工程流体力学课件

第四章不可压缩流体的有旋流

动和二维无旋流动第一节流体微团运动分析第二节有旋流动和无旋流动第三节无旋流动的速度势函数第四节二维平面流动的流函数第五节基本的平面有势流动第六节平面势流的叠加流动欢迎进入第四章的学习

流体由于具有易变形的特性（易流动性），因此流体的运动要比工程力学中的刚体的运动复杂得多。在流体运动中，有旋流动和无旋流动是流体运动的两种类型。由流体微团运动分析可知，有旋流动是指流体微团旋转角速度的流动，无旋流动是指的流动。实际上，黏性流体的流动大多数是有旋流动，而且有时是以明显的旋涡形式出现的，如桥墩背流面的旋涡区，船只运动时船尾后形成的旋涡，大气中形成的龙卷风等等。但在更多的情况下，流体运动的有旋性并不是一眼就能看得出来的，如当流体绕流物体时，在物体表面附近形成的速度梯度很大的薄层内，每一点都有旋涡，而这些旋涡肉眼却是观察不到的。至于工程中大量存在着的紊流运动，更是充满着尺度不同的大小旋涡。

流体的无旋流动虽然在工程上出现得较少，但无旋流动比有旋流动在数学处理上简单得多，因此，对二维平面势流在理论研究方面较成熟。对工程中的某些问题，在特定条件下对黏性较小的流体运动进行无旋处理，用势流理论去研究其运动规律，特别是绕流物体的流动规律，对工程实践具有指导意义和应用价值。因此，本章先阐述有旋流动的基本概念及基本性质，然后再介绍二维平面势流理论。

第一节流体微团运动分析刚体的一般运动可以分解为移动和转动两部分。流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变形。因此，任一流体微团在运动过程中不但与刚体一样可以移动和转动，而且还会发生变形运动。所以，在一般情况下流体微团的运动可以分解为移动、转动和变形运动三部分。一、表示流体微团运动特征的速度表达式图4-1分析流体微团运动用图

剪切变形速率、、、、、，引入记号，并赋予运动特征名称：线变形速率、、，、、，（4-1）（4-2）于是可得到表示流体微团运动特征的速度表达式为旋转角速度、、，（4-3）（4-4）二、流体微团团运动的分解解为进一步分析析流体微团的的分解运动及及其几何特征征，对式(4-4)有较较深刻的理解解，现在分别别说明流体微微团在运动过过程中所呈现现出的平移运运动、线变形形运动、角变变形运动和旋旋转运动。为简化分析，，仅讨论在平平面面上流体微团团的运动。假假设在时刻，，流体体微团ABCD为矩形，，其上各点的的速度分量如如图4-2所所示。由于微微团上各点的的速度不同，，经过时间，，势必必发生不同的的运动，微团团的位置和形形状都将发生生变化，现分分析如下。1．平移运运动图4-2分析流流体微团平平面运动用用图a2．线变形形运动b图4-3流流体微微团平面运运动的分解解(a)返回图4-3流流体微微团平面运运动的分解解(b)返回图4-3流流体微微团平面运运动的分解解(c)返回图4-3流流体微微团平面运运动的分解解(d)返回3．角变形形运动c4．旋转运运动d综上所述，，在一般情情况下，流流体微团的的运动总是是可以分解解成：整体体平移运动动、旋转运运动、线变变形运动及及角变形运运动，与此此相对应的的是平移速速度、旋转转角速度、、线变形速速率和剪切切变形速率率。第二节有有旋流动动和无旋流流动一、有旋流流动和无旋旋流动的定定义二、速度环环量和旋涡涡强度一、有旋流流动和无旋旋流动的定定义流体的流动动是有旋还还是无旋，，是由流体体微团本身身是否旋转转来决定的的。流体在在流动中，，如果流场场中有若干干处流体微微团具有绕绕通过其自自身轴线的的旋转运动动，则称为为有旋流动动。如果在在整个流场场中各处的的流体微团团均不绕自自身轴线的的旋转运动动，则称为为无旋流动动。