翻折与平移类几何变换.学案.学生版

翻折与平移类几何变换内基本要求 略高要求 较高要求容了解全等三角形的概掌握两个三角形全等的条件和全等会运用全等三角形的念，了解相似三角形全等三角形三角形的性质；会应用全等三角形知识和方法解决有关与全等三角形之间的的性质与判定解决有关问题问题关系一几何变换之翻折常用辅助线：作垂线、连接对应顶点（构造对称三角形）技巧提炼：1．翻折之后会出现全等三角形，2．对称轴是翻折对应点连线的中垂线．二几何变换之平移常用辅助线：作平行线，（构造平移三角形）技巧提炼：1．图形平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据．2．平移的基本性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等（或在同一直线上），即对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等．3．常见的构造平移的方式：构造平行线——平移线段构造平行四边形或者等边三角形——平移图形．考点一翻折模型考点说明：利用翻折构造全等三角形，设未知量利用勾股解题F【例1】如图，四边形ABCD为一梯形纸片，AD∥BC，AB＝DC．翻折纸片ABCD，使点B与点D重合，折痕为EF．已知DF⊥BC．（1）求证：EF∥AC；（2）若AD＝3，BC＝7，求折痕EF的长．【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－(x－6与x轴、y轴分别相交于A、D两点，点B在y轴上，现将△AOB沿AB翻折180°，使点O刚好落在直线AD的点C处．1）求BD的长．2）设点N是线段AD上的一个动点（与点A、D不重合），S△NBD＝S1，S△NOA＝S2，当点N运动到什么位置时，S1·S2的值最大，并求出此时点N的坐标．D3）在y轴上是否存在点M，使△MAC为直角三角形？若存在，请写出所有符合条件的点M的坐标，并选择一个写出其求解过程；若不存在，简述理由．【例3】如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片 OABC，O为原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为( ，1，在BC边上选取适当的点 D，将△OCD沿OD翻折，点C落在点E处，得到△OED．1）若点E在一次函数y＝2x－1的图象上（如图1），求点D、点E的坐标；2）若点E在抛物线y＝ax2的图象上，且△EAB是等腰三角形，求该抛物线的解析式；3）当线段OD与直线EA垂直时，在直线EA上是否存在点P，使得PB＋PD最小？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．ED(备用图【例4】在平面直角坐标系中，Rt△AOB的直角顶点O在坐标原点，直角边OA、OB分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，且OA＝4，OB＝3．动点P、Q分别从O、A同时出发，其中点P以每秒1个单位长度的速度沿OA方向向A点匀速运动，到达A点后立即以原速沿AO返回；点Q以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点匀速运动．当Q到达B时，、Q两点同时停止运动．设运动时间为t（秒）．P1）求△APQ的面积S与t之间的函数关系式；2）如图1，在某一时刻将△APQ沿PQ翻折，使点A恰好落在AB边的点C处，求此时△APQ的面积；3）在点P从O向A运动的过程中，在y轴上是否存在点D，使四边形PQBD为等腰梯形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由；4）如图2，在P、Q两点运动过程中，线段PQ的垂直平分线EF交PQ于点E，交折线QB－BO－OP于点F．问：是否存在某一时刻t，使EF恰好经过原点O，若存在，求相应的t值；若不存在，请说明理由．E备用图图1【例5】已知△ABC中，∠ACB＝2∠BAC，点E在边AC上，且AE＝BE，CD平分∠ACB交AB于点D，连接DE．（1）如图1，求证：BD＝ED；图22）设线段CD、BE相交于点P，将∠BAC沿直线AC翻折得到∠B′AC（如图2），射线AB′交BE延长线于点Q，连接CQ．若DE:BC＝2:3，求∠ACQ的正切值．图1考点二 平移模型【例1】阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图，在梯形

中，

，对角线

、 相交于点

。若梯形

的面积为

，试求以

、 、

的长度为三边长的三角形的面积。A DOB C小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可。他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题。他的方法是过点 作 的平行线交 的延长线于点，得到的 即是以 、 、 的长度为三边长的三角形如图，请你回答图中 的面积等于__________参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图， 的三条中线分别为 、 、AFB D⑴在图中利用图形变换画出并指明以(保留画图痕迹

、 、 的长度为三边长的一个三角形⑵若 的面积为 ，则以 、 、 的长度为三边长的三角形的面积等于___________【例2】如图，在

中，

，且

，以

为腰作等腰直角三角形

,以 为斜边作等腰直角三角形

，连接

交于点

，求

的度数．DAEFBDC是的中线，是的中点，的延长线【例3】交于．求证：．【例4】如图，已知⑴请你在边上分别取两点、(的中点除外，连结、，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明．AABDECBC⑴【例

5】如图所示，两条长度为．

的线段

和 相交于

点，且

，求证：A

AC

CO

OB

BD

B‘

D【例

6】已知线段

、 、

、

、 、．

．且

．求证：．BAC OFED【例7】已知：矩形 内有定点 ，试证： ．A DMB C【例

8】如图所示，在六边形

中，

，

，

，，

，

．又知对角线

，

厘米，

厘米．请你回答：六边形

的面积是多少平方厘米？BAF

CDE【例9】如图所示，在长方形 中，点 是边 的中点，点 是边 的中点， 与交于点 ．若 ，求 的度数．D N CM PA B【例10】如图所示，在中，，为上的一点，且；为上的一点，且．连接、交于