chap34函数的极值与微分法作图

PekingUniversityPressII、微分法作图I、曲线的凹凸性第四节机动目录上页下页返回结束函数的微分法作图

第三章PekingUniversityPress机动目录上页下页返回结束I、曲线的凹凸与拐点

第三章PekingUniversityPressyxoabyoabx

定义如果曲线弧总位于它的每一点的切线的上方，则称该曲线弧是（向上）凹的（concave)；如果曲线弧总位于它的每一点的切线的下方，则称该曲线弧是（向上）凸的(convex)凹弧凸弧凹、凸弧的分界点，称为曲线的拐点(inflectionpoint)。PekingUniversityPress定理2.(凹凸判定法)(1)在

I内则在I

内图形是凹的;(2)在

I内则在

I

内图形是凸的.证:利用一阶泰勒公式可得两式相加说明(1)成立;(2)机动目录上页下页返回结束设函数在区间I上有二阶导数证毕PekingUniversityPress例3.判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是向上凹的.说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,机动目录上页下页返回结束PekingUniversityPress例4.求曲线的拐点.解:不存在因此点(0,0)

为曲线的拐点.凹凸机动目录上页下页返回结束PekingUniversityPress例5.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得对应3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸,点(0,1)

及均为拐点.凹凹凸机动目录上页下页返回结束PekingUniversityPress内容小结

曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点机动目录上页下页返回结束PekingUniversityPress

.

曲线的凹区间是凸区间是拐点为提示:及

;

;第五节目录上页下页返回结束思考与练习PekingUniversityPress一、曲线的渐近线二、函数图形的描绘机动目录上页下页返回结束II、微分法作图

第三章PekingUniversityPress无渐近线.点M

与某一直线L的距离趋于0,一、曲线的渐近线定义.

若曲线

C上的点M

沿着曲线无限地远离原点时,则称直线L为曲线C

的渐近线.例如,双曲线有渐近线但抛物线或为“纵坐标差”机动目录上页下页返回结束PekingUniversityPress1.水平与铅直渐近线若则曲线有水平渐近线若则曲线有垂直渐近线例1.

求曲线的渐近线.解:为水平渐近线;为垂直渐近线.机动目录上页下页返回结束PekingUniversityPress2.斜渐近线斜渐近线若机动目录上页下页返回结束PekingUniversityPress例2.

求曲线的渐近线.解:所以有铅直渐近线及又因为曲线的斜渐近线.机动目录上页下页返回结束PekingUniversityPress二、函数图形的描绘步骤:1.确定函数的定义域,期性;2.求并求出及3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.确定某些特殊点,描绘函数图形.为0和不存在的点;并考察其对称性及周机动目录上页下页返回结束PekingUniversityPress例3.

描绘的图形.解:1)定义域为无对称性及周期性.2)3)(极大)(拐点）(极小)4)机动目录上页下页返回结束PekingUniversityPress例4.描绘方程的图形.解:1)定义域为2)求关键点机动目录上页下页返回结束PekingUniversityPress3)判别曲线形态(极大)(极小)4)求渐近线为铅直渐近线无定义机动目录上页下页返回结束PekingUniversityPress又因即5)求特殊点为斜渐近线机动目录上页下页返回结束PekingUniversityPress6）绘图(极大)(极小)斜渐近线铅直渐近线特殊点机动目录上页下页返回结束无定义PekingUniversityPress水平渐近线;垂直渐近线;

内容小结1.曲线渐近线的求法斜渐近线按作图步骤进行2.函数图形的描绘机动目录上页下页返回结束PekingUniversityPress思考与练习

1.曲线(A)没有渐近线；(B)仅有水平渐近线；(C)仅有铅直渐近线；(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线.提示:机动目录上页下页返回结束PekingUniversityPress拐点为

,凸区间是

,2.

曲线的凹区间是

,提示