这里需需要说明的的是，判断断流体流动动是有旋流流动还是无无旋流动，，仅仅由流流体微团本本身是否绕绕自身轴线线的旋转运运动来决定定，而与流流体微团的的运动轨迹迹无关，在在图4-4(a)中，虽然然流体微团团运动轨迹迹是圆形，，但由于微微团本身不不旋转，故故它是无旋旋流动；在在图4-4(b)中，虽然然流体微团团运动轨迹迹是直线，，但微团绕绕自身轴线线旋转，故故它是有旋旋流动。在在日常生活活中也有类类似的例子子，例如儿儿童玩的活活动转椅，，当转轮绕绕水平轴旋旋转时，每每个儿童坐坐的椅子都都绕水平轴轴作圆周运运动，但是是每个儿童童始终是头头向上，脸脸朝着一个个方向，即即儿童对地地来说没有有旋转。图4-4流流体微团团运动无旋流动动有旋流动动判断流体体微团无无旋流动动的条件件是：流流体中每每一个流流体微团团都满足足根据式（（4-3），则则有（4-8）二、速度度环量和和旋涡强强度1．速度度环量为了进一一步了解解流场的的运动性性质，引引入流体体力学中中重要的的基本概概念之一一——速速度环量量。在流场中中任取封封闭曲线线k，如如图4-5所示。速速度沿沿该该封闭曲曲线的线线积分称称为速度度沿封闭闭曲线k的环量量，简称称速度环环量，用用表表示，，即式中————在封闭闭曲线上上的速度度矢量；；——速度度与该点点上切线线之间的的夹角。。速度环量量是个标标量，但但具有正正负号。。（4-9）图4-5沿沿封闭曲曲线的速速度环量量在封闭曲曲线k上上的速度度矢量速度与与该该点上切切线之间间的夹角角速度环量量的正负负不仅与与速度方方向有关关，而且且与积分分时所取取的绕行行方向有有关。通通常规定定逆时针针方向为为K的正正方向，，即封闭闭曲线所所包围的的面积总总在前进进方向的的左侧，，如图4-5所所示。当当沿顺时时针方向向绕行时时，式（（4-9）应加加一负号号。实际际上，速速度环量量所表征征的是流流体质点点沿封闭闭曲线K运动的的总的趋趋势的大大小，或或者说所所反映的的是流体体的有旋旋性。由于和和，，则代入式（（4-9），得得（4-10）2．旋涡涡强度沿封闭曲曲线Ｋ的速度环环量与有有旋流动动之间有有一个重重要的关关系，现现仅以平平面流动动为例找找出这个个关系。。如图4-6所所示，在在平面上上取取一微元元矩形封封闭曲线线，其面面积，流体在A点的速度度分量为和，则B、C和D点的的速度分量分别为为：图4-6沿微微元矩形的速度环环量于是，沿封闭曲线线反时针方向ABCDA的速度环环量将、、、和和、、、、各各值代入上式，，略去高于一阶的的无穷小各项，再再将式（4-3））的第三式代入后后，得然后将式（4-11）对面积积分分，得（4-11）（4-12）于是得到速度环量量与旋转角速度之之间关系的斯托克克斯定理：沿封闭闭曲线的速度环量量等于该封闭周线线内所有的旋转角角速度的面积积分分的二倍，称之为为旋涡强度I，即即和式中———在微元元面积的的外法线上上的分量。（4-13）由式（4-11））可导出另一个表表示有旋流动的量量，称为涡量，以以表示之。。它定义为单位面面积上的速度环量量，是一个矢量。。它在Z轴方向的的分量为对于流体的空间流流动，同样可求得得X和Y轴方向涡涡量的分量和和。于是是得即（4-14）（4-15）也就是说，在有旋旋流动中，流体运运动速度的的旋度称为涡量。。由此可见，在流体体流动中，如果涡涡量的三个分量中中有一个不等于零零，即为有旋流动动。如果在一个流流动区域内各处的的涡量或它的分量量都等于零，也就就是沿任何封闭曲曲线的速度环量都都等于零，则在这这个区域内的流动动一定是无旋流动动。下面举两个简单的的例子来说明速度度环量和旋涡强度度的物理意义，以以及有旋流动和无无旋流动的区别。。