沈阳市必修一第三单元《指数函数和对数函数》检测题(包解析)

30.530.5一、选题1．已知函数

f

a

f

，则此函数的单调递增区间是（）A．

B．

C．

．

2．已知函数（）

f()axa

的值域为．实数a的取值范围是A．C．

5]3

B．．

(1,])3．已知定义在R上函数

时，f

，若函数

x图与

的图象恰有10个不同的公共点，则实数a的值范围为（）A．

B．

C．

．

4．已知：

log，log

，c，，b，c的小关系是（）A．bf)5．函数

x

B．恒过定点（）

C．

．

A．

B．

C．

(

．

(6．已知

0.8，b

0.6

，c0.7，则a，，的大小关系是（）A．

a

B．

C．

．b7．设

f

,，f

，则下列说法正确的是（）A．

B．abc

C．2

．2

8．设，b0.30.5，

clog

，则

、b、c的大小关系（）A．

B．

a

C．a

．a9．已知对数函数

f(x)loga

是增函数，则函数

f|

的图象大致是A．

B．

C．

．10．数

f()(3)a

在

上单调递增，则a的值范围是（）A．

B．

C．

．

11．数y

8

x

的图象大致为（）A．

B．C．

．12．果函数

y

a0,a

的反函数是增函数，那么函数

y(

的图象大致是（）A．

B．C．二、填题

．13．知

(x

)xxx,

是

上的增函数，则a的值范围为_________14．知

、

是不为的正数，且

lgalgc

，则

lgc

1

1的值为____

15．知

)x,xx

的值域为，那么实数a的取值范围_．16．列命题中所有正确的号．①函

f

x

在R上增函数；②函

f(

的定义域是

(1,3)

，则函数

fx)

的定义域为

(2,4)

；③已f(=53且

；④f(x)

11x2

为奇函数．．函数

fx)log(x

的定义域为_____.18．知函数

(x),

在

(

上是单调函数，则的值范围是19．知

x

12

5

，则20．列结论正确的是____________①fx)

0,

的图像经过定点；②已

xy

，则

xy

的值为③若

f(x)x3

，且

f，

；④f()x(

)2

为偶函数；⑤已集合

则m的为1或1.三、解题21．知函数

f

2

.（）函数

f

的定义域；（）论函数

f

的奇偶性；（）明：函

f

在定义域上单调递减22．知函数

fx)

2

xx

.（）函数

fx)

的定义域并证明该函数是奇函数；（）当

x(1,，(fx)2

，求函数

(x)

的值域23．1）知函数

的图像恒过定点A且点A又函数

xx

的图像上，求不等式

的解集；（）知，函数2

x

的大值和最小值24．知函数

(2axax

,

其中a>0且a≠1.（）

时，求f(x的域；（）数=f(能否成为定义域上的单调函数，如果能，则求出实数的围；如果不能，则给出理由；（）

f()

在其定义域上恒成立，求实数a的值范围25．知函数

f()logx，()log(1a，a（）函数

f(x)g(x)

的定义域；（）断函数

f(x)g()

的奇偶性，并说明理由；（）时判断函数

f)()

的单调性，并给出证.26．知函数

f

的图象关于y轴对称．（）实数的（）函数

g

x

，

3

，是否存在实数m，使得

g的最小值为？若存在，求出的，若不存在说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要除一选题1C解析：【分析】由

f

求得

0

，求出函数

f

的定义域，利用复合函数法可求得函数

f的单调递增区间

2【详解】由题意可得3，aa对于函数，可得x，得a

.所以，函数

f

的定义域为

.由于内层函数ux在间

单调递增，在区间

单调递减外层函数单递减，由复合函数法可知，函数f

.故选：【点睛】方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：（）义法：般步骤：设元作差变判断符号得结论；（）象法：果函数

f

是以图象的形式给出或者函数

f

的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间；（）数法：求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间；（）合函数：先将函数

f

分解为内层函数

g

和外层函数yf2．A解析：【分析】

，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数“同异”的则进行判定.当函数的值域为

时，命题等价于函数

的值域必须包含区间

得解【详解】f(x)lg[(

2

2

1]

