2020届高考数学选择题填空题专项练习(文理通用)11 基本不等式(含解析)

1111aa11311111111aa11311112020届高考数学选择题填题专项练习文理通用）11本不式第卷（择题一单题本题12小题每题分共60分。在小给的个项，有项是合目求。1.（河北高三期末（文）已知递增等差数列

{a}，a则a的（）n1A．大为B．最小值为4【答案】B【解析】

C．小值为

D．大为【分析】根据等差数列的通项公式可用表示出d.

由数列单调递增可得

a.用表出,

结合基本不等式即可求得最.【详解】因为

12

，由等差数列通项公,

设公差为d,

可得

11

，变形可得

d1

2a1因为数列

{a}n

为递增数列

所以

2da1

，即

a

，而由等差数列通项公式可知

31

，由

1

,

41

结合基本不等式可得

4

，当且仅当

a1

时取得等号，所以的小值为4。【点睛】本题考查了等差数列通项公式与单调性的应基本不等式在求最值中的用属中档题2山高三期理）若程

ln

有两个不等的实根x和x1

xx22

的取值范围）A．

B

C．

D．

【答案】C【解析】【分析】由方程可得两个实数根的关系，再利用不等式求解范.【详解】因为

ln

两个不等的实根是x和x，妨令12

x1222111cos22222y2111cos22222y故可得

In

xx12

，解得

，则

xx2=x21

xx1

x1

，故选：【点睛】本题考查对数函数的性质，涉及均值不等式的使用，属基础.3海高三月考）已知

,b

，且ab，b的小值为（）A．

B4

C．D2【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式即可求得结.【详解】由ab0得：b4

，2ab2222

4（且仅当2b，

时取等号）故答案为：

8【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，属于基础.4内古高三期末）A．B16

912cos2

的最小值为（）C．D12【答案】B【解析】【分析】利用22将

9sin22

变为积为定值的形式后，根据基本不等式可求得最小【详解】∵sin

2

cos

2

，

29cos222

31当仅当，cos2时成立4sin2cos

的最小值为【点睛】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，解题关键是变形为积为定值，才能用基本等式求最值，属于基础题5广中山纪念中学高三月（理已，均正实数且最小值为（）

11则的6A．【答案】A

B24C．．32xyxxmaxxyxxmax【解析】分析：由已知条件构造基本不等式模型

x

即可得出详解：x,y

均为正实数，且

111，则yxy2)

6(

11)[(x

yxyx)6(2xyxy

)

当且仅当

x

时取等号x

的最小值为20.故A.点睛：本题考查了基本不等式的性质一正、二定、三相”6海中学高三月考）当

x

时，不等式x

2

mx恒成立，则的值范围是（）A．

(

B2,

C．

D．(2,【答案】D【解析】【分析】将不等式恒成立转化为最值问题，利用均值不等式求解即.【详解】当

x

时，不等式xmx恒立，等价于

在

x

时恒成立即等价于

2x

；而因为，故xx,xx

当且仅当

x

2x

时取得最大值故m。【点睛】本题考查二次函数在区间上的恒成立问题，分离参数，转化为最值问题，是一般思路本题中还涉及利用均值不等式求最.

属综合题.（天市第一中学高三月考（文）已知

，若不等式

31naba

恒成立，则的大值为（）A．【答案】C【解析】

B12C．

D．【分析】可左右同乘

，再结合基本不等式求解即可b42422222b42422222【详解Qa0,

，

1a

，1

b3ab31016b

当且仅当

a

时号成立n。【点睛】本题考查基本不等式求最值，属于基础题8四石室中学高三月考（文、理）设x，，的最小值是（）

1，2logxlog2

，则A．

B

C．

log62

D．

2log

2

38【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式可求出的小值，利用换底公式以及对数的运算律可得出

的最小.【详解】x>0

，y，

11y

1111，4x2y2xy2xy

，

18

且当

xy

时取等号

1z2logxlogyylogxylog8

的最小值是

.

故选：【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，同时也考查了换底公式以及对数运算性质的应用，查计算能力，属于基础题9东高三月考（文）如，三棱锥的个顶点恰是长、宽、高分别是，，的方体的顶点，此三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球体积的最小值为（）A．C．

2563323

B．D．

2【答案】C【解析】x,x,【分析三棱锥的体积关系可得m,

根据三棱锥与长方体共外接长方体的对角线就是外接球的直径可得

R

2

2

,

根据基本不等式可得半径的最小,

进一步可得体积的最小值【详解长方体的结构特征可知三棱锥的高为,以

13

,所,

又该三棱锥的外接球就是长方体的外接该接球的直径是长方体的对角设外接球的半径为,所以

R

22

,所以2R

12,

当且仅当m6时等号成,

，所以R2,

所以该三棱锥外接球体积为

43

4323

.