【例4-1】一个以角速速度按反时时针方向作像刚体体一样的旋转的流流动，如图4-7所示。试求在这个个流场中沿封闭曲曲线的速度环量，，并证明它是有旋旋流动.(解)【例4-2】一个流体绕绕O点作同心圆的的平面流动，流场场中各点的圆周速速度的大小与该点点半径成成反比，即，，其中C为常数数，如图4-8所示。试求在流场场中沿封闭曲线的的速度环量，并分分析它的流动情况况。(解)【解】在流场中对应应于任意两个半径径和的的圆周速度度各为和和，，沿图中中画斜线扇形部分分的周界ABCDA的速度环量可见，在这个区域域内是有旋流动。。又由于扇形面积积于是上式正是斯托克斯斯定理的一个例证证。以上结论可推广适适用于圆内任意区区域内。返回例题图4-7有旋旋流动中速度环量量的计算图4-8无旋旋流动中速度环量量的计算返回例题【解】沿扇形面积积周界的速度环量量可见，在这区域内内是无旋流动。这这结论可推广适用用于任何不包围圆圆心O的区域内，，例如。。若若包有圆心()，该处处速度等于无限大大，应作例外来处处理。现在求沿半半径的圆周周封闭曲线的速度度环量上式说明，绕任何何一个圆周的流场场中，速度环量都都不等于零，并保保持一个常数，所所以是有旋旋流动。但凡是是绕不包括圆心在在内的任何圆周的的速度环量必等于于零，故在圆心O点处必有旋涡存存在，圆心是一个个孤立涡点，称为为奇点。返回例题第三节无旋旋流动的速度势函函数如前所述，在流场场中流体微团的旋旋转角速度在在任意时刻处处处为零，即满足足的的流动为为无旋流动，无旋旋流动也称为有势势流动。一、速度势函数引引入二、速度势函数的性性质一、速度势函数引引入由数学分析可知，，是是成成为某一一标量函数全全微微分的充分必要条条件。则函数称称为速度势函函数。因此，也可可以说，存在速度度势函数的的流动为有势流动动，简称势流。根根据全微分理论，，势函数的的全微分可写成于是得（4-16）按矢量分析对于圆柱坐标系，，则有于是从以上分析可知，，不论是可压缩流流体还是不可压缩缩流体，也不论是是定常流动还是非非定常流动，只要要满足无旋流动条条件，必然存在速速度势函数。（4-17）（4-18）二、速度势函数的的性质（1）不可压缩流流体的有势流动中中，势函数满满足拉普拉斯方方程，势函数是是调和函数。。将式（4-16））代入到不可压缩缩流体的连续性方方程（3-28））中，则有式中为为拉拉普拉斯算子，式式（4-19）称称为拉普拉斯方程，所以在不不可压流体的有势势流动中，速度势势必定满足拉普拉拉斯方程，而凡是是满足拉普拉斯方方程的函数，在数数学分析中称为调调和函数，所以速速度势函数是一个个调和函数。(4-19)从上可见，在不可可压流体的有势流流动中，拉普拉斯斯方程实质是连续续方程的一种特殊殊形式，这样样把求解无旋流动动的问题，就变为为求解满足一定边边界条件下的拉普普拉斯方程的问题题。（2）任意曲线上上的速度环量等于于曲线两端点上速速度势函数值值之差。而与曲曲线的形状无关。。根据速度环量的定定义，沿任意曲线线AB的线积分这样，将求环量问问题，变为求速度度势函数值之差的的问题。对于任意意封闭曲线，若A点和B点重合，，速度势函数是单单值且连续的，则则流场中沿任一条条封闭曲线的速度度环量等于零，即即。。第四节二维维平面流动的流函函数一、流函数的引入入对于流体的平面流流动，其流线的微微分方程为,将其改写成下列列形式（4-20）在不可压缩流体的的平面流动中，速速度场必须满足不不可压缩流体的连连续性方程，即或（（4-21））由数学分析可知，，式（4-21））是（））成为某函数全微微分的充分必要条条件，以表表示该函数，，则有（4-22）函数称为流场的流流函数。