江苏省无锡一中20122013学年高二(下)期中数学试卷(理科)Word版含解析

2012-2013学年江苏省无锡一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题（共14小题，每题5分，共70分）1．（5分）已知（i为虚数单位），则复数z的共轭复数是﹣1﹣i．考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本观点．专题：计算题．剖析：把给出的等式的分母乘到右侧，而后采纳单项式乘以多项式化简复数z，则z的共轭复数可求．解答：解：由，得z=i（1+i）=﹣1+i．因此复数z的共轭复数是﹣1﹣i．故答案为﹣1﹣i．评论：此题考察了复数代数形式的乘除运算，考察了复数的基本观点，是基础题．2．（5分）从

5名男生和

4名女生中选出

3名代表，代表中一定有女生，则不一样的选法有

74种（用数字作答）．考点：计数原理的应用．专题：计算题．剖析：代表中没有女生的选法共有

=10

种，全部的选法共有

=84

种，由此求得代表中一定有女生时不同的选法种数．解答：解：代表中没有女生的选法共有=10种，全部的选法共有=84种，故代表中一定有女生，则不一样的选法有84﹣10=74种，故答案为74．评论：此题主要考察组合问题、组合数公式的应用，用间接解法求解，属于中档题．3．（5分）若

，则

x=

3或

6

．考点：组合数公式的推导；组合及组合数公式．专题：计算题．剖析：由组合数公式，由C18x=C183x﹣6，找到其与x与3x﹣6的关系，即可得答案．解答：解：利用组合数的性质易得x3x﹣6，则：若C18=C18x=3x﹣6或x+3x﹣6=18，则x=3或6故答案为：3或6．评论：此题考察组合数公式的运用此题主要考察组合数的性质的运用，属于基础题，须正确记忆公式．4．（5分）由

1、2、3、4、5构成个位数字不是

3的没有重复数字的五位奇数共有

48个（用数字作答）．考点：摆列、组合及简单计数问题．专题：计算题．剖析：由题意，末端数字为5或3，其他地点随意摆列，从而可得结论解答：解：由题意，末端数字为5或3，其他地点随意摆列，因此奇数共有