的值域为R令

，则

的值域必须包含区间

当a2时则

当a时

y2

符合题意；当

a

时，y不合题意；当

a

时，

2

，解得

1

53

aa1

，即实数a的值范围是

5[]3故选：【点睛】转化命题的等价命题是解题关.3．D解析：【分析】转化条件为函数

f

是周期为的周期函数，且函数

g

的图象均关于

对称，由函数的对称性可得两图象在得解.【详解】

右侧有5个交点，画出图象后，数形结合即可因为函数

f

，所以函数

f

是周期为2的周期函数，又函数

gxa

的图象可由函数

ylogx

的图象向左平移一个单位可得，所以函数

gxa

的图象的对称轴为

，当

f

，所以函数

f

的图象也关于

x

对称，在平面直角坐标系中作出函数

y

在

右侧的图象，数形结合可得，若函数

gx图与fa

的图象恰有10个不同的公共点，则由函数图象的对称性可得两图象在

右侧有5个交点，则

g4，得g6a

.故选：【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是函数的周期性、对称性及数形结合思想的应4．A解析：

b22b22【分析】由换底公式和对数函数的性质可得

b

12

，再由指数函数的性质可得

，即可得解【详解】ln=0ln2ln

212lnln，233ln13lnlnln2

，4130,log2，922a

，故选：【点睛】方法点睛：本题考查了对数式、指数式的大小比较，比较大小的常用方法为同底的对数式和指数式利用其单调性进行比较，也可以借助于中间值0和1进行比较，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于常考.5．C解析：【分析】根据指数函数性质求定点【详解】因为,所以

f

因过定点

,选【点睛】本题考查指数函数性质以及定点问题，考查基本分析求解能力，属于基础.6．C解析：【解析】因为

alog0.8log，blog0.7220.7

，00.60.7，所以

，故选C.7．D解析：【详解】分析：先画出函数

f

的图像，根据

c

且

f

得到＜0＞，＞0,找正确的选项.详解：作出函数

f

x

的图像，

2222因为

且

f

，所以＜，＞因为

，所以

2c1aac

.故答案为点睛：1）题主要考查图像的作法，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想方.(2)解答本题的关键是通过图像分析出a＜b＞，＞8．A解析：【分析】利用对数函数，幂函数的单调性比较大小即.【详解】解：因为在[0,单递增，

0.3所以0.5

0.5

0.30.5

，即

0.5

0.5因为所以

log0.2log0.3b故选：【点睛】本题主要考查了利用对数函数，幂函数的单调性比较大小，是中档.9．B解析：【分析】利用对数函数的图象，以及函数的奇偶性和图象的变换，即可求解，得到答【详解】由题意，由函数

f()loga

是增函数知，，当

时，函数

yf(x(x

，将函数

f(),(

的图象向左平移1个位，得到函数(

的图象，

yyyy又由函数

yf(满f(f(x

，所以函数

yf(

为偶函数，且图象关于轴对称，故选【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及函数的图象变换的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质和函数的图象变换是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础.10．解析：【分析】由题意可得可得a且a【详解】

，由此求得a的范围．解：

函数

f()logax

在

上单调递增，而函数

t

ax

在

上单调递增，根据复合函数的单调性可得，且

，解得

a

，即

故选：D．【点睛】本题主要考查对数函数的定义域、单调性，复合函数的单调性，属于基础题．11．解析：【分析】先根据偶函数性质排除B，再考当

x

且

x0

时，，除再特殊值法排除，即可得答.【详解】解：令f

8

x

，则函数定义域为

，且满足

f

，故函数

f

f(为偶函数，排除选项；当

且

0

时，，除选项A；取特殊值x22时，2e，除选项C.故选：【点睛】本题考查利用函数解析式选函数图象问题，考查函数的基本性质，是中档.12．解析：【分析】由题意求得a，再结合对数函数的图象与性质，合理除，即可求.【详解】

因为函数

yxa0,a

的反函数是增函数，可得函数

y

x

为增函数，所以所以函数

y(a

为减函数，可排除、；又由当，

y(0a

，排除A.故选：【点睛】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数和对数函数的图象与性质，以及指数函数与对数的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力二、填题13．【分析】根据在上单调递增列出不等式组求解即可【详解】解：在上单调递增即解得：即故答案为：【点睛】易错点点睛：在解决分段函数的单调性问题时要注意上下段端点值的问题解析：

【分析】根据

f

在R上单调递增，列出不等式组，求解即.【详解】解：

()

(5x

在R上调递增，即

，log1解得：

，即

,5

，故答案为：,5【点睛】易错点点睛：在解决分段函数的单调性问题时，要注意上下段端点值的问.14．【分析】根据对数运算公式可以将转化得到的等量关系将此等量关系代入所求式子即可解决【详解】由可得故答案为：【点睛】本题考查对数的运算对数恒等式属于基础题解析：