由式（4-22）可得（4-23）由式(4-22)，令，，即常常数，可得流流线微分方程式(4-20)。由由此可见,常常数的曲曲线即为流线，若若给定一组常数值值，就可得到流线线簇。或者说，只只要给定流场中某某一固定点的坐标标（））代入流函数数，便可可得到一条过该点点的确定的流线。。因此，借助流函函数可以形象地描描述不可压缩平面面流场。对于极坐标系，可可写成（4-24）（4-25）在已知速度分布的的情况下，流函数数的求法与速度势势函数一样，可由由曲线积分得出。。至此可看到，在不不可压缩平面流动动中，只要求出了了流函数，，由式（4-23）或式（4-24）就可求求出速度分布。反反之，只要流动满满足不可压缩流体体的连续性方程，，不论流场是否有有旋，流动是否定定常，流体是理想想流体还是黏性流流体，必然存在流流函数。。这里需说明，等流流函数线与流线等等同，仅在平面流流动时成立。对于于三维流动，不存存在流函数，也就就不存在等流函数数线，但流线还是是存在的。二、流函数的性质质（1）对于不可压压缩流体的平面流流动，流函数永永远满足连续性方程。将式（4-23））代入式（4-21）得即流函数永远满足足连续性方程。（2）对于不可压压缩流体的平面势势流，流函数满满足拉普拉斯方程，流函数数也是调和函数。。对于平面无旋流动动，，，则将式（4-23）代代入上式因此，不可可压缩流体体平面无旋旋流动的流流函数也满满足拉普拉拉斯方程，也也是一个调调和函数。。因此，在平平面不可压压缩流体的的有势流场场中的求解解问题，可可以转化为求求解一个满满足边界条条件的的的拉普拉斯斯方程.（3）平面面流动中，，通过两条条流线间任任一曲线单位厚厚度的体积积流量等于于两条流线线的流函数之差差。这就是是流函数的的物理理意义。如图4-9所示，在在两流线间间任一曲线线AB，则通通过单位厚厚度的体积积流量为（4-26）由式（4-26）可可知，平面面流动中两两条流线间通过的流流量等于这这两条流线线上的流函函数之差。图4-9说说明流函函数物理意意义用图三、和和的的关系（1）满足足柯西-黎黎曼条件如果是不可可压缩流体体的平面无无旋流动，，必然同时时存在着速速度势和流函函数，比较较式（4-16）和和式（4-23），，可得到速速度势函数和流流函数之间间存在的如如下关系（4-27）（4-28）这是一对非非常重要的的关系式，，在高等数数学中称作作柯西-黎黎曼条件。因此此，和和互互为共轭调调和函数，，这就有可可能使我们们利用复变函数数这样一种种有力的工工具求解此此类问题。。当势函数和和流流函数二二者知其一一时，另一一个则可利利用式（4-27）的关关系求出，，而至多相相差一任意意常数。（2）流线线与等势线线正交。式（4-28）是等等势线簇[常常数]和流流线簇[常常数数]互相正正交的条件，若在同同一流场中中绘出相应应的一系列流线和和等势线，，则它们必必然构成正交网格格，称为流流网，如图图4-10所示。图4-10流网网【例4-3】有一一不可压流流体平面流流动的速度度分布为。。①①该平面流流动是否存存在流函数数和速度势函数；②②若存在，，试求出其其表达式；；③若在流流场中A（1m，1m）处的绝对压压强为1.4×105Pa，，流体的密密度1.2kg/m3，则B（2m，，5m）处的绝对压压强是多少少？【解】（1）由不可可压流体平平面流动的的连续性方方程该流动满足足连续性方方程，流动动是存在的的，存在流流函数。由于是平面面流动该流动无旋旋，存在速速度势函数数。（2）由流流函数的全全微分得：：积分由速度势函函数的全微微分得：积分（3）由于于，，因此，，A和B处处的速度分分别为由伯努里方方程可得第五节基基本的的平面有势势流动流体的平面面有势流动动是相当复复杂的，很很多复杂的的平面有势势流动可以以由一些简简单的有势势流动动叠加而成成。