2×

=48

个故答案为：48评论：此题考察计数原理的运用，考察学生的计算能力，属于基础题．5．（5分）设

n为奇数，则

除以

9的余数为

7．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．剖析：所给的式子即（9﹣1）n﹣1的睁开式，除了最后2项外，其他的各项都能被9整除，故此式除以9的余数即最后2项除以9的余数．=（1+7）n﹣1=（9﹣1）n﹣解答：解：因为n为奇数，1=+++++﹣1，明显，除了最后2项外，其他的各项都能被9整除，故此式除以9的余数即最后2项除以9的余数．而最后2项的和为﹣2，它除以9的余数为7，故答案为7．评论：此题主要考察二项式定理的应用，表现了转变的数学思想，属于中档题．6．（5分）已知复数乘法（x+yi）（cosθ+isinθ）（x，y∈R，i为虚数单位）的几何意义是将复数x+yi在复平面内对应的点（x，y）绕原点逆时针方向旋转θ角，则将点（6，4）绕原点逆时针方向旋转获得的点的坐标为．考点：旋转变换；复数乘法的棣莫弗公式．专题：计算题．剖析：依据复数乘法（x+yi）（cosθ+isinθ）（x，y∈R，i为虚数单位）的几何意义是将复数x+yi在复平面内对应的点（x，y）绕原点逆时针方向旋转θ角，即可得所求点的坐标．解答：解：复数乘法（x+yi）（cosθ+isinθ）（x，y∈R，i为虚数单位）的几何意义是将复数x+yi在复平面内对应的点（x，y）绕原点逆时针方向旋转θ角，则将点（6，4）绕原点逆时针方向旋转获得的点的对应的复数为：（6+4i）（cos+isin）=（6+4i）（+i）=．∴获得的点的坐标为．故答案为：．评论：考察点的旋转问题；依据复数乘法的棣莫弗公式是解决此题的重点．7．（5分）睁开式中有理项共有3项．考点：二项式定理．专题：计算题；概率与统计．剖析：先求出睁开式通项公式，当项为有理项时，x的次方应当为整数，由此得出结论．解答：睁开式通项公式为Tr+1==解：若为有理项时，则为整数，∴r=0、6、12，故睁开式中有理项共有3项，故答案为：3评论：此题主要考察二项式定理，二项睁开式的通项公式，求睁开式中某项的系数，属于中档题．8．（5分）已知一个对于正整数n的命题P（n）知足“若n=k（k∈N*）时命题P（n）建立，则n=k+1时命题P（n）也建立”．有以下判断：1）当n=2013时命题P（n）不建立，则n≥2013时命题P（n）不建立；2）当n=2013时命题P（n）不建立，则n=1时命题P（n）不建立；3）当n=2013时命题P（n）建立，则n≥2013时命题P（n）建立；4）当n=2013时命题P（n）建立，则n=1时命题P（n）建立．此中正确判断的序号是（2）（3）．（写出全部正确判断的序号）考点：命题的真假判断与应用．专题：研究型．剖析：利用概括法的证明过程进行推理判断．解答：解：（1）依据条件只有命题建即刻，才能推导出下一个命题建立，当命题不建即刻，则不必定建立，因此（1）错误．（2）若n=1时，命题P（n）建立，则必定能推出当n=2013时命题P（n）建立，与当n=2013时命题P（n）不建立，因此（2）正确．（3）依据条件可知当n=2013时命题P（n）建立，则n≥2013时命题P（n）建立．（4）当n=2013时命题P（n）建立，只好推出n≥2013时命题P（n）建立，没法推出n=1时命题P（n）能否建立．因此正确的选项是（2）（3）．故答案为：（2）（3）．评论：此题主要考察学生的概括与推理能力，综合性较强．9．（5分）已知复数z知足，则|z+i|（i为虚数单位）的最大值是．考点：复数求模．专题：计算题．剖析：由复数模的几何意义可得复数z对应的点在以（2，0）为圆心，以为半径的圆周上，由此可得|z+i|的最大值是点（2，0）与点（0，﹣1）的距离加上半径．解答：解：由，因此复数z对应的点在以（2，0）为圆心，以为半径的圆周上，因此|z+i|的最大值是点（2，0）与点（0，﹣1）的距离加上半径，等于．故答案为．评论：此题考察了复数模的求法，考察了复数模的几何意义，表现了数形联合的解题思想方法，是基础题．10．（5分）已知扇形OAB，点P为弧AB上异于A，B的随意一点，当P为弧AB的中点时，S△OAP+S△OBP的值最大．现有半径为R的半圆O，在圆弧MN上挨次取点（异于M，N），则的最大值为2n﹣12．Rsin考数列的乞降．点：专等差数列与等比数列．题：分利用三角形的面积计算公式和数学概括法即可得出．析：解解：答：=，设∠MOP1=θ1，∠P1OP2=θ2，，．则．∵0＜θ＜π，∴sinθ＞0，ii猜想的最大值为．即?sinθ1+sinθ2++≤（）．下边用数学概括法证明：1）当n=1时，由扇形OAB，点P为弧AB上异于A，B的随意一点，当P为弧AB的中点时，S△OAP+S△OBP的值最大，可知建立．（2）假定当n=k（k∈N*）时，不等式建立，即sinθ1+sinθ2++≤．成立．（θ1+θ2++，θi＞0）则当n=k+1时，左侧=即sinθ12++++sinθ++∵，当且仅当θii+1时=θ取等号．∴左侧+++==右侧，当且仅当θi=θi+1（i∈N*，且1≤i≤2k+1﹣1）时取等号．即不等式对于?n∈N*都建立．故答案为．点娴熟掌握三角形的面积计算公式和数学概括法是解题的重点．评：11．（5分）从红桃2、3、4、5和梅花2、3、4、5这8张扑克牌中拿出4张排成一排，假如拿出的克牌所标的数字之和等于14，则不一样的排法共有432种（用数字作答）．

