函数与方程新

关于函数与方程新第一页，共十八页，编辑于2023年，星期日3.1.1方程的根与函数的零点等价关系判断函数零点或相应方程的根的存在性例题分析课堂练习小结布置作业第二页，共十八页，编辑于2023年，星期日

思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？第三页，共十八页，编辑于2023年，星期日

方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－3y=x2－2x+1函数函数的图象方程的实数根x1=－1,x2=3x1=x2=1无实数根函数的图象与x轴的交点(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2－2x－3=0xy0－132112－1－2－3－4..........xy0－132112543.....yx0－12112y=x2－2x+3观察函数与x轴的交点与对应方程根的关系:第四页，共十八页，编辑于2023年，星期日方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象判别式△=b2－4ac△＞0△=0△＜0函数的图象与x轴的交点有两个相等的实数根x1=x2没有实数根xyx1x20xy0x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点两个不相等的实数根x1、x2第五页，共十八页，编辑于2023年，星期日

二次函数的图象与x轴的交点与相应的一元二次方程的根的关系，即

与x轴的交点的横坐标即为方程的根．可以推广到一般情形，为此先给出函数零点的概念．函数的零点：

对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点．如的零点有－１，３．的零点有１．没有零点．的零点有．的零点有１．第六页，共十八页，编辑于2023年，星期日

对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点函数零点的定义：等价关系第七页，共十八页，编辑于2023年，星期日观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象:.....xy0－132112－1－2－3－4－24我们发现：函数在区间上有零点，在区间上有零点．请计算：思考：任意画几个函数图象，观察图象看是否有同样的结果？即：，函数在上有零点；，函数在上有零点．第八页，共十八页，编辑于2023年，星期日

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。

注:只要满足上述两个条件,就能判断函数在指定区间内存在零点。xy0ab..xy0abxy0ab....第九页，共十八页，编辑于2023年，星期日练习：1.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）－x2＋3x＋5＝0；（2）2x(x－2)＝－3；（3）x2＝4x-4；第十页，共十八页，编辑于2023年，星期日1(1)解：令f(x)=－x2＋3x＋5,

作出函数f(x)的图象，如下：.....xy0－13214862－24

它与x轴有两个交点，所以方程－x2＋3x＋5＝0有两个不相等的实数根。对了，你真棒！1(1)－x2＋3x＋5＝0第十一页，共十八页，编辑于2023年，星期日

1(2)解：2x(x－2)＝－3可化为2x2－4x＋3＝0，令f(x)=2x2－4x＋3,作出函数f(x)的图象,如下：xy0－132112543.....

它与x轴没有交点，所以方程2x(x－2)＝－3无实数根。对了，你真棒！1(2)2x(x－2)＝－3第十二页，共十八页，编辑于2023年，星期日1(3)解：x2

＝4x－4可化为x2－4x＋4＝0，令f(x)=x2－4x＋4，作出函数f(x)的图象，如下：.....

它与x轴只有一个交点，所以方程x2

＝4x－4有两个相等的实数根。xy0了，你真棒！1(3)x2

＝4x－4第十三页，共十八页，编辑于2023年，星期日2(1)解：作出函数的图象，如下：

因为f(1)=1>0,f(1.5)=－2.875<0,所以f(x)=－x3－3x+5在区间(1,1.5)上有零点。又因为f(x)是(－∞,＋∞）上的减函数，所以在区间(1,1.5)上有且只有一个零点。xy0－1321125432(1)f(x)=－x3－3x+5.....第十四页，共十八页，编辑于2023年，星期日2(2)解：作出函数的图象，如下：....

因为f(3)＝－3<0,f(4)≈2.545>0,所以f(x)=2x·ln(x－2)－3在区间(3,4)上有零点。又因为f(x)=2x·ln(x－2)－3是(2，＋∞）上的增函数，所以在区间(3,4)上有且只有一个零点。xy0－1321125-3-242(2)f(x)=2x·ln(x－2)－3第十五页，共十八页，编辑于2023年，星期日小结与思