所以，，我们首先先介绍几种种基本的平平面有势流流动，它包包括均匀直线流动动，点源和点汇、点涡等一、均匀直线线流动流体作均匀直直线流动时，，流场中各点点速度的大小小相等，方向相同，即和和。。由式（4-16））和式（4-23）），得于是速度势和和流函数各为为以上两式中的的积分常数和和可可以任任意选取，而而不影响流体体的流动图形（（称为流谱））。若令，，即得均匀直直线流动的速速度势和流函函数各为（4-29））（4-30））由式（4-29））和式（4-30））可知，等势线线簇（常常数）和流线簇簇（=常数）互相相垂直，如图4-11所示。各流线线与轴的夹角等于。。由于流场中各各点的速度都都相等，根据据伯努里方程程（3-41），得常数如果均匀直线线流动在水平平面上，或流流体为气体，，一般可以忽忽略重力的影响响，于是常数即流场中压强强处处相等。。图4-11均均匀直线流流的流谱二、平面点源源和点汇如果在无限平平面上流体不不断从一点沿沿径向直线均均匀地向各方流出，则则这种流动称称为点源，这这个点称为源源点（图4-12，a）；若流体不断断沿径向直线线均匀地从各各方流入一点点，则这种流动称为点点汇，这个点点称为汇点（图4-12，b）。显然，这两两种流动的流线线都是从原点点O发出的的放射线，即即从源点流出出和向汇点流入都都只有径向速速度。。现将极坐坐标的原点作作为源点或汇点，则图4-12点点源和点汇汇的流谱点源点汇back根据流动的连连续性条件，，流体每秒通通过任一半径径为的的单位长度圆圆柱面上的流量都都应应该相等，即即常数由此得（4-31））式中是是点源或点汇汇在每秒内流流出或流入的的流量，称为为点源强度或点汇强度度。对于点源源，与同同向，取取正号；对对于点汇，与与异向，取取负号，于是是积分得式中积分常数数是任任意给定的，，现令。。又由于于，，于是是得速度势（4-32））当时时，速速度势和和速速度都变变成无穷大，，源点和汇点点都是奇点。。所以速度势和和速度度的的表达式（4-31）和和式（4-32）只有在在源点和汇点点以外才能应用用。现在求流函数数，由式（4-25）积分得(令式式中的积分常常数为零)（4-33））等势线簇（常常数，即常常数数）是同心圆圆簇（在图4-12中用虚线表示））与流线簇（（常常数，即常常数数）成正交。。而且除源点或汇汇点外，整个个平面上都是是有势流动。。如果平平面是是无限水平面面，则根据伯伯努里方程（（3—41））式中为为在在处处的流体压强强，该处的速速度为零。将式（4-31）代入上上式，得（4-34））由式（4-34）可知，，压强随随着半径的的减减小而降低。。当时，。。图4-13表示当时时，点汇沿半径的的压强分布。。图4-13点点汇沿半径径的压强分布布三、点涡设有一旋涡强强度为的的无限长直直线涡束，该该涡束以等角角速度绕绕自身轴旋旋转，并带动动涡束周围的的流体绕其环环流。由于直线涡束为为无限长，所所以可以认为为与涡束垂直直的所有平面面上的流动情况况都一样。也也就是说，这这种绕无限长长直线涡束的的流动可以作为平面面流动来处理。由由涡束所诱导出的的环流的流线是许多同心圆，，如图4-14所示。根据斯托克克斯定理可知，沿任一同心圆周流流线的速度环量等等于涡束的旋涡强强度，即常数于是（4-35）因此涡束外的速度度与半径成反比。。若涡束的半径，，则成为一条涡线，这这样的流动称为点点涡，又称为纯环环流。但当时，，，所以以涡点是一个奇点点。图4-14点涡涡的流谱现在求点涡的速度度势和流函数。由由于由积分后得速度势（4-36）又由于由积分后得流函数（4-37）当时时，环流为反时针针方向，如图4-14所示；当时时，环流为顺时针方向。