【分析】根据对数运算公式，可以将

lga

转化，得到

，，的量关系，将此等量关系代入所求式子即可解决．【详解】由

lgalgb

，可得

bc

1，ab，acb

，

ac)

(bc)

(ab)

．

a

c

11101000故答案为：

【点睛】本题考查对数的运算，对数恒等式，属于基础题．15．【分析】分类讨论和结合已知和对数函数及一次函数的单调性得a的不等式组求解即可【详解】解：若当时当时此时的值域不为不符合题意；若当时当时要使函数的值域为R需使解得综上所述故答案为：【点睛】本题考查分解析：

1,

【分析】分类讨论解即可．【详解】

0

和，合已知和对数函数及一次函数的单调性，得的等式组求解：若

，当

时，

logxa

，当

时，

a

，此时值不为R，不符合题意；若，当

时，

logxa

，当

x

时，要使函数值为R，需使1

，解得3，a1

32

，综上所述，

32

，

故答案为：【点睛】本题考查分段函数的值域及对数函数的性质，考查分类讨论思想与数学运算能力，是中档题16．④分析】根据指数的运算性质且恒成立求出函数图象所过的定点可判断①；根据抽象函数的定义域的求法可判断；根据奇函数的图象和性质求出可判断③；根据奇函数的定义及判定方法可判断【详解】解：当时且恒成解析：④【分析】根据指数的运算性质且恒立，求出函数图象所过的定点可判；根据抽象函数的定义域的求法，可判②；据奇函数的图象和性质，求出断；据奇函数的定义及判定方法，可判【详解】

f

，可判解：当

时，a

且a恒立，故f（）恒立，故函数f()

0

且

a

的图象一定过定点

P(1,4)

，故正；函数

f(x

的定义域是

，则函数

fx)

的定义域为

(0,2)

，故错误；已知

f()5bx

，且

f

，则

f

，故错；11f(x)1

的定义域为

{x0}

，且f(

x1(x)，故22221

fx)

为奇函数，故④正确；故答案为：④【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了指数函数的图象和性质，函数的定义域，函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．17．【分析】根据二次根式和对数式有意义的条件得到不等式组求解函数的定义域即可得结果【详解】根据题意可得：解得所以函数的定义域为故答案为：【点睛】该题考查的是有关求函数的问题涉及到的知识点有求给定函数的定解析：

(2,3]【分析】根据二次根式和对数式有意义的条件，得到不等式组求解函数的定义域即可得结【详解】根据题意可得：

x(x12

，

解得

x

，所以函数

fx)log(x

的定义域为

，故答案为：

.【点睛】该题考查的是有关求函数的问题，涉及到的知识点有求给定函数的定义域，在解题的过程中，注意二次根式和对数式需要满足的条件即可得结.18．【分析】根据对数部分函数为单调递增所以整个函数为递增函数两段函数各自递增且左段的右端点小于等于右段的左端点即可求得的取值范围【详解】函数在上是单调函数因为当时为增函数所以整个函数在上是单调递增函数因解析：

[【分析】根据对数部分函数为单调递增所以整个函数为递增函.段函数各自递增且段的右端点小于等于右段的左端点即可求得的取值范围【详解】函数

(x)),

在

(

上是单调函数因为当x

时

f(x)x)

为增函数所整个函数在

(

上是单调递增函数因而满足

6x

对

恒成立则

.当x

时

f(x)

为增函数则

即(

,即

mmm(m因为所以

g()x(x在(2.

为增函数且

(

,综上可知

,即

m[故答案:

[【点睛】本题考查了分段函数的单调性判根据函数单调性求参数的取值范属于中档题19．【分析】对平方可得再平方可得即可求解【详解】两边同时平方得：所以对两边同时平方得：则故答案为：【点睛】此题考查指数式的化简求值进行整体变形处理利用平方关系得出等量关系解析：

yfyf【分析】对

11x

5

平方可得

，再平方可得x

7，即可求.【详解】

，两边同时平方得：x，以x对x两同时平方得：2，x227则.3故答案为：

12【点睛】此题考查指数式的化简求值，进行整体变形处理，利用平方关系得出等量关20．②④【分析】根据指数函数的性质进行判断根据对数的运算法则进行判断③根据函数的运算性质进行运算根据偶函数的定义进行判断根据集合关系利用排除法进行判断【详解】当时（1则函数的图象经过定点；解析：②【分析】①根指数函数的性质进行判断根对数的运算则进行判断根函数的运算性质进行运算，根偶函数的定义进行判断⑤根据集合关系，利用排除法进行判断．【详解】①当时f（）则函数的图象经过定点(1,3)；①确，②已

xlog

3

，

y

88，则，y

，则

xy3log

log(log

；故正确，③若(x)x

ax

，且

f(

，则，

a

，则（）23，故错误；④函的定义域为

{|

，关于原点对称，

f(x)x(

1)x2)