4张扑考点：摆列、组合及简单计数问题．专题：计算题．剖析：依据题意，剖析可得，数字之和为14的状况有4，4，3，3；2，2，5，5；2，3，4，5；再挨次求得每种状况下的排法数量，从而由加法原理，相加可得答案．解答：解：数字之和为10的状况有4，4，3，3；2，2，5，5；2，3，4，5；拿出的卡片数字为4，4，3，3时；有A44种不一样排法；拿出的卡片数字为2，2，5，5时；有A44种不一样排法；拿出的卡片数字为42，3，4，5时；每个数字都有两种不一样的取法，则有24A44种不一样排法；444因此共有2A4+2A4=18A4=432种不一样排法．故答案为：432．评论：此题考察摆列的应用，解题时注意数字可能来自一种卡片仍是两种卡片．12．（5分）（2011?延安模拟）若，则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2的值为1．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．剖析：经过对x分别赋值1，﹣1，求出各项系数和和正负号交替出现的系数和，两式相乘得解．解答：解：对于，令x=1得=a0+a1+a2+a3+a4令x=﹣1得=a0﹣a1+a2﹣a3+a422两式相乘得1=（a0+a2+a4）﹣（a1+a3）评论：此题考察解决睁开式的系数和问题的重要方法是赋值法．13．（5分）数列{an}知足an=，此中k∈N*，设f（n）=，则f（2013）﹣f（2012）等于42012．考点：数列的乞降．专题：计算题．剖析：先计算前几项的值，依据所求的值追求规律，即可求解解答：解：由题意可得，f（2）﹣f（1）=a1+a2+a3+a4﹣（a1+a2）=a3+a4=3+1=42f（3）﹣f（2）=a5+a6+a7+a8=5+3+7+1=43f（4）﹣f（3）=a9+a10++a16=9+5+11+3+13+7+15+1=64=4f（2013）﹣f（2012）=4

2012故答案为：42012评论：此题主要考察了数列的乞降，解题的重点是利用已知递推公式正确求出数列的项，从而发现项的规律14．（5分）我们常用结构等式对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如由等式（1+x）2nn=（1+x）（1+x）n可得，左侧xn的系数为，而右侧，xn的系数为，由（1+x）2n=（1+x）n（1+x）n恒建立，可得．利用上述方法，化简=．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．2n2n22n2n剖析：依据题意，结构等式（x﹣，分别从等式的左侧和等式的右侧求得x1）?（x+1）=（x﹣1）的系数，令其相等，即可求得原式的值．解答：解：依据题意，结构等式（x﹣2n2n2﹣1）2n1）?（x+1）=（x，由等式的左侧可得x2n的系数为2n2n02n﹣12n﹣112n﹣22n﹣C2n?（﹣1）C2n+C2n?（﹣1）C2n+C2n?（﹣1）22002nC2n++C2n?（﹣1）C2n，2322n2021）22即（C2n）﹣（C2n+（C2n）﹣（C2n）++（C2n），由右等式的右端可得x2n的系数为（﹣nn1）C2n，2n2nn02122232故有（C2n）﹣（C2n）+（C2n）﹣（C2n）++（C2n）=（﹣1）C2n，故答案为（﹣nn．1）C2n评论：此题考察组合数公式的应用，波及二项式定理的应用，重点要依据题意，充分利用组合数的性质，属于中档题．二、解答题（共6大题，共90分）15．（15分）设实部为正数的复数z，知足，且复数（1+2i）z在复平面上对应的点在第一、三象限的角均分线，求复数z．考点：复数求模；复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．剖析：设出复数z，由，复数（1+2i）z的实部和虚部相等联立方程组即可求得复数z．解答：解：设z=a+bi，a，b∈R，a＞0，221+2i）z=（1+2i）（a+bi）=a﹣2b+（2a+b）i，得a﹣2b=2a+b②①②联立，解得a=3，b=﹣1得z=3﹣i．评论：此题考察了复数的模，考察了复数的代数表示法和几何意义，是基础的运算题．16．（15分）4个男同学，3个女同学站成一排．1）男生甲一定排在正中间，有多少种不一样的排法？2）3个女同学一定排在一同，有多少种不一样的排法？3）任何两个女同学相互不相邻，有多少种不一样的排法？（4）此中甲、乙两名同学之间一定有3人，有多少种不一样的排法？考点：摆列、组合及简单计数问题．专题：应用题．剖析：（1）男生甲地点确立，只需让其他6人全排2）（捆绑法）先让3个女生“捆绑”成一个整体，内部排序，而后把女生当作一个整体，与其他的男生排序（3）先把4个男生摆列，而后把3个女生向5个空档插孔（4）先把甲乙排好次序，而后从余下的5人中选出3人站在甲乙中间，而后把甲乙及中间的5人看成一个整体，和其他的2人看着3个整体进行排序解答：（此题满分15分）解：（1）男生甲地点确立，只需让其他6人全排：；（3分）（2）（捆绑法）先让3个女生“捆绑”成一个整体，内部排序有种，而后把女生当作一个整体，与其他的男生摆列有，共有（7分）（3）先把4个男生排演有种排法，而后把3个女生向5个空档插孔，有=1440（11分）（4）先把甲乙排好次序有种排序，而后从余下的5人中选出3人站在甲乙中间，有种，而后把甲乙及中间的5人当作一个整体，和其他的2人看着3个整体进行排序，有，共有．（15分）评论：此题主要考察了排演中常有方法：特别元素优先安排法，不相邻元素插孔法，相邻元素捆绑法的应用．17．（15分）已知（m是正实数）的睁开式的二项式系数之和为256，睁开式中含x项的系数为112．1）求m，n的值；2）求睁开式中奇数项的二项式系数之和；（3）求的睁开式中含x2项的系数．考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：计算题．剖析：（1）由题意可得2n=256，由此解得n=8．再依据含x项的系数为，求得m的值．（2）睁开式中奇数项的二项式系数之和为，再依据二项式系数的性质求得结果．（3），可得含x2的系数为，运算求得结果．解答：解：（1）由题意可得n．（3分）2=256，解得n=8含x项的系数为，（5分）解得m=2，或m=﹣2（舍去）．故m，n的值分别为2，8．（6分）（2）睁开式中奇数项的二项式系数之和为．（9分）（3）2评论：此题主要考察二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于中档题．