由式（4-36））和式（4-37）可知，点涡的的等势线簇是经过过涡点的放射线，而流线簇是同同心圆。而且除涡涡点外，整个平面面上都是有势流动动。设涡束的半径为，，涡束束边缘上的速度为为，，压强为；；时时的速度显然为零零，而压强为。。代入入伯努里方程（3-41）），得涡束外区域域内的压强分布为（4-38）由式（4-38））可知，在涡束外外区域内的压强随随着半径的减小而降低，涡束外缘缘上的压强为或（4-39）所以涡束外区域内内从涡束边缘到无无穷远处的压强降降是一个常数。又由式（4-38）可知，在在处处，压强，，显然这是不可能的。所以以在涡束内确实存存在如同刚体一样样以等角速度旋转的旋涡区域域，称为涡核区。。由式（4-39）可得涡核的半径由于涡核内是有旋旋流动，故流体的的压强可以根据欧欧拉运动微分方程求得。平面面定常流动的欧拉拉运动微分方程为为将涡核内任一点的的速度和和代代入入上两式，得以和分分别乘以上两式式，然后相加，得得或积分得在处处，，，代代入上式，得最后得涡核区域内内的压强分布为（4-40）或（4-40a）于是涡核中心的压压强而涡核边缘的压强强所以可见，涡核内、外外的压强降相等，，都等于用涡核边边缘速度计算的动压头。涡核核内、外的速度分分布和压强分布如如图4-15所示。图5-14涡涡流中涡核内、外外的速度和压强分分布第六节平平面势流的叠加流流动从上节可以看到，，只有对一些简单单的有势流动，才能求出它们流函函数和势函数，但但当流动较复杂时时，根据流动直接求解解流函数和势函数数往往十分困难。。我们可以将一些些简单有势流动动进行叠加，得得到较复杂的流动，这样样一来，为求解解流动复杂的流流场提供了一个有力的工工具。因此，本本节先介绍势流流的叠加原理，然后再介介绍几种典型的的有实际意义的的叠加流动。一、势流叠加原原理前面我们知道，，速度势函数和和流函数都满足足拉普拉斯方程。凡是满足拉拉普拉斯方程的的函数，在数学学分析上都称为为调和函数，所以速速度势函数和流流函数都是调和和函数。根据调调和函数的性质，即即若干个调和函函数的线性组合合仍然是调和函函数，可将若干个个速度势函数(或流函数)线线性组合成一个个代表某一有势流动的的速度势函数(或流函数)。。现将若干个速速度势函数、、、、、…叠加，得（4-41）而（（4-42））显然，叠加后新新的速度势函数数也满足拉普拉拉斯方程。同样样，叠加后新的流函函数也满足拉普普拉斯方程，即即（4-43）这个叠加原理方方法简单，在实实际应用上有很很大意义，可以应用这个原理理把上一节所讨讨论的几个简单单的基本平面有有势流动叠加成所需需要的复杂有势势流动。将新的速度势函函数分别别对、、和取取偏导数，就就等于新的有势流动的的速度分别在、、和和轴轴方向上的的分量：（4-44）或（4-45）即（4-46）由此可见，叠加加后所得的复杂杂有势流动的速度为叠加前原原来的有势流动动速度的矢量和。由此，可得出一一个重要结论：：叠加两个或多多个不可压平面势流流流动组成一个新新的复合流动，，只要把各原始流动的势势函数或流函数数简单地代数相相加，就可得到该复合流流动的势函数或或流函数。该结结论称为势流的叠加原理理。二、螺旋流螺旋流是点涡和和点汇的叠加。。将式（4-36）和式（4-32）相加以及将式（（4-37）和和式（4-33）相加即得新新的有势流动的速度势和流函函数（4-47）（4-48）式中取反反时针方向为正正。于是得等势势线方程常数或（4-49）流线方程为常常数或（4-50）显然，等势线簇簇和流线簇是两两组互相正交的的对数螺旋线簇簇（图4-16）），称为螺旋流。。流体从四周向向中心流动。