数学所有不等式放缩技巧及证明方法

nn.数列mmmm.n仅供个人参考nn.数列mmmm.n高数所不式缩巧证方一、裂放例1.(1)求

4

22

的值;(2)求证:

123

.例2.(1)求证

111(2)252(22(2n(2)求证(3)求证

111141636241122

2(4)求证

112(2(n2例3.求证:

61(n9n3例4.(2008年国一卷设函数a明.k

f)

a设ba整nn1

≥

1lnb1

.证例5.已知

,m,xm

,求证:

例6.已知

n

,T

n

,求证

TTT12n

.例7.已知

,

n(kZ)nk)

,求证

x

x

x2n

2(*)ln2ln34ln3nn二函放例8.证：n(N3

*

)

.例9.求证(1)

2,

ln2ln2

2n

(n2)例10.求证

111n2例11.求证

(1

1))和(1))e2!!9813n

.例12.求证

例14.已

a1

n

2

)a

证明

a

n

e

2

.不得用于商业用途

{a}仅供个人参考{a}例16.(2008年州市质)已知数

f)lnx

若

a)a).三分放例19.姐不等式

111)35

1)n2n

111)(1))2n

也可以表示成为2

n

n例20.证明

11)(1)

)

四分放例21.证

1

1n22例23.(2007年州市高三质)知函数

(x)2

)

f()定义域－也[－1，0].若数列

{}

满足

f(n3

(n*)

，记数列

{b}

的前

项和为T，问是否存在正常数A

，使得对于任意正T整数都？并证明你的结论。例24.(2008年学教学参考)设等式组

,,3

表示的平面区域为,设内数坐标点的个数为.设DDn

1annn

,当

n

时求证:

1117naa3632n

.五迭放例25.已

n

nn

x1

,求证:当时

i

2|22i

例26.

sinsin!222n

1,证数k,若k≥有|S－|<n+knn六借数递关11例27.求证2222

n例28.求:

111222

例29.若

n

证:

11naa七分讨例30.已知数列

n的项满

nn

证明：对任意的整数m，

1117aa45八线规型缩不得用于商业用途

，且2'n仅供个人参考，且2'n例31.设函f(x

2xx2

.若对一切x

，

()

，求a的大值。九均不式缩例32.设

((n求证2

例33.已知函数

f(

11

，若

f(1)fx)

在0，上最小值为1，证2ff(2)n)n

2

11例35.求证

C12n

nN)例36.已知

f)

,求证:

f(2)

(n)e

例37.已知

fx)

x

,求证

f(2)

(例38.若k求证:S

1nn2

.例39.已知

f()x)()1

,求证f(0)(1).例40.已知函()=x2

－(－1)·2lnx(∈N*).k是奇数,∈N*时,求证:[f()]－2－1

·f’()≥2n(2－2).例41.（2007年北三校）已函数

f(x)

a（）函数

f(x

的最小值，并求最小值小于0时

取值范围；（）

)ff(2)f(n

求证：

n()'()2例43.求证十二放

1

11n13n例44.已

a

1)a

证明

a

n

e

2例45.设

，求证：数列

{}

单调递增且

例46.已知

a+b=1,>0,>0,

求证：

n

例47.设

nN

，求证)nn

.例49.已函数为[0,1]，满足下列条件：①对于任意x[0,1]，有f不得用于商业用途

则有.xnn仅供个人参考则有.xnn②若

xx212

f12（Ⅰ）求f证

](1,2,3,3n

时，试证明：

f例50.已：

12

ni

(in)

22求证：1aa1

anann1十二、部分放缩尾式放缩)例55.求证

13例56.设

n

1,a2a

求证：

2.例57.设数列

n

，当

时证明对所有

有

(i)

2

；(ii

1111a1n、添或弃些项或项例1、已知

n

n

n

*

).

求证：

na1(n2a2

*

、先缩求（先和放）例2、函数

f（）=

41

x

，求证：（1）+（2）+…f（）>n+

n

(N*)、先缩后项或裂再缩例3、已知a=n，求证：n

k=1

kak

3、放或小因；例4、已知数列

{}

满足

a

1,02

求证：

nk

a)kk

、逐放或小例5、设

3

(n

求证：

(n(na2

2、固一分，缩外项例6、求证：

1112

17n4、利基不式缩例7、已知

a5n

，证明：不等式5a

对何整数都立构造函数法证明不等式的方法不得用于商业用途

仅供个人参考一移项构函【例1】已知函数

f()

，求证：当

x

时，恒有

1

1x

ln(xx、作法造数明【例2】已知函数

f()

12

x.

求证：在区间

上，函数

f(x

的图象在函数

2g()3

3

的图象的下方；、换法造数明【例32007年山东卷）证：对任意的正整数，不等式

ln(

11n2n3

都成立、从件征手造数明【例4】若函数=

f)

在上导且满足不等式

f

>－

f)

恒成立，且常数，满ab，求证

af(a)

bf()不得用于商业用途

仅供个人参考仅供个用学习、究不得用商业用。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.NurfürdenpersönlichenfürStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenwerden.Pourl'étudeetrechercheuniqueme