，（11分）18．（15分）（2007?天津）已知甲盒内有大小同样的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小同样的2个红球和4个黑球．此刻从甲、乙两个盒内各任取2个球．I）求拿出的4个球均为黑色球的概率；（Ⅱ）求拿出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设ξ为拿出的4个球中红球的个数，求ξ的散布列和数学希望．考点：等可能事件的概率；失散型随机变量及其散布列．剖析：（1）拿出的4个球均为黑色球包含从甲盒内拿出的2个球均黑球且从乙盒内拿出的2个球为黑球，这两个事件是互相独立的，依据互相独立事件同时发生的概率获得结果．（2）拿出的4个球中恰有1个红球表示从甲盒内拿出的2个球均为黑球；从乙盒内拿出的2个球中，1个是红红，1个是黑球或从甲盒内拿出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内拿出的2个球均为黑球两种状况，它们是互斥的．（3）ξ为拿出的4个球中红球的个数，则ξ可能的取值为0，1，2，3．联合前两问的解法获得结果，写出散布列和希望．解答：解：（I）设“从甲盒内拿出的2个球均黑球”为事件A，“从乙盒内拿出的2个球为黑球”为事件B．∵事件A，B互相独立，且．∴拿出的4个球均为黑球的概率为P（A?B）=P（A）?P（B）=．（II）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内拿出的2个球中，1个是红红，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内拿出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内拿出的2个球均为黑球”为事件D．∵事件C，D互斥，且．∴拿出的4个球中恰有1个红球的概率为P（C+D）=P（C）+P（D）=．（III）解：ξ可能的取值为0，1，2，3．由（I），（II）得，又，从而P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）=．ξ的散布列为ξ的数学希望．评论：本小题主要考察互斥事件、互相独立事件、失散型随机变量的散布列和数学希望等基础知识，考察运用概率知识解决实质问题的能力．19．（15分）已知ai＞0（i=1，2，，n），考察①；②；③．概括出对a1，a2，，an都建立的近似不等式，并用数学概括法加以证明．考点：数学概括法；概括推理．专题：证明题．剖析：依题意可概括出：（a1+a2++an）（+++2）≥n；下边用数学概括法证明：①当n=1时易证；②假定当n=k时，不等式建立，去证明当n=k+1时，不等式也建立刻可，需注意概括假定的利用与基本不等式的应用．解答：结论：（a1+a2++an）（+++2）≥n（3分）证明：①当n=1时，明显