图4-16螺螺旋流的流谱谱研究螺旋流在工工程上有重要意意义。例如旋流流燃烧室、旋风除尘设备及多多级离心泵反导导叶中的旋转气气流即可看成是是这种螺旋流。螺旋流的速度分分布为（4-51）（4-52）（4-53）代入伯努里方程程（3-41）），得流场的压压强分布（4-54）三、偶极流将流量各为的的点源源和的的点汇相距2a距离放在X轴上，叠加后的流流动图形如图4-17所示，它的速度度势和流函数各为（4-55）（4-56）由流线方程（4-56）常常数数，得常常数，所所以流线是经过源点A和汇点点B的圆簇，而而且从源点流出出的流量全部流流入汇点。图4-17点点源和点汇的的叠加常数现在分析一种在在点源和点汇无无限接近的同时时，流量无限增增大（即）），以至使保保持持一个有限常数数值的极限情况。在这这种极限情况下下的流动称为偶偶极流，称称为偶极矩或偶极强度度。偶极流是有有方向的，一般般规定由点源指指向点汇的方向为正正向。如图4-18所示，偶极流指指向轴轴方向，这时的偶极矩取取正值值。偶极流的速度势势可由式（4-55）根据上上述极限条件求求得，将式（4-55）改写成常数常数图4-18偶偶极流的流谱谱从图4-19中可知，当A点点和B点向原点点O无限接近时，，，而且当当，，时时，，，，，又由于当为无穷穷小时，可以略略去高阶项，得得。。因此，偶极流的速速度势或（4-57）图4-19推推导偶极流用用图在图4-19中中，BC为从B点向AP所作作的垂线，则又当，，，，，，所以，，代入式式（4-56）得偶极流的流函函数或（4-58）令式（4-58）等于于常数，，于于是得流流线方程程（4-59）即流线簇簇是半径径为、、圆心为为（0，，）），且且与轴在在原点相切的的圆簇，，如图4-18中实线线所示。。又令式（（4-57）等等于常数数，得等等势线方方程（4-60）即等势线线簇是半半径为、、圆心心为（，，0）且与与轴在原原点相切的的圆簇，，如图4-18中虚线线所示。。四、绕圆圆柱体无无环量流流动将均匀直直线流与与偶极流流叠加，，可以得得到绕圆圆柱体无无环量流动。设设有一在在无穷远远处速度度为、、平行行于X轴轴、由左左向右流的均匀匀直线流流，与在在坐标原原点O上上偶极矩矩为M、、方向与与X轴相反的偶偶极流叠叠加，如如图4-20所示，组组合流动动的流函函数为（4-61）流线方程程（4-62）选取不同同的常数数值，，可得得到如图图4-20所示示的流动动图形。。对的所谓零零流线的的方程为为或，图4-20均均匀流流绕圆柱柱体无环环量流动动由此可知知，零流流线是一一个以坐坐标原点点为圆心心、半径径的的圆周与正正负X轴轴和和所所构构成的图图形。该该流线到到A点处处分为两段，沿沿上、下下两个半半圆周流流到B点点，又重重新汇合合。这个个平面组合流流动的流流函数为为(4-63)同样，也也可得到到它的速速度势(4-64)以上两式式中，≥≥，，这这是因为为的的圆圆柱体内内的流动动没有实实际意义。。流场中任任一点的的速度分分量为(4-65)在，，处处，，，，。。这表表示，在在离开圆圆柱体无无穷远处是速速度为的的均匀匀直线流流动。在在图4-20中的A点点（，，0）和B点(，，0)处，，，，A点点为前驻驻点，B点为后后驻点。用极坐标标表示的的速度分分量为（4-66）沿包围圆圆柱体圆圆周的速速度环量量为所以，均均匀直线线流绕圆圆柱体的的平面流流动是没没有速度度环量的的。因此，一一个速度度为的的均匀匀直线流流绕半径径为的的圆柱体体无环量的平面面流动，可可以用由这这个均匀直直线流与偶偶极矩的偶极流叠叠加而成的的平面组合合流动来代代替。当，，在在圆柱面上上（4-67）这说明，流流体在圆柱柱面上各点点的速度都都是沿切线线方向的