第九章弯曲变形静不定梁

第九章弯曲变形静不定梁

摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。

桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。

但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。

例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。1.挠曲线二、弯曲变形的基本概念挠曲线2.挠度和转角规定：向上的挠度为正逆时针的转角为正挠曲线方程：转角方程：§9-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分一、梁的挠曲线近似微分方程式

曲线的曲率为梁的挠曲线近似微分方程:二、用积分法求梁的变形式中积分常数C、D由边界条件和连续条件确定

例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和vmax。解：由边界条件：得：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：

例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和vmax。解：由边界条件：得：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：

例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和vmax。解：由边界条件：得：由对称条件：得：AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：

例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和vmax。解：由对称性，只考虑半跨梁ACD由连续条件：由边界条件：由对称条件：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：§9-3用叠加法计算梁的变形

梁的刚度计算一、用叠加法计算梁的变形在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。例：用叠加法求解：

例：已知梁的为常数，今欲使梁的挠曲线在处出现一拐点，则比值为多少？解：由梁的挠曲线近似微分方程知，在梁挠曲线的拐点处有：从弯矩图可以看出：

例：两根材料相同、抗弯刚度相同的悬臂梁Ⅰ、Ⅱ如图示，Ⅱ梁的最大挠度是Ⅰ梁的多少倍？

例：简支梁在整个梁上受均布载荷q作用，若其跨度增加一倍，则其最大挠度增加多少倍？例：欲使AD梁C点挠度为零，求P与q的关系。解：

例：若图示梁B端的转角θB=0，则力偶矩ｍ等于多少？解：例：求图示梁C、D两点的挠度vC、vD。解：例：求图示梁B、D两处的挠度vB、vD

。解：例：求图示梁C点的挠度vC。解：

例：用叠加法求图示变截面梁B、C截面的挠度vB

、vC

。解：例：用叠加法求图示梁Ｃ端的转角和挠度。解：

例：用叠加法求图示梁跨中的挠度vC和B点的转角θB（ｋ为弹簧系数）。解：弹簧缩短量

例：梁AB，横截面为边长为a的正方形，弹性模量为E1；杆BC，横截面为直径为d的圆形，弹性模量为E2。试求BC杆的伸长及AB梁中点的挠度。

例：图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚度 。求C端挠度vC。解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为(2)弹簧不变形，仅梁变形引起的C点挠度为(3)C点总挠度为例：用叠加法求图示梁B端的挠度和转角。解：二、梁的刚度计算刚度条件：[v]、[θ]是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件正常工作时的要求。

例：图示工字钢梁，l=8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3，[v

]=l／500，E=200GPa，[σ]=100MPa。试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷[P]，并校核强度。解：由刚度条件§9-4提高弯曲刚度的措施

影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，就应从上述各种因素入手。一、增大梁的抗弯刚度EI二、减小跨度或增加支承三、改变加载方式和支座位置§9-5用变形比较法解静不定梁一、静不定梁的基本概念用多余反力代替多余约束，就得到一个形式上的静定梁，该梁称为原静不定梁的相当系统。二、用变形比较法解静不定梁例：求图示静不定梁的支反力。

解：将支座B看成多余约束，变形协调条件为：

另解：将支座A对截面转动的约束看成多余约束，变形协调条件为：