故选C【点睛】本题考查了三棱锥的体积公球的体积公长方体的对角线长定基不等式

属于中档题10.（江南师大附中高三月考）在

ABC

中，内角

A,B

的对边另别是

c

，已知

2

sin

2

B2sin3sin

2

，则

C

的最大值为（）A．

B

C．

D．

【答案】A【解析】【分析】由已知可得2a

2

2

2abc

2

，结合余弦定理，求出C用示，用基本不等式求出cos

的最小值，即可求解【详解】2sin

2

sin

2

B2sin3sin

2

,

由正弦定理得

2

2

2abc

2

，由余弦定理得c

2

2

2

ab，abcosC

2

b

2

，C

b22,cosa6

且仅当a时号成立12C

，所以

的最大值为

.【点睛】本题考查三角函数的最值，考查正、余弦定理解三角形，应用基本不等式求最值，属中档（天市第一中学高三月考（理、文）实满条件

x

.

当目标函数

在该约束条件下取到最小值时

1a

的最小值为（）A．

6

B

C．

3

D．2yaya【答案】D【解析】【分析目标函数化为

y

azxb

题约束条件作出可行域图意得到

2a

，再由

21b4ab4b4

，结合基本不等式，即可求出结.【详解】由

得

y

x，为a,b0，以直线的斜率为

，作出不等式

x

对应的平面区域如下：由图像可得：当直线

y

azzx经点时，直线yb

在轴距最小，此时

最小。由

x

解得

，即A(2,1)，时目标函数

的最小值为4，即

2a

，所以

a)24b4a4

.b当且仅当，时，等号成.故选：ab【点睛】本题主要考查简单线性规划与基本不等式的综合，熟记基本不等式，会求解简单的线规划问题即可，属于常考题型12.（内蒙古高期末（文、理）已0

，

y

，则

y

的最小值为（）A．

B2

C．10

D．23【答案】B【解析】xyxy【分析】根据均值不等式，可有2

，则

22

x，y22

，

1y2

，

12

再利用不等式的基本性质边分别相加求解。【详解】因为

2

2

xy

，所以2(

)xy

y

，所以

x

yxy2

，所以2

2

，

2

2

，

1y2

，

12所以两边分别相加得

y

，当且仅当xy

取等号，故选：【点睛】本题主要考查了均值不等式，还考查了运算求解的能力，属于中档第卷（选择题二填题本题4小题每题5分共20分把案填题的线。13广柳州高级中学高三开学考文已

x

54

则函数

yx

14

的最小值为______.【答案】【解析】【分析】转化函数，通过基本不等式求解即可．【详解Q

54

，x

，

yx

11x4

．当且仅当

4

1，即，即x42

时等号成立【点睛】本题考查基本不等式在最值中的应用，考查计算能力．14苏高三月考）若ab均非负实数，且【答案】【解析】

，则2a

的最小值为_____.【分析】由条件可得

a

14，然后将2a变为b

，运用基本不等式即可求.【详解】因为

，且ab均非负实数，以

a

1b所以

2

2bbbb当且仅当

4b

即

b

时取得最小值，所以

2a

的最小值为，此时

，故答案为：11111111111111【点睛】当题目中有2个字母时利用题目的方程将所求式子进行消元是常用方.（江南京师大附中高三月考）在平面直角坐标系x中已知点

A

，点在线段

OA

的延长线上设线

MN

与直线

OA

及x轴围成的三角形面积为

，则S

的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】求出直线OA方，设点N坐标，求出直线MN的程，进而求出直MN与轴点的坐标，将所求三角形的面积

表示成

N

点坐标的函数，根据函数特征，利用基本不等式求出最小.【详解】点

A

，直线方程为

yx

，点在段的延长线上，设

N(a,2),

，当

a

时，

N(4,8),S

，当a，

a

时，直线

MN

方程为y

2a

a3(4)，令y0,x4aa

，1a1Sa3(1)3(a)a)2

，当且仅当a时等号成.所以

的最小值为12.故案为12.【点睛】本题考查三角形面积的最小值，解题时认真审题，注意基本不等式的应用，属于中档16南长沙一中高三月考（理）如所示,已点G是VABC的重心,过G作线分别交AB，uuur两于M，两点，且，则xy的小值______.4+2【答案】．【解析】【分析】根据重心的性质有

AGAC,再表达成AMAN的关系式3

再根据,