课件工程力学12-2c10cc11a

工程力学（A）北京理工大学理学院力学系韩斌(12-2)36/III2一点的变形有正应变(线应变)和切应变(剪应变)§10.6应变分析1.某点处（单元体的）变形的描述——应变

xyz1)正应变——某方向的线段单位长度的改变量：2)切应变——沿2个正交方向的线段构成的直角的角度改变量：在直角坐标下，可有沿3个坐标轴方向的正应变：故在直角坐标下，两两正交方向的切应变有3个：单位：弧度（无量纲）3某点处（某点的单元体上）全体应变（正应变和切应变）——构成该点单元体上的一个二阶对称应变张量xyz可写为：4在，坐标下2.平面内的应变状态(与平面应力状态所对应)单元体的相应尺寸与应变相乘得单元体的绝对变形量xyxyxy，5在，坐标下，方向到方向夹角：某点各个方位上应变的描述称为该点的应变状态xyyx即，分别为该点沿方向的正应变和切应变，与平面应力状态的分析类似，若作变量代换，令：6二向应力状态的斜面应力公式：(10.30)(10.31)书上二向应力对应的应变分析公式：(10.63)(10.64)书上7类似，也可求出该点的主应变，主应变方向8实验装置——应变花：3个应变片沿一定角度组合起来可证明：在应力或变形不是很大的情况下（线弹性范围）主应力与主应变的方向是重合的。可用于实验测定一点处的应变状态45°45°直角应变花120°120°等角应变花应变分析公式的应用实例：9单向胡克定律比例系数称为材料的弹性模量

比例系数称为泊松比

§11.7应力应变关系1.单向应力状态横向应变纵向应变1在线弹性、小变形范围内：10剪切胡克定律——切变模量

可证明2.纯剪应力状态在线弹性、小变形范围内：11只有作用时3.广义胡克定律（适用于任意的三向应力状态）只有作用时只有作用时

只有作用时:12故某点为任意应力状态时应满足：xyz书上P274—(10.71)~(10.76)13xy特别对于平面应力状态：仅有三个应力分量，其余应力分量为零，故由广义胡克定律：且有：即平面应力状态会产生z方向的正应变—使板的厚度发生变化14对主单元体，广义胡克定律为：主轴3主轴2主轴1书上P274—(10.77)~(10.79)15已知一构件表面一点的应变：求该点的主应力和最大切应力。例题5§10

应力应变分析与应力应变关系例题16解：则例题5§10

应力应变分析与应力应变关系例题设xy17整理后例题5§10

应力应变分析与应力应变关系例题平面应力状态下的广义胡克定律18解：

例题6§10

应力应变分析与应力应变关系例题由该点主方向上的广义胡克定律：yx某点的应力状态为纯剪切，在该点测得与x轴夹角为方向上的正应变是，已知，求。由于纯剪切的主方向为与x轴夹角±45º方向，主应力为xy19取一体积为的单元体,受应力作用变形。4.体积变形变形后的体积：各边长的改变量为：单位体积的改变量代入广义胡克定律体积应变20令称为该点应力的平均应力

设称为体变模量

对非主单元体由于切应变不改变单元体的体积，上式仍成立。则或体积应变定律此时21证明弹性模量与切变模量、泊松比间的关系证明：取一纯剪单元体(正方形)例题7§10

应力应变分析与应力应变关系例题非零主应力分别为：，-，主方向为±45º方向ABCDD’*22关于第10章基本概念的几点注意：1.关于一点处的单元体及单元体三对表面上的应力xy单元体每对表面的物理意义是该点沿某个方位截面切开后的左右两个内部截面——这两个内部截面上的内力是作用力与反作用力。2.关于某点的应力状态及主应力和主方向1）一点处的主应力表示了该点处应力状态的本质特征——用一点处的应力状态(6个应力分量)表示时与坐标系的选择有关，但该点的内力分布本质上应与坐标系的选择无关，即该点的3个主应力及3个主方向是坐标不变量。232）某一点处的应力状态的叠加变形体因受外力作用产生内力及应力，则在变形体内部某一点，几组外力共同引起的应力可视为每组外力引起的应力的叠加：叠加时应在相同方位的单元体上将相同的应力分量代数叠加=+xy243.关于广义胡克定律：而单向胡克定律只适用于单向应力状态广义胡克定律适用于任意应力状态单向胡克定律25§11轴向拉压§11.1轴向拉压的应力和变形1.轴向拉压时的应力FF轴向拉压外力：沿杆件轴线作用的外力内力：横截面上只有轴力FN分布内力系的等效横截面上内力的分布如何？26观察实验：杆件拉伸时的变形FN=A27轴向拉压时的平截面假设：（1）变形前的横截面变形后仍为平面，仍垂直于杆的轴线。（2）纵向纤维互不挤压。PFN=A由此得出轴向拉压横截面正应力公式：(11.1)若轴力或横截面积沿轴线变化FN=FN(x),A=A(x)

----单向受力假定。(11.2)阶梯杆锥形杆28

除集中力作用点附近以外的大部分区域PP拉压正应力公式的适用范围：——圣维南原理轴向拉压单元体的应力分析：面上的应力：由§10斜面应力公式当=0时，当=45º时，重要结论轴向拉压时292.轴向拉压时的变形由广义胡克定律：xyzPPll变形仅为沿杆轴的尺寸变化及横向尺寸变化杆件的纵向伸长量(11.3)(11.4)30若沿整个杆件，FN=常数，EA=常数，则(11.5)l的符号与FN相同EA——杆件的拉压刚度若沿整个杆件FN或E，A为分段常数(11.6)llFNFNl1l2l3E1,A1E2,A2E3,A3FNFN31

已知：求解：画轴力图AB段轴力:例题1§11轴向拉压例题AB段变形：32BC段轴力:由于例题1§11轴向拉压例题BC段变形：33长l,重量为W的直杆AB，上端固定，杆的EA已知，求自重作用下杆中的最大应力及B点的位移。例题2§11轴向拉压例题解：1.轴力方程，轴力图2.杆中应力34例题2§11轴向拉压例题若杆长1m，横截面积A=100mm2，比重长l,重量为W的直杆AB，上端固定，