，则

f()

)

1·2(1

)

f(x)

，fx)即为偶函数，故④正确，⑤已集合A，1}，|mx，A，

m

时，

，也满足条件，故错，故正确的是②④，

2222故答案为：②【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及指数函数的性质，函数奇偶性的判断，以及对数的运算法则，综合性较强，涉及的知识点较多．三、解题21．

(

(2)函

f(x)

为奇函数(3)证明见解析.【分析】(1)由

f

的定义域满足

可得答.(2)直判断

f

的关系可得答案(3)设12

，先作差判断出

x1x21x2

，再由对数函数

ylog2

在

上单调递增有，

2

112112

，即可得出结论【详解】解：（）

，可得

，解得x函数

f()

的定义域为

(1,1)（）（）知函数

fx)

的定义域关于原点对称由

f(log

1(x11

，可得函数

f()

为奇函数（）12设

1

211

12x0,1212

1x2x12利用对数函数

ylog在(0,单调递增有，2

2

12112即

f

故函数

fx)

在(上调递减【点睛】关键点睛：本题考查函数的定义域、奇偶性的判断和用定义法证明单调性，解答本题的关

22键是先得出

与的小关系，再由函数1

ylog2

在

上单调递增得到

2

112log112

，即

f

，属于中档题.22．1）

x

，证明见解析；2）

.【分析】（）题首先通过求解

x

得函数(x)

的定义域，然后通过

f(x

证fx)得函数是奇函数；（）题可根题意将函数转化为

g(x)log(2

，然后通过当

时log)2

即可求出函数

g(x

的值域【详解】（）为函数

fx)

2

xx

，所以

x

，解得

或

，则函数的定义域为

，且定义域关于原点对称，因为

f(log

1log(x

，所以函数

f()

为奇函数（）

()(x(xlog

xx

log(xlog(x

，当

时，

log(12，函数((x22

是增函数，故当

x，g(x，数g(x)

的值域为

.【点睛】方法点睛：判断或证明函数奇偶性，首先要判断函数的定义域是否关于原点对称，然后通过

f()()

判断函数是奇函数或者通过

f(f(

判断函数是偶函.23．1）

；（）

y，ymin

.【分析】（）合指数数性质首先求的值，再解指数不等式；（）过换元设，且求变量的取值范围，转化为二次函数在定义域内的最大值和最小.【详解】（）题意知点坐标为

，

x2xx{2}x2xx{2}2logx

.

解得由

得，

x

.

x

.

.不式

.（）

logx12

得

x

令t

2，则2

，yt

2

1tt.当

12

1，即，时2

ymin

，当

t

，即，

x时，y.【点睛】本题考查指数函数与对数函数的图象与性质，考查求对数型函数的值域，求值域的方法是用换元法把函数转化为二次函数，然后求解．24．1）

f(x)

的值域为

[

，

1]

；（），的值集合为；3.【分析】（）二次函和指数函数的值域求法，可得

f()

的值域；（）论，范围；

0

，结合指数函数的单调性和二次函数的单调性，即可得到所求（）论的围和计算可得所求范围．【详解】

的范围，结合参数分离和对勾函数的单调性、指数函数的单调性，（）

x时x

11x22

，对称轴为

x，0)，可得的小值为

，的大值为0；当0x，y)

[0，1]；综上

f()

的值域为

[

，1]；（）a，函数

y2

x

在

[0

，

1]

递增，

故二次函数

ax

在

[

，

0]

也要递增，a22a

，故只有

a

符合要求；当

0时函数a

x

在[，1]递，故二次函数

ax

在

[

，

0]

也要递减，a02

，无解．

2a综上，的取值集合为{2}；（）当x[0]时x2

恒成立，即有

a

，即

221

，由

221

，令t，t，2]，可得

y

t

，当且仅当t时取得等，可得2；②当

，

1]

时，当时

y2

，2

，即有

2

，求得，1a

；②当

时，成立，综上可得

的范围为a．【点睛】本题考查分段函数的值域和单调性的判断和运用，考查分类讨论思想方法和化简运算能力，以及不等式恒成立问题解法，属于中档题．25．1）(；2）是奇函，理由见解析；3单调递增，证明见解.【分析】（）对数有义的条件列出不等式组

，解之即可；